Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik

(1)

APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA

NETWORK GENETIK

SKRIPSI

NORA ANGGRIYA

070823008

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(2)

APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA NETWORK GENETIK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

NORA ANGGRIYA 070823008

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009

(3)

PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT

PADA NETWORK GENETIK

Kategori : SKRIPSI

Nama : NORA ANGGRIYA

Nomor Induk Mahasiswa : 070823008

Program Studi : STATISTIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 16 Juli 2009

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Marwan Harahap, M.Eng. Dr. Sutarman, M.Sc.

NIP. 130 422 443 NIP. 131 945 359

Diketahui / Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 131 796 149

(4)

PERNYATAAN

APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA NETWORK GENETIK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, 16 Juli 2009

NORA ANGGRIYA 070823008

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala berkah, rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat dalam menyelesaikan Program Studi S1 Statistika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Dr. Sutarman, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembimbing 2 pada penyelesaian Skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Serta Drs. H. Haluddin Panjaitan dan Drs Pengarapen Bangun, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji skripsi ini. Terimakasi atas saran dan masukannya. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Hendri Rani Sitepu, M.Si. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU, dan

rekan – rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada kedua orang tua saya

ayahanda (Syukri Raden) dan ibunda (Yusra), serta kedua kakanda (Denni Marhayuri dan Roni Riyadi) dan semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.

(6)

ABSTRAK

Metode pengambilan keputusan markov merupakan suatu metode yang telah dikenal luas untuk pengambilan keputusan dalam model-model stokastik. Dalam tulisan ini dibahas penggunaan salah satu metode pengambilan keputusan markov, yaitu aplikasi network genetik.

Probabiliti Network Boolean (PBN) yaitu proses pada waktu diskrit, distribusi probabiliti pada gene ekspresi diwaktu t+1 dari gene i dapat diestimasi dengan gene ekspresi pada gene n yang lain diwaktu t-1 matriks transisi. Ini adalah proses markov framework. Diingat bahwa model rantai markov multivariat untuk menduga network genetik dari gene n. Pada network ini, tidak ada informasi sebelumnya pada hubungan gene-gene n diterima, model yang ditunjukkan tersebut digunakan untuk menemukan variasi hubungan gene yang utama, termasuk gene dan hubungan gene cyclic atau acyclic.

(7)

APPLICATIONS OF MULTIVARIATE MARKOV CHAIN TO GENETIC NETWORKS

ABSTRACT

Markov Decision process is one of the well-known metodes to solve optimisation problem in stochastic modelling theory. In this paper, we show one simple example of applications to genetic networks.

The Probabilistict Boolean Networks (PBN) is a discrete-time process, the probability

distribution of gene expression at time t + 1 of the ith gene can be estimated by the

gene expression of other n genes at time t via one-lag transitio matrix. This is a Markov process framework. We consider the multivariate Markov chain model to inver the genetic network of n genes. In this network, no prior information on n genes relationships is assumed, our proposed model is used to uncover the underlying various gene relationships, including genes and gene cyclic or acyclic relationships.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 3

1.3Tujuan Penelitian 3

1.4Kontribusi Penelitian 4

1.5Tinjauan Pustaka 4

1.6Metode Penelitian 5

1.7Sistematika Penulisan 5

BAB 2 TINJAUAN TEORITIS 7

2.1 Rantai Markov 7

2.2 Model Rantai Markov Multivariat 8

2.3 Estimasi Pada Model Parameter 11

2.4 Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik 13

BAB 3 PEMODELAN RANTAI MARKOV UNTUK NETWORK

GENETIK 17

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 32

4.1 Kesimpulan 32

4.2 Saran 32

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Hasil Deret yang Pertama 22

(10)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat cepat dan pesat ilmu statistik memegang peranan penting dalam kehidupan. Ilmu ini mampu membantu meningkatkan kreatifitas dan produktifitas manusia. Pada era globalisasi ini ilmu ini perlu diterapkan dengan cara yang lebih sederhana sehingga mudah digunakan dalam pengambilan keputusan.

