Periode Tim
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV 1: -3 -2 -4 -6 5 -7 —
3 2 4 6 -5
7 —
3: 1 4 2 -7 — -5 6 -1 -4
-2 7 — 5 -6
2: -4 1 -3 5 -6 — -7 4 -1 3 -5 6
— 7
4: 2 -3 1 — 7 6 5 -2 3 -1 — -7 -6
-5 6: 5 — -7 1 2 -4 -3 -5 — 7 -1 -2
4 3
5: -6 -7 — -2 -1 3 -4 6
7 — 2 1 -3
4 7: — 5 6 3 -4 1 2
— -5 -6 -3 4 -1
-2 • Langkah 3: Pencocokan himpunan pola
dengan tabel waktu. Langkah ini merupakan perpaduan
himpunan pola dan tabel waktu. Pada langkah ini akan ditentukan di antara S, It, P, U, G, L,
K adalah Tim 1 dan seterusnya. Tabel berikut ini adalah jadwal pertandingan
yang dihasilkan dari Langkah 3.
Periode Tim
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV S -P -It -U -L G -K —
P It U L -G K —
P S U It -K — -G L -S -U -It K —
G -L
It -U S -P G -L — -K U -S P -G L
— K
U It -P S — K L G -It P -S — -K -L
-G L G — -K S It -U -P -G — K -S -It
U P
G -L -K — -It -S P -U L K — It S
-P U
K — G L P -U S It — -G -L -P U
-S -It
Setelah didapatkan tabel berupa jadwal pertandingan, selanjutnya periode waktu yang
tertera pada tabel tersebut diganti dengan periode waktu yang tertera pada Tabel 2.
Setelah itu didapatkan jadwal pertandingan selama 14 periode waktu lihat Lampiran 4.
V SIMPULAN
Pembuatan jadwal pertandingan yang baik dan tersusun rapi dalam suatu kompetisi sepak
bola sangatlah penting. Oleh karena itu, permasalahan yang muncul adalah bagaimana
cara membuat jadwal pertandingan sepak bola yang tepat dan menguntungkan semua pihak.
Dalam tulisan ini, telah diperlihatkan bahwa ilmu Matematika dapat diaplikasikan
dalam pembuatan jadwal pertandingan, yaitu dengan memodelkan masalah penjadwalan
pertandingan sebagai suatu masalah ILP. Permasalahan tersebut diselesaikan dengan
menggunakan software LINGO 8.0 dengan metode Branch and Bound.
Studi kasus untuk masalah penjadwalan pertandingan tersebut adalah model
penjadwalan pertandingan pada babak kualifikasi Piala Eropa 2008 Grup B. Masalah
tersebut diselesaikan dalam tiga langkah yaitu penentuan pola dan himpunan pola, penentuan
tabel waktu, dan langkah terakhir adalah perpaduan dari himpunan pola dan tabel
waktu.
Adapun manfaatnya adalah pengguna dapat lebih efisien dalam menghasilkan
jadwal yang baik, dibandingkan dengan cara manual yang memerlukan banyak waktu dan
memungkinkan terjadinya kekeliruan dalam penulisan.
DAFTAR PUSTAKA
Garfinkel, R.S. G.L. Nemhauser. 1972.
Integer Programming. John Willey
Sons, New York.
Nash, S.G. A. Sofer.
1996. Linear and Nonlinear Programming.
McGraw- Hill, New York.
Nemhauser, G.L. M.A. Trick. 1998.
Scheduling a Major College Basketball Conference.
Operations Research 461:1-8.
Taha, H.A. 1975. Integer Programming.
Academic Press, New York.
Winston, W.L.
