Gambar 3 Pencabangan yang dilakukan metode branch and bound untuk menentukan solusi IP.
III PEMODELAN
3.1 Model Penjadwalan Pertandingan
dengan Sistem
Round-Robin
Model penjadwalan pertandingan sepak bola dibangun dari pendeskripsian masalah
secara jelas. Masalah penjadwalan tersebut diformulasikan dalam bentuk ILP yang dapat
diselesaikan dengan metode-metode yang ada. Dalam karya ilmiah ini, penjadwalan
pertandingan menggunakan sistem round- robin
setiap tim bertanding dengan semua tim peserta satu kali untuk setengah
kompetisi. Sebuah pola terdiri atas H home, A
away, dan B bye yang bersesuaian dengan periode waktu k. Misalkan T adalah
banyaknya tim peserta, M adalah banyaknya pertandingan untuk setengah kompetisi, dan N
adalah banyaknya pertandingan untuk satu periode waktu, maka diperoleh
2
, 2
T
T M
C ⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
; jika
genap 2
; jika
ganjil. T
T N
T ⎧
⎪ = ⎨
⎪⎩
Selanjutnya akan ditentukan banyaknya periode waktu k untuk setengah kompetisi,
yaitu: • T genap
2 2
1 2 2
2 T
M T
k T
T N
T T
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ =
= =
⋅ = − −
• T ganjil
2 2
1 2 2
1 2
T M
T k
T T
N T
T ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
= =
= ⋅
= −
− −
Dengan demikian banyaknya periode waktu k adalah
1 ; jika
genap ;
jika ganjil.
T T
k T
T ⎧ −
⎪ = ⎨
⎪⎩
Sebagai contoh, dalam pertandingan yang diikuti empat tim diperoleh
4 2
4 6,
4 22 M
C =
= =
− 4
2, 2
N = =
dan 4 1
3. k
= − = Misalkan pola dipilih dari kombinasi H
dan A saja. Akan ditentukan pola
pertandingan selama setengah kompetisi yang berlangsung selama 3 minggu terlebih dahulu,
2
x
≤
2
1 x
≥
1
4 x
≤
1
5 x
≥
Subproblem 1 x
1
= 3.75; x
2
= 1.25 dan z = 23.75
Subproblem 3 x
1
= 4; x
2
= 0.8333 dan z = 23.3333 Subproblem 2
x
1
= 3; x
2
= 2 dan z = 23
Subproblem 5 Solusi takfisibel
Subproblem 4 x
1
= 4.5; x
2
= 0 dan z = 22.5
sehingga kombinasinya menghasilkan
3
2 2
k
=
pola yang mungkin, yaitu: 1:
H H A; 2:
A H A; 3:
H A H; 4:
A A H; 5:
H H H; 6:
A H H; 7:
A A A; 8:
H A A. Pemilihan pola harus memenuhi kriteria-
kriteria sebagai berikut: 1.
Apabila dipilih suatu pola, misalkan HHA, maka pola yang berlaku sebaliknya, yaitu
AAH, juga harus dipilih; 2.
Terdapat H dan A yang sama banyaknya untuk setiap periode. Banyaknya H dan A
adalah
1 2
dari pola yang terpilih. Untuk kasus tim berjumlah ganjil, banyaknya H
dan A adalah
1 2
dari pola yang terpilih dikurangi 1.
Contoh 3 a.
Misalkan dari pola yang mungkin hanya diambil empat pola saja sesuai dengan
banyaknya tim yaitu: 1:
H H A; 2:
A H A; 3:
H A H; 4:
A A H. Terlihat bahwa Pola 1, yaitu HHA, merupakan
kebalikan dari Pola 4 AAH, begitu juga Pola 2 AHA merupakan kebalikan dari Pola 3
HAH. Pola-pola yang diambil tersebut telah memenuhi kriteria yang ada.
b.
Misalkan empat pola lain yang diambil adalah:
5: H H H;
6: A H H;
7: A A A;
8: H A A.
Pola yang memuat H akan dipertemukan dengan pola yang memuat A untuk setiap
periode waktu, yaitu setiap minggu. Berarti setiap periode berlangsung 2 pertandingan
sehingga apabila diakumulasikan maka banyaknya pertandingan selama 3 minggu
adalah 6 pertandingan. Apabila pola yang diambil tidak memenuhi kriteria tersebut
maka akan ada kesalahan dalam penyusunan pertandingan.
Berikut ini diberikan contoh yang tidak memenuhi kriteria tersebut.
Contoh 4 Misalkan empat pola yang diambil adalah:
1: H H A; 2: A H A;
5: H H H; 8: H A A.
Pada Contoh 4 terlihat bahwa dalam suatu periode banyaknya H atau A melebihi atau
bahkan kurang dari yang seharusnya. Misalkan pada Periode 1 dilihat secara
vertikal ke bawah terdapat H sebanyak 3 buah dan A hanya 1 buah. Pada periode ini pola
yang memuat H dipertemukan dengan pola yang memuat A, akan tetapi ada pola yang
memuat H bertemu dengan H. Pada kasus ini berarti ada dua tim yang saling bertanding di
tempat sendiri, padahal seharusnya salah satunya harus berlaku sebagai H dan yang
lainnya sebagai A.