Salah satu bagian dari statistika adalah rantai markov (markov chain). Rantai markov merupakan suatu proses stokastik yang digunakan untuk pembuatan model dengan bermacam-macam sistem. Rantai markov ini, salah satunya digunakan untuk membantu meramalkan kejadian-kejadian pada masa yang akan datang dengan pengambilan keputusan.

Rantai markov (Markov Chain) adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan untuk pembuatan model (modeling) bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat memperkirakan perubahan-perubahan pada waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis pada waktu yang lalu. Teknik ini dapat juga digunakan untuk menganalisis kejadian-kejadian pada waktu mendatang secara matematis.

Penerapan rantai markov mula-mula digunakan untuk menganalisis dan memperkirakan perilaku partikel-partikel gas dalam suatu wadah tertutup serta meramalkan keadaan cuaca. Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilan keputusan manajerial. Proses markov telah banyak diterapkan untuk menganalisis tentang perpindahan merek (brands switching) dalam pemasaran, perhitungan

(11)

rekening, jasa persewaan mobil, perencanaan penjualan, masalah-masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham, dan administrasi rumah sakit.

Analisis rantai markov adalah suatu teknik probabilitas yang menganalisis pergerakan probabilitas dari satu kondisi ke kondisi yang lainnya. Rantai markov ini dikenalkan oleh Andrei A. Markov, ahli matematika dari rusia yang lahir tahun 1856 (Ching dan Ng, 2006). Analisis markov hampir sama dengan decision analysis, bedanya adalah analisis rantai markov tidak memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan yang dapat membantu pengambilan keputusan. Dengan demikian, analisis rantai markov bukanlah teknik optimisasi, tetapi adalah teknik deskriptif yang menghasilkan informasi probabilitas dimasa mendatang.

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota matriks tersebut.(Anton Howord, 2000:45). Ordo suatu matriks dinyatakan dengan jumlah baris dan kolom yang terkandung dalam matriks tersebut. Matriks yang berorde (m*n), dengan m menyatakan jumlah baris dan n menyatakan jumlah kolom. Di mana baris dalam matriks merupakan unit pengamatan atau subyek sedangkan kolom merupakan variabel yang diukur untuk setiap unit. Multivariat untuk menyelesaikan masalah atau problema yang berkaitan tiga variable atau lebih. Teknik analisis statistik yang melakukan sekelompok variabel kriteria yang saling berkorelasi sebagai satu sistem

yang memperhitungkan korelasi antar variabel–variabel tersebut.

Analisis multivariat merupakan salah satu jenis analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data yang terdiri dari banyak peubah bebas (independent variabel) dan juga banyak peubah tak bebas (dependent variabel). Data multivariat adalah data yang dikumpulkan dari dua atau lebih observasi dengan mengukur observasi tersebut dengan beberapa karakteristik.

1. Univariat meliputi satu variabel kriteria yang tergolong dalam himpunan data tunggal

(12)

2. Bivariat (pasangan variabel acak) dua variabel saling berkaitan 3. Multivariat terdiri dari beberapa variabel kriteria.

Jaringan kerja (model network) adalah suatu diagram yang digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah matematika yang cukup rumit agar menjadi lebih sederhana dan mudah diamati. Masalah-masalah yang dapat diatasi dengan network antara lain masalah penjadwalan (network planing), masalah transportasi, masalah penggantian peralatan, dan masalah lintasan terpendek.

Genetik merupakan ilmu tentang pewarisan sifat individu kepada keturunannya, berkaitan dengan gen atau faktor keturunannya. Jadi network genetik merupakan tingkat hubungan fungsional untuk setiap kejadian pada waktu tertentu. Untuk menyelesaikan suatu persoalan dalam pengambilan keputusan ada tidaknya hubungan antara kondisi satu dengan kondisi lain dengan menggunakan aplikasi rantai markov multivariat pada network genetik.