1995. Introduction to Mathematical
Programming 2
nd
ed. Duxbury, New York.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penyelesaian Contoh 2 dengan Menggunakan
Software LINDO 6.1 Subproblem 1
Maximize 5X + 4Y Subject to
X + Y = 5 10X + 6Y = 45
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1 23.75000 VARIABLE VALUE REDUCED COST
X 3.750000 0.000000 Y 1.250000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0.000000 2.500000
3 0.000000 0.250000 NO. ITERATIONS= 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X 5.000000 1.666667 1.000000 Y 4.000000 1.000000 1.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE 2 5.000000 2.500000 0.500000
3 45.000000 5.000000 15.000000
Subproblem 2
Maximize 5X + 4Y Subject to
X + Y = 5 10X + 6Y = 45
X =3
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 23.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X 3.000000 0.000000
Y 2.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2 0.000000 4.000000 3 3.000000 0.000000
4 0.000000 1.000000 NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X 5.000000 INFINITY 1.000000 Y 4.000000 1.000000 4.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE 2 5.000000 0.500000 2.000000
3 45.000000 INFINITY 3.000000 4 3.000000 0.750000 3.000000
Subproblem 3
Maximize 5X + 4Y Subject to
X + Y = 5 10X + 6Y = 45
X =4
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1 23.33333 VARIABLE VALUE REDUCED COST
X 4.000000 0.000000 Y 0.833333 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0.166667 0.000000
3 0.000000 0.666667 4 0.000000 -1.666667
NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE X 5.000000 1.666667 INFINITY
Y 4.000000 INFINITY 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
2 5.000000 INFINITY 0.166667 3 45.000000 1.000000 5.000000
4 4.000000 0.500000 0.250000 Subproblem 4
Maximize 5X + 4Y Subject to
X + Y = 5 10X + 6Y = 45
X =4 Y =0
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1 22.50000 VARIABLE VALUE REDUCED COST
X 4.500000 0.000000 Y 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0.500000 0.000000
3 0.000000 0.500000 4 0.500000 0.000000
5 0.000000 1.000000 NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X 5.000000 1.666667 5.000000 Y 4.000000 INFINITY 1.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE 2 5.000000 INFINITY 0.500000
3 45.000000 5.000000 5.000000 4 4.000000 0.500000 INFINITY
5 0.000000 0.833333 0.000000 Subproblem 5
Maximize 5X + 4Y Subject to
X + Y = 5 10X + 6Y = 45
X =4 Y =1
Lampiran 2 Penyelesaian Langkah 1 Masalah Penjadwalan Pertandingan Babak Penyisihan
Piala Eropa 2008 Grup B dengan Menggunakan Software LINGO 8.0
MODEL :
TITLE Masalah Jadwal Pertandingan Sepak
bola; SETS
: POLA1..448:PILIH,TIDAK_DIPILIH;
WAKTUW1 W2 W3 W4 W5 W6 W7; LINKSPOLA,WAKTU:HOME,AWAY;
ENDSETS Fungsi objektif;
MIN =
SUM POLAI:PILIHITIDAK_DIPILIHI;
Kendala home; FOR
WAKTUJ: SUM
POLAI :HOMEI,JPILIHI=3; Kendala away;
FOR WAKTUJ:
SUM POLAI:AWAYI,JPILIHI=3;
Setiap tim akan bermain sebagai home atau away untuk setiap periode waktu;
FOR LINKSI,J:HOMEI,J+AWAYI,J=1;
Kendala variabel keputusan bernilai 0 atau 1; FOR
LINKS: BIN
HOME; FOR
LINKS: BIN
AWAY; FOR
POLA: BIN
PILIH; FOR
POLA: BIN
TIDAK_DIPILIH; END