Apabila pola yang dipilih melebihi banyaknya tim, maka banyaknya pertandingan
tidak sesuai atau melebihi dari yang seharusnya. Misalkan banyaknya tim adalah 4
dan banyaknya pola yang dipilih adalah 5, yaitu:
1: H H A; 3: H A H;
5: H H H; 7: A A A;
8: H A A. Pola yang memuat H dipertemukan dengan
pola yang memuat A untuk setiap periode waktu, sehingga dari 5 pola tersebut diambil 4
pola saja. Akan tetapi terkadang timbul kesulitan dalam memilih pola, sehingga akan
terjadi kerancuan atau dengan kata lain ada pola yang tidak digunakan, misalkan pada
Periode 1 banyaknya H berlebih yaitu sebanyak 4 buah sehingga ada H yang tidak
digunakan. 3.2
Ilustrasi Penyelesaian Masalah Penjadwalan Pertandingan
Pada bagian ini diilustrasikan penyelesaian masalah penjadwalan pertandingan sepak bola
yang diikuti empat tim selama tiga minggu atau setengah kompetisi terlebih dahulu.
Misalkan empat pola yang dipilih adalah:
1: H H A;
2: A H A;
3: H A H;
4: A A H.
Misalkan tim i adalah tim yang bermain dengan menggunakan pola i, untuk
1, 2, 3, 4. i
=
Pada saat ini, belum ditentukan di antara Tim a, b, c, d yang merupakan Tim 1,
2, 3, 4. Selanjutnya akan ditentukan tabel waktu dari pola yang telah dipilih.
Diasumsikan Tim 1 bertanding dengan tim lain berdasarkan urutan timnya 2, 3, 4.
Misalkan Tim 1 bertanding dengan Tim 2 pada Periode 1, Tim 1 bertanding dengan Tim
3 pada Periode 2, dan Tim 1 bertanding dengan Tim 4 pada Periode 3 yang dituliskan
dalam bentuk kotak-kotak dengan 4 baris dan 4 kolom.
Selanjutnya, urutan tim pada Kolom 4 Periode III diasumsikan berlaku kebalikan
dari Kolom 1 Tim 1, 2, 3, 4. Setelah itu akan dilengkapi sisa pertandingannya sehingga
menghasilkan tabel waktu seperti yang tertera di bawah ini.
Periode Tim
I II III 1: 2
3 4
2: 1 4
3 3: 4
1 2
4: 3 2
1 Selanjutnya, misalkan tanda negatif
− berarti suatu tim bermain di tempat lawan,
sedangkan bila tidak negatif, berarti suatu tim bermain di tempat sendiri. Misalkan pada saat
Tim 1 melawan Tim 2, Tim 2 bertanda −
yang berarti Tim 2 bermain di tempat lawan A sedangkan yang menjadi tuan rumah H
adalah Tim 1. Periode
Tim I II III
1: -2 -3
4 2: 1
-4 3
3: -4 1
-2 4: 3
2 -1
Selanjutnya himpunan pola dicocokkan dengan tabel waktu. Pada saat ini akan
ditentukan di antara Tim a, b, c, dan d adalah Tim 1 dan seterusnya. Misalkan Tim 1 adalah
Tim a, Tim 2 adalah Tim c, Tim 3 adalah Tim b
, dan Tim 4 adalah Tim d. Berikut ini adalah jadwal pertandingan selama setengah
kompetisi round-robin. Periode
Tim I II III
a -c -b d
c a -d b b -d
a -c
d b c -a
Selanjutnya akan ditentukan jadwal pertandingan untuk kompetisi penuh yang
berlangsung selama 6 minggu. Pada langkah ini digunakan aturan mirror. Misalkan suatu
kompetisi terdiri atas 2k periode, masing- masing k periode di setengah kompetisi
pertama dan kedua. Aturan mirror mengharuskan bahwa jika Tim a bertindak
sebagai home bagi Tim b pada periode ke-i di setengah kompetisi pertama, maka Tim a akan
bertindak sebagai away bagi Tim b pada periode
ke i
k − +
di setengah kompetisi kedua. Periode i dan
i k
+
dikatakan saling bercerminan mirror. Dalam kasus kompetisi
yang diikuti oleh 4 tim yang berlangsung selama 6 periode, periode-periode berikut
adalah saling bercerminan:
I,IV , II,V , dan III,VI ,
sehingga diperoleh jadwal pertandingan selama 6 minggu adalah sebagai berikut:
Periode Tim
I II III IV V VI
a -c -b d c b -d
c a -d b -a d -b
b -d a -c d -a c
d b c -a -b -c a
Sebagai tambahan, misalkan banyaknya tim yang bertanding berjumlah ganjil maka
ada tim yang tidak bertanding mendapat bye untuk setiap periode waktu. Misalkan peserta
sebanyak 3 tim. Dengan sistem kompetisi penuh selama 6 minggu dihasilkan jadwal
pertandingan. Misalkan tanda — menyatakan tim tersebut tidak bertanding
mendapat bye. Jadwal pertandingannya dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Periode Tim
I II III IV V VI
a -b c
— b -c — b a
— -c -a — c c
— -a b — a -b
3.3 Penyelesaian Masalah Penjadwalan
Kategori