1.2Perumusan Masalah

Masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah memodelkan rantai markov mutivariat pada network genetik dan memaparkan kaidah yang berhubungan dengannya.

1.3Tujuan Penelitian

Menguraikan cara menentukan ada tidaknya hubungan tingkat sensivitas dari gene satu ke gene yang lain dengan menggunakan aplikasi rantai markov multivariate pada network genetik.

(13)

1.4Kontribusi penelitian

Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang berhubungan dengan model rantai markov multivariat.

1.5Tinjauan Pustaka

Rantai markov multivariat telah digunakan diberbagai bidang. Pada bidang matematika keuangan Artzner dan Delbaen (1997) menggunakan rantai markov untuk menentukan risiko kegagalan hadiah dan pemasaran tidak lengkap. Sementara itu bidang biologi Mendoza, Thieffry dan Alvarez (1999) menggunakan genetik kontrol dari bunga morphogenesis pada Arabidopsis Thaliana. Rantai markov multivariat digunakan pada model network genetik oleh Ching, Fung dan Ng (2004) membangun network genetik pada contoh gene ekspresi. Salah satu penelitian gen yang penting adalah dapat memahami mekanisme cara menjalankan sel-sel dan pengendalian nomor besar pada operasi untuk fungsi normal, dan juga sistem sel-sel dalam penyakit. Model dasar seperti pada network neural, non-linier sederhana, Petri nets, persamaan differensial ditujukan untuk berbagai masalah, lihat pada Smoelen, Baxter dan Byrne (2000) menggunakan model matematik pada network gene, neuron, oleh Bower (2001) menggunakan model komputasi pada genetik dan network biokimia, oleh De Jong (2002) mengunakan model dan simulasi pada sistem regulatori genetik.(Ching dan Ng (2006)).

Pada model network ini, setiap gene adalah verteks pada network dan jumlahnya hanya dua tingkat (jelas (0) atau tiadak jelas (1)). Pada bidang bioinformasi oleh Akutsu, Miyano and Kuhara (2000) menggunakan penarikan kesimpulan menurut kwalitas relasi pada network genetik dan pergantian zat pada setiap barisan, ditujukan banyak network Boolean bersama dengan identifikasi algorithm.(Ching dan Ng (2006)).

(14)

Network Boolean adalah bagian dari pembuatan network genetik pada dasarnya, maka n sebagai nomor pada pertimbangan gene bawah, yang mana verteks

v mewakili gene i, dan v_i(t) mewakili ungkapan tingkat gene i pada waktu t, ambil

salah satu 0 atau 1. ungkapan tingkat gen yang lain adalah hubungan fungsional untuk itu pada gene-gene lain. Perhitungan model-model itu menyatakan hubungan yang logis pada gagasan Bodnar (1997) menggunakan pemograman drosophila embryo. Pada jurnal Biologi, Mendoza, Thieffry dan Alvarez (1999) menggunakan genetik control dari bunga morphogenesis pada Arabidopsis Thaliana, dan oleh Huang dan

Ingber (2000) menggunakan model–bergantung (dependent) mengkontrol

pertumbuhan sel, differensial, dan apoptosis: perpindahan antara atractors pada sel network regulatori, percobaan pada penelitian sel.(Ching dan Ng (2006)).

1.6Metode Penelitian

Uraian yang digunakan dalam penelitian secara rinci meliputi:

1. Mengestimasi jk

P dan jk ;

2. Menghitung frekuensi transisi dari keadan deret k sampai keadaan deret j, dari

sini dapat disusun matriks frekuensi pada deret data;

3. Setelah dinormalisasi, diperoleh estimasi pada matriks transisi probability;

4. Menghitung pada setiap kejadian masing-masing gene;

5. Menghitung tingkat pengaruh dari gene j ke gene i.

1.7Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan Tugas Akhir secara garis besar dibagi dalam 4 bab masing-masing bab dibagi atas beberapa sub-sub bab yaitu:

(15)

Bab ini menjelaskan latar belakang, perumusan masalah, tujuan penelitian, kontribusi penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan tugas akhir.