Keterangan: tidak semua variabel dicantumkan dan hanya variabel yang bernilai 1 dan merupakan nilai yang dicari sedangkan yang bernilai 0 tidak ditampilkan karena jumlahnya terlalu banyak
Local optimal solution found at iteration: 1159666 Objective value: 0.000000
Model Title: Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola
Variable Value Reduced Cost PILIH 144 1.000000 0.000000
PILIH 145 1.000000 0.000000 PILIH 314 1.000000 0.000000
PILIH 432 1.000000 0.000000 PILIH 447 1.000000 0.000000
PILIH 448 1.000000 0.000000
Model Title: Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola
Variable Value Reduced Cost TIDAK_DIPILIH 1 1.000000 0.000000
TIDAK_DIPILIH 3 1.000000 0.000000
TIDAK_DIPILIH 4 1.000000 0.000000 Model Title: Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola
Variable Value Reduced Cost HOME 1, W1 1.000000 0.000000
HOME 1, W2 1.000000 0.000000 HOME 1, W3 1.000000 0.000000
HOME 1, W4 1.000000 0.000000 HOME 1, W5 1.000000 0.000000
HOME 1, W6 1.000000 0.000000 HOME 1, W7 1.000000 0.000000
HOME 3, W1 1.000000 0.000000 HOME 3, W2 1.000000 0.000000
HOME 3, W3 1.000000 0.000000
HOME 3, W4 1.000000 0.000000 HOME 3, W5 1.000000 0.000000
HOME 3, W6 1.000000 0.000000 HOME 3, W7 1.000000 0.000000
HOME 4, W1 1.000000 0.000000 HOME 4, W2 1.000000 0.000000
HOME 4, W3 1.000000 0.000000 HOME 4, W4 1.000000 0.000000
HOME 4, W5 1.000000 0.000000
HOME 4, W6 1.000000 0.000000 HOME 4, W7 1.000000 0.000000
HOME 144, W1 1.000000 0.000000 HOME 144, W2 1.000000 0.000000
HOME 144, W3 1.000000 0.000000 HOME 144, W4 1.000000 0.000000
HOME 144, W5 1.000000 0.000000 HOME 144, W7 1.000000 0.000000
HOME 145, W4 1.000000 0.000000 HOME 145, W6 1.000000 0.000000
HOME 314, W1 1.000000 0.000000 HOME 314, W2 1.000000 0.000000
HOME 314, W3 1.000000 0.000000 HOME 314, W4 1.000000 0.000000
HOME 314, W6 1.000000 0.000000 HOME 314, W7 1.000000 0.000000
HOME 432, W5 1.000000 0.000000 HOME 447, W2 1.000000 0.000000
HOME 448, W1 1.000000 0.000000 HOME 448, W3 1.000000 0.000000
HOME 448, W5 1.000000 0.000000 HOME 448, W6 1.000000 0.000000
HOME 448, W7 1.000000 0.000000
Model Title: Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola Variable
Value Reduced Cost AWAY 144, W6 1.000000 0.000000
AWAY 145, W1 1.000000 0.000000 AWAY 145, W2 1.000000 0.000000
AWAY 145, W3 1.000000 0.000000 AWAY 145, W5 1.000000 0.000000
AWAY 145, W7 1.000000 0.000000 AWAY 314, W5 1.000000 0.000000
AWAY 432, W1 1.000000 0.000000 AWAY 432, W2 1.000000 0.000000
AWAY 432, W3 1.000000 0.000000 AWAY 432, W4 1.000000 0.000000
AWAY 432, W6 1.000000 0.000000 AWAY 432, W7 1.000000 0.000000
AWAY 447, W1 1.000000 0.000000 AWAY 447, W3 1.000000 0.000000
AWAY 447, W4 1.000000 0.000000 AWAY 447, W5 1.000000 0.000000
AWAY 447, W6 1.000000 0.000000 AWAY 447, W7 1.000000 0.000000
AWAY 448, W2 1.000000 0.000000 AWAY 448, W4 1.000000 0.000000
Lampiran 3 Penyelesaian Langkah 2 Masalah Penjadwalan Pertandingan Babak Penyisihan
Piala Eropa 2008 Grup B dengan Menggunakan Software LINGO 8.0
MODEL :
TITLE Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola;
SETS :
POLA11..7; POLA21..7;
WAKTU1W1..W7; WAKTU2W8..W14;
BETA1POLA1,POLA2,WAKTU1:X1; BETA2POLA1,POLA2,WAKTU2:X2;
ENDSETS Fungsi objektif;
MIN =
SUM BETA1I,J,K:X1I,J,K+
SUM BETA2I,J,L:X2I,J,L;
Kendala tanding; FOR