BAB 2 : TINJAUAN TEORITIS

Bab ini menguraiakan tentang teori-teori dan tinjauan tentang segala sesuatu yang menyangkut terhadap penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai judul yang diutarakan.

BAB 3 : PEMODELAN RANTAI MARKOV UNTUK NETWORK GENETIK

Bab ini menguraikan persoalan menggunakan pemodelan rantai markov multivariat pada network genetik.

BAB 4 : KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini berisikan kesimpulan dari pembahasan didalam penyelesaian skripsi serta saran-saran yang diberikan peneliti berdasarkan simpulan yang diambil.

(16)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Rantai Markov

Rantai markov (Markov Chain) adalah suatu model teoritis yang menjelaskan keadaan sebuah sistem pada suatu tahap tertentu. Model ini dapat memperkirakan perubahan-perubahan pada waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis pada waktu yang lalu. Teknik ini dapat juga digunakan untuk menganalisis kejadian-kejadian pada waktu mendatang secara sistematis.

Penerapan rantai markov mula-mula digunakan untuk menganalisis dan memperkirakan perilaku partikel-partikel gas dalam suatu wadah tertutup serta meramalkan keadan cuaca. Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilan keputusan manajerial. Proses markov telah banyak diterapkan untuk menganalisa tentang perpindahan merek (brands witching) dalam pemasaran, perhitungan rekening, jasa persewaan mobil, perencanaan penjualan, masalah-masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham, dan administrasi rumah sakit.

Rantai markov ini dikenalkan oleh Andrei A. Markov, ahli matematika dari Rusia yang lahir tahun 1856 (Ching dan Ng, 2006). Analisis markov menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pembuatan keputusan, jadi analisis ini bukan suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik deskriptif. Analisis markov merupakan suatu bentuk khusus dari model probabilistik yang lebih umum dinamakan dengan Stochastic process, yaitu proses perubahan perubahan probabilistik yang terjadi terus-menerus.

(17)

Untuk dapat menerapkan analisis rantai markov kedalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi :

1. jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan

1(satu),

2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam

sistem,

3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu,

4. kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu.

Dalam realita, penerapan analisis markov biasa terbilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisis markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem).

2.2 Model Rantai Markov Multivariat

Pada bagian ini, dibahas model rantai markov mutivariat menggambarkan deret multiple kategorik dengan hasil yang sama. Diasumsikan s deret kategorik dan yang

lain m kemungkinan keadan dalam himpunan M = {1,2,…,m}.

Misalnya j

X keadan vektor deret j pada waktu n. jika deret j dalam keadaan

l pada waktu n maka dapat ditulis

j masukkan l

n e 0,,0,__1_ ,0,0

Pada persaman model rantai markov multivariat , diasumsikan sebagai berikut:

s j

untuk P

k n jk jk j

n , 1,2,..., 1

1 X

X (1)

Dengan _jk 0, 1 j,k s (2)

Dan

jk untuk j s 1

. ,..., 2 , 1 ,

(18)

Pada keadaan probability distribusi deret k pada waktu t (n+ 1) bergantung pada

rata-rata bobot jk _nk

P X . P jk adalah matriks transisi probability dari keadaan deret k

sampai keadaan deret j, dan k

X adalah keadaan distribusi probability deret k pada

waktu n. Bentuk matriks dapat ditulis

. 1 2 1 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 1 2 1 1 1 1 n n n s n n n ss ss s s s s s s s s s n n n n Q atau Q P P P P P P P P P X X X X X X X X X X         

Walaupun jumlah kolom Q tidak sama dengan satu (jumlah kolom jk

P sama dengan

satu), sebagaimana menurut dalil :

Dalil 1. jika parameter _jk 0, untuk 1 j,k s, maka matriks Q mempunyai nilai eigen sama dengan satu dan nilai eigen pada Q memiliki aturan lebih kecil dari atau sama dengan satu.

Bukti. Dari persaman (2) jumlah kolom pada matriks

s s s s s s , , 2 , 1 2 , 2 , 2 2 , 1 1 , 1 , 2 1 , 1       

adalah satu. Sejak _jk 0, tidak negative dan tak

terjabarkan. Theorema Perron-Frobenius, dimana ada sebuah vektor

T s

y y y₁, ₂,,

y dengan demikian T T

y . Dinotasikan dengan

, , 1

, i j s

P ij _m

m 1

1 yaitu vektor 1*m semuanya satu, 1_m 1,1,,1. Maka

mudah menunjukkan y11m,y21m,...,ys1m Q y11m,y21m,...,ys1m . Dan dari sini

harus satu nilai eigen pada Q.

Untuk menunjukkan semua nilai eigen pada Q kurang dari atau sama dengan

satu. Misalnya defenisi pada vektor-norm

. 1 , , ,..., , :

max ₁ ₂

1 1

s j

v _i _s _j m

s i R z z z z z z

(19)

adalah vektor-norm pada ms

R . Dapat didefenisikan menurut matriks norm

. 1 :

sup Q v v Q

M z z Sejak

P matriks transisi, yang mana anggotanya

P adalah kurang dari atau sama dengan satu.

Dengan 1 1, 1 , .

1 i j s

P ij z_j z_j Disini

. adalah 1-norm untuk sebuah

vektor.

j ij s

is is i

i i

i P P P v i s

1 1

2 2 2 1 1

1 z z ... z z . 1,1 dan dari sini

. 1

Q Sejak spectral radius pada Q selalu kurang dari atau sama setiap matriks

norm pada Q, dengan hasil sebagai berikut.

Dalil 2. menduga matriks jk

P (1≤ i, j ≤ s) adalah tak terjabarkan (irreducible) dan

. , 1 ,

0 untuk j k s

jk Maka disana adalah sebuah vektor tunggal

T s

x x

x 1, 2 ,, dengan demikian x Qx dan 1,1 .

s j

i j

Bukti. Dalil 1, di atas adalah tepat suatu nilai eigen pada Q sama dengan satu. Ini

tercantum n T

Q vu

lim setiap barisan matriks positif seperti Q adalah tak

terjabarkan (irreducible). Karena itu lim x ₁ lim x lim nx₀ vuTx₀ v.

n n n

n n

Q Q

Disini adalah positif sejak x 0 dan tidak negative. Pada xn cenderung menuju

pada sebuah vektor stasionary seperti n menuju tak hingga. Akhirnya, dinotasikan jika

x adalah vektor dengan demikian 1,1 ,

0 j s

i j

x maka Qx dan x juga

memiliki vektor-vektor.

Sekarang andaikan bahwa ada y dengan demikian y x dan lim n.

n x

Maka didapat x y x Qx 0. Ini adalah suatu penyangkalan dan karena itu

vektor x harus tunggal. Kemudian didapatkan hasilnya.

Dinotasikan x bukan vektor distribusi probability, tetapi j

x vektor distribusi

(20)

mengestimasi model parameter _ij. Andaikan untuk mendapatkan _ij yang mana

minimisasi Qxˆ xˆ tentu dibawah vektor norm . .

2.3 Estimasi Pada Model Parameter

Pada bagian ini, dibahas metode untuk estimasi jk _jk

dan

P . Mengestimasi matriks

transisi probability jk

P dengan mengikuti metode. Pertama menghitung frekuensi

transisi pada keadan deret k. Setelah menormalisasikan, diperoleh estimasi pada matriks probability transisi. Mengestimasi n demikian m dengan m matriks transisi

probability untuk mendapat estimasi pada jk

P seperti dibawah ini:

jk mm jk m jk m jk jk m jk jk f f f f f f F           1 2 12 1 11

Dari jk

F dapat mengestimasi untuk jk

P seperti dibawah ini:

jk mm jk m jk m jk jk m jk jk p p p p p p P ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 12 1 11           Dengan 0 0 1 1 ˆ m k i k i j i m k i jk k i j i jk k i j i k j f jika f f lain cara dengan jk i i p