POLA1I: FOR
POLA2J|INEJ: SUM
WAKTU1K:X1I,J,K+ SUM
WAKTU2L:X2I,J,L=1; Kendala bahwa setiap pasangan hanya bermain satu kali;
FOR POLA1I:
FOR WAKTU1K:
SUM POLA2J:X1I,J,K+
SUM POLA2J:X1J,I,K=1;
FOR POLA1I:
FOR WAKTU2L:
SUM POLA2J:X2I,J,L+
SUM POLA2J:X2J,I,L=1;
Kendala mirror; FOR
BETA1I,J,K|INEJ:X1I,J,K=X2J,I,K; FOR
BETA2I,J,L|INEJ:X1I,J,L=X2J,I,L; Kendala variabel keputusan bernilai 0 atau 1;
FOR BETA1:
BIN X1;
FOR BETA2:
BIN X2;
END Keterangan: tidak semua variabel dicantumkan dan hanya variabel yang bernilai 1 dan merupakan
nilai yang dicari sedangkan yang bernilai 0 tidak ditampilkan karena jumlahnya terlalu banyak
Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 42.00000
Model Title: Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola Variable
Value Reduced Cost X1 2, 1, W2 1.000000 1.000000
X1 3, 1, W1 1.000000 1.000000 X1 3, 2, W3 1.000000 1.000000
X1 4, 1, W3 1.000000 1.000000
X1 4, 2, W1 1.000000 1.000000 X1 4, 3, W2 1.000000 1.000000
X1 5, 1, W5 1.000000 1.000000 X1 5, 2, W4 1.000000 1.000000
X1 5, 3, W6 1.000000 1.000000 X1 5, 4, W7 1.000000 1.000000
X1 6, 1, W4 1.000000 1.000000 X1 6, 2, W5 1.000000 1.000000
X1 6, 3, W7 1.000000 1.000000 X1 6, 4, W6 1.000000 1.000000
X1 6, 5, W1 1.000000 1.000000 X1 7, 1, W6 1.000000 1.000000
X1 7, 2, W7 1.000000 1.000000 X1 7, 3, W4 1.000000 1.000000
X1 7, 4, W5 1.000000 1.000000 X1 7, 5, W2 1.000000 1.000000
X1 7, 6, W3 1.000000 1.000000
Model Title: Masalah Jadwal Pertandingan Sepak bola Variable Value Reduced Cost
X2 1, 2, W9 1.000000 1.000000 X2 1, 3, W8 1.000000 1.000000
X2 1, 4, W10 1.000000 1.000000 X2 1, 5, W12 1.000000 1.000000
X2 1, 6, W11 1.000000 1.000000 X2 1, 7, W13 1.000000 1.000000
X2 2, 3, W10 1.000000 1.000000 X2 2, 4, W8 1.000000 1.000000
X2 2, 5, W11 1.000000 1.000000 X2 2, 6, W12 1.000000 1.000000
X2 2, 7, W14 1.000000 1.000000 X2 3, 4, W9 1.000000 1.000000
X2 3, 5, W13 1.000000 1.000000 X2 3, 6, W14 1.000000 1.000000
X2 3, 7, W11 1.000000 1.000000 X2 4, 5, W14 1.000000 1.000000
X2 4, 6, W13 1.000000 1.000000 X2 4, 7, W12 1.000000 1.000000
X2 5, 6, W8 1.000000 1.000000 X2 5, 7, W9 1.000000 1.000000
X2 6, 7, W10 1.000000 1.000000
Lampiran 4 Jadwal Pertandingan Babak Kualifikasi Piala Eropa 2008 Grup B
Tabel 3 Jadwal pertandingan babak kualifikasi Piala Eropa 2008 Grup B Home
Away
Skotlandia Perancis
Itali Ukraina
Lithuania Georgia
Kepulauan Faroe
Skotlandia 2 Sep
2006 6 Sep
2006 7 Okt
2006 11 Okt
2006 17 Okt
2007 28 Mei
2007 Perancis
6 Juni 2007
12 Sep 2007
8 Sep 2007
21 Nov 2007
28 Mei 2007
11 Okt 2006
Itali 8 Sep
2007 7 Okt
2006 2 Sep
2006 24 Mei
2007 13 Okt
2007 2 Juni
2007 Ukraina
12 Sep 2007
6 Sep 2006
6 Juni 2007
17 Nov 2007
21 Nov 2007
17 Okt 2007
Lithuania 13 Okt
2007 2 Juni
2007 17 Okt
2007 28 Mei
2007 6 Juni
2007 7 Okt
2006 Georgia
24 Mei 2007
17 Nov 2007
11 Okt 2006
2 Juni 2007
2 Sep 2006
6 Sep 2006
Kepulauan Faroe
17 Nov 2007
13 Okt 2007
21 Nov 2007
24 Mei 2007
12 Sep 2007
8 Sep 2007
PENYELESAIAN MASALAH PENJADWALAN PERTANDINGAN SEPAK BOLA
DENGAN SISTEM ROUND-ROBIN
ABDILLAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2008
ABSTRAK
ABDILLAH . Penyelesaian Masalah Penjadwalan Pertandingan Sepak Bola dengan Sistem
Round-Robin. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR.