Pada jk

Pˆ , sulit untuk mengestimasi parameter jk . Dapat membentuk model

(21)

dapat mengestimasi dari deretan gene ekspresi dengan menghitung proporsi pada kejadian masing-masing gene dan dinotasikan dengan:

T s

x x

xˆ ˆ 1,ˆ 2 ,,ˆ

Karena itu diharapkan bahwa

x xˆ ˆ

2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 ss ss s s s s s s s s P P P P P P P P P        (4)

Dari persaman (4) mengangap satu kemungkinan untuk estimasi parameter

jk . Dalam fakta, dengan . seperti vektor norm untuk mengukur

perbedaan pada persamaan (4), dapat diselesaikan dengan cara minimisasi;

. , 0 , 1 ˆ ˆ ˆ max min 1 1 k dan to subject i P jk s k jk j k jk m k jk i x x

(5)

Persamaan (5) dapat dirumuskan seperti s masalah linier programming sebagai berikut, dapat dilihat (Chvatal V (1983)). Untuk j lain:

s k jk jk j js j j j j j j js j j j j j j j k w B w w w B w w w w subjectto 1 , 0 2 1 2 1 , 0 , 1 ˆ ˆ min     x x

(22)

Dengan

s js j

P P

B ˆ 1 xˆ 1 ˆ 2 xˆ 2  ˆ xˆ .

Dengan ( jk)

F = matriks frekuensi pada keaadan deret k ke keadaan deret j

Pˆ = matriks transisi probability pada keadaan deret k ke keadaan deret j

_jk = parameter

2.4 Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik

Pada bagian ini, model rantai markov multivariat yaitu memodelkan network genetik. Network Boolean merupakan faktor yang menentukan, keadaan tak pasti. Pada

umumnya network Boolean G V,F terdiri dari himpunan V v1,v2,,vn dan

v_i menggambarkan keadaan (0 atau 1) v_i pada waktu t. Fungsi Boolean

f f

F 1 , 2 ,, menggambarkan aturan regulatori interaksi antara simpul:

n i

t f t

v_i 1 i v , 1,2,, , dengan v t v₁ t ,v₂ t ,,v_n t . Pada

umumnya, sebagian simpul tak perlu pada fungsi Boolean. Untuk fungsi Boolean j

f , variabel v_i t disebut tak benar jika

t v v

t v t v f t v t v t v t v

f j ₁ ,, _i ₁ ,0, _i ₁ ,, _n j ₁ ,, _i ₁ ,1, _i ₁,, _n untuk

semua nilai kemungkinan pada v₁ t ,,v_i ₁ t ,v_i ₁ t ,,v_n t . Dengan menganggap

bahwa ketika network boolean digunakan dalam penyusunan pada network genetik utama, maka n melambangkan jumlah dari gene-gene berdasarkan pertimbangan,

setiap verteks vi mewakili gene i, dan vi(t) melambangkan tingkat ekspresi gene i

pada waktu t, salah satunya 0 atau 1. Tingkat ekspresi pada setiap gene adalah relasi fungsional untuk gene lainnya.

Model network genetik regulatori dapat ditulis seperti:

, , , 1 li j i j

i f



dimana setiap prediktor i

(23)

dan l i jumlah kemungkinan prediktor untuk gene vi. Ini jelas bahwa i n

i F

F  ₁ .