Masalah penjadwalan pertandingan sepak bola dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Salah satu caranya adalah dengan memodelkan masalah penjadwalan pertandingan sebagai suatu
masalah Integer Linear Programming ILP. ILP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel integer bilangan bulat. Solusi optimum dari masalah ILP
diperoleh dengan bantuan software LINGO 8.0 yang prinsip pemecahannya berdasarkan metode branch and bound.
Pada tulisan ini dipelajari pemodelan masalah penjadwalan pertandingan sepak bola dengan sistem round-robin. Sistem ini mengharuskan setiap tim bertanding dengan semua tim peserta lain
satu kali untuk setengah kompetisi. Masalah tersebut kemudian diterapkan dalam penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Eropa 2008 Grup B. Ada tiga langkah untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yaitu penentuan pola pertandingan yang terdiri atas home, away, dan bye. Selanjutnya pada langkah kedua ditentukan tabel pertandingan,
sedangkan langkah ketiga merupakan perpaduan dari langkah pertama dan langkah kedua yang menghasilkan jadwal pertandingan.
ABSTRACT
ABDILLAH . Solving the Football Game Scheduling Problem by Round-Robin System. Under the
direction of FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR.
The football game scheduling problem can be solved by means of many ways. One of them is by modelling the problem as an Integer Linear Programming ILP problem. ILP is an
optimization problem which has linear objective functions, linear constraints and integer-valued variables. Optimum solution of ILP problem can be obtained by using LINGO 8.0, on which the
branch and bound method is applied.
In this paper we studied the modelling of football game scheduling problem with round-robin system. This system arranges each team met other teams once for half competition. We applied our
model for match scheduling in the qualification round of Euro Cup 2008 Group B. There were three steps to complete that problem, Step 1 was to determine game patterns which consist of
home, away, and bye. Then Step 2 was to determine timetable, and Step 3 was to combine the Step 1 and Step 2. The Step 3 produced a schedule.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Sepak bola merupakan olahraga yang
populer di seluruh dunia termasuk di Indonesia. Sepak bola sebenarnya memiliki
perangkat-perangkat penting yang harus ada dalam penyelenggaraannya, salah satunya
adalah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan dengan
hati-hati dan penuh pertimbangan agar pertandingan sepak bola dapat berjalan lancar.
Permasalahan ini harus segera diatasi, tentunya ada banyak cara yang bisa dilakukan.
Salah satunya adalah dengan memodelkan masalah penjadwalan pertandingan sepak bola
sebagai suatu masalah Integer Linear Programming
ILP. ILP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala
yang linear serta variabel integer bilangan bulat. Pada karya ilmiah yang menjadi
literatur utama tulisan ini, yaitu ”Scheduling a Major College Basketball Conference
” yang ditulis oleh George L. Nemhauser dan
Michael A. Trick, dibahas pemodelan masalah penjadwalan pertandingan dengan ILP dan
menggunakan bantuan software CPLEX 4.0 untuk menyelesaikannya.
1.2 Tujuan
Tulisan ini bertujuan memodelkan dan menyelesaikan masalah penjadwalan
pertandingan melalui ILP. Sebagai studi kasus diselesaikan masalah penjadwalan
pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Eropa 2008 Grup B.
II LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Linear Definisi 1 Fungsi Linear
Misalkan
,..., ,
2 1
n
x x
x f
menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel
n
x x
x ,...,
,
2 1
.
,..., ,
2 1
n
x x
x f
adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk
himpunan konstanta
n
c c
c ,...,
,
2 1
,
. ...
,..., ,
2 2
1 1
2 1
n n
n
x c
x c
x c
x x
x f
+ +
+ =
[Winston, 1995] Sebagai gambaran,
2 1
2 1
2 ,
x x
x x
f +
=
merupakan fungsi linear, sementara
2 2
1 2
1
, x
x x
x f
= bukan fungsi linear. Suatu
persamaan b
x x
x f
n
= ,...,
,
2 1
merupakan
persamaan linear
, apabila f fungsi linear.
Definisi 2 Pertidaksamaan Linear
Untuk sembarang fungsi linear ,...,
,
2 1
n
x x
x f
dan sembarang bilangan b, pertidaksamaan
b x
x x
f
n
≤ ,...,
,
2 1
dan b
x x
x f
n
≥ ,...,
,
2 1
dikatakan pertidaksamaan linear.
[Winston, 1995] Menurut Winston 1995, Pemrograman
Linear PL adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai
berikut. a
Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi linear yang akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b Nilai variabel-variabel keputusannya harus
memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear
atau pertidaksamaan linear. c
Variabel keputusan harus taknegatif ≥
i
x atau tidak dibatasi tandanya.
Suatu PL dikatakan memiliki bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3 Bentuk Standar PL
Suatu pemrograman linear didefinisikan mempunyai bentuk standar:
minimumkan
z =
T
c x
terhadap
=
Ax b
≥
x
...1
dengan x dan c merupakan vektor berukuran n
, vektor b berukuran m, sedangkan A
merupakan matriks berukuran m x n. Matriks A
disebut matriks kendala. [Nash Sofer, 1996]
Definisi 4 Solusi Optimum
Solusi optimum terbaik adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai
fungsi objektif terkecil dalam masalah minimisasi. Untuk masalah maksimisasi,
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Sepak bola merupakan olahraga yang
populer di seluruh dunia termasuk di Indonesia. Sepak bola sebenarnya memiliki
perangkat-perangkat penting yang harus ada dalam penyelenggaraannya, salah satunya
adalah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan dengan
hati-hati dan penuh pertimbangan agar pertandingan sepak bola dapat berjalan lancar.
Permasalahan ini harus segera diatasi, tentunya ada banyak cara yang bisa dilakukan.
Salah satunya adalah dengan memodelkan masalah penjadwalan pertandingan sepak bola
sebagai suatu masalah Integer Linear Programming
ILP. ILP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala
yang linear serta variabel integer bilangan bulat. Pada karya ilmiah yang menjadi
literatur utama tulisan ini, yaitu ”Scheduling a Major College Basketball Conference
” yang ditulis oleh George L. Nemhauser dan
Michael A. Trick, dibahas pemodelan masalah penjadwalan pertandingan dengan ILP dan
menggunakan bantuan software CPLEX 4.0 untuk menyelesaikannya.
1.2 Tujuan
Tulisan ini bertujuan memodelkan dan menyelesaikan masalah penjadwalan
pertandingan melalui ILP. Sebagai studi kasus diselesaikan masalah penjadwalan
pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Eropa 2008 Grup B.
II LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Linear Definisi 1 Fungsi Linear
Misalkan
,..., ,
2 1
n
x x
x f
menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel
n
x x
x ,...,
,
2 1
.
,..., ,
2 1
n
x x
x f
adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk
himpunan konstanta
n
c c
c ,...,
,
2 1
,
. ...
,..., ,
2 2
1 1
2 1
n n
n
x c
x c
x c
x x
x f
+ +
+ =
[Winston, 1995] Sebagai gambaran,
2 1
2 1
2 ,
x x
x x
f +
=
merupakan fungsi linear, sementara
2 2
1 2
1
, x
x x
x f
= bukan fungsi linear. Suatu
persamaan b
x x
x f
n
= ,...,
,
2 1
merupakan
persamaan linear
, apabila f fungsi linear.
Definisi 2 Pertidaksamaan Linear
Untuk sembarang fungsi linear ,...,
,
2 1
n
x x
x f
dan sembarang bilangan b, pertidaksamaan
b x
x x
f
n
≤ ,...,
,
2 1
dan b
x x
x f
n
≥ ,...,
,
2 1
dikatakan pertidaksamaan linear.
[Winston, 1995] Menurut Winston 1995, Pemrograman
Linear PL adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai
berikut. a
Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi linear yang akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b Nilai variabel-variabel keputusannya harus
memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear
atau pertidaksamaan linear. c
Variabel keputusan harus taknegatif ≥
i
x atau tidak dibatasi tandanya.
Suatu PL dikatakan memiliki bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3 Bentuk Standar PL
Suatu pemrograman linear didefinisikan mempunyai bentuk standar:
minimumkan
z =
T
c x
terhadap
=
Ax b
≥
x
...1
dengan x dan c merupakan vektor berukuran n
, vektor b berukuran m, sedangkan A
merupakan matriks berukuran m x n. Matriks A
disebut matriks kendala. [Nash Sofer, 1996]
Definisi 4 Solusi Optimum
Solusi optimum terbaik adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai
fungsi objektif terkecil dalam masalah minimisasi. Untuk masalah maksimisasi,
solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai
fungsi objektif terbesar. [Winston, 1995]
2.1.1 Solusi PL
Kategori