Misalnya i

j mencapai kesalahan optimal dengan

i j

f dan _i adalah kesalahan pada

estimasi terbaik dari gene i dalam ketidakadaan suatu kondisi variabel, maka didapat

i i j i i

j . Untuk

j semua positif, dapat diperoleh

i j

c dengan:

i l

i k i k

i j i

} 0 :

{

. Di dapat bahwa, i

c haruslah

i l

j i

j untuk i n

. ,..., 1 .

pada setiap waktu tertentu, tingkat ekspresi pada gene i ditentukan oleh salah satu

predictor yang memungkinkan yaitu f_ji untuk 1 j l i , probabiliti transisi dari

1 t hingga

t v

v dapat diperoleh sebagai berikut:

i i l

i i

k i

k f t v t

1 1

} 1 :

{ v .

Pada tingkat pengaruh dari gene j ke gene i dapat ditaksir dengan

i k i

k j j n

i k n j

j i

k i

j v ob f v v v v f v v v v c

1Pr 1,..., 1,0, 1,..., 1,..., 1,1, 1,..., (6)

Sebelum mengevaluasi salah satu keadaan transisi probability atau I_j v_i ,

pertama dibutuhkan untuk memperoleh semua prediktor i

n i 1 F

 Dianggap bahwa

untuk setiap himpunan dari F_i dengan 1 i n, jumlah maksimum dari prediktor

adalah sama pada 22n seperti 1 l i 22n , ini adalah benar untuk penyesuaian

probabilitas i

i l i

c c₁ ,, .

Probabiliti Network Boolean (PBN) yaitu proses pada waktu diskrit, distibusi probability pada gene ekspresi diwaktu t+ 1 dari gene i dapat diestimasi dengan gene ekspresi pada gene n yang lain diwaktu t-1 matriks transisi. Ini adalah proses markov framework. Diingat bahwa model rantai markov multivariat untuk menduga network genetik dari gene n. Pada network ini, tidak ada informasi sebelumnya pada hubungan gene-gene n diterima, model yang ditunjukkan tersebut digunakan untuk menemukan variasi hubungan gene yang utama, termasuk gene dan hubungan gene cyclic atau

acyclic. Ini dapat mengestimasi kondisi distribusi probability d

i n

X _,...,

(24)

ekspresi pada dasar t+ 1 yang diberikan dengan suatu himpunan pada gene input ekspresi pada dasar t,

n k n k dk i dk i dk dk i k t d t d i i k k k n P E P n k untuk E V V ob X 1 1 ., 1

,..., Pr 1,...,

Dengan i_k 0,1 dan P_.,dk_i merupakan kolom i pada dk

P . Dengan jelas, setiap

vektor probability d

i n

X _,...,

1 yaitu unit vektor dan untuk setiap d, disana

2 jumlah pada

vektor probability sulit untuk diestimasi. Jika _dk=0 untuk beberapa j 1,...,n ,

menggambarkan gene j tidak memiliki suatu pengaruh untuk gene d, dan d

i i i

i j j n

X _,..., _,₀_, _,..., 1 1 1 d i i i

i j j n

X _,..., _,₀_, _,..., 1 1 1

jumlah pada estimasi vektor probability dapat direduksi separuh. Setelah semuanya

penting d

i _n

X₁,, telah diestimasi, probability

d g

c dari prediktor fgd dapat diestimasi

dengan 1 , 0 ,..., 1 ,..., 1 ,..., 1 , 1 , 0 1 ,..., 1 n d g n k i n d g i i d d g i i f dengan i i f X c k n dan d i i n

X _, _,

1 (h) ditunjukkan h entry pada vektor

d i

i n

X _, _,

1 . Jika

d g

c = 0 prediktor d

tidak ada dan bentuknya tereliminasi. Ini menarik untuk membenarkan bagaimana ekspresi dari gene i dipengaruhi oleh ekspresi gene j, oleh karena itu, tingkat sensitivitas dari gene j ke gene i dapat diestimasi dengan persamaan (6) yang

disinggung pada bagian sebelumnya. Perhatikan dua kondisi I_j v_i 0,

1. Jika dk =0, maka gene j tidak memberikan suatu pengaruh pada gene i.

2. Pertama kedua kolom pada matriks jk

P adalah sama, artinya ekspresi pada

gene j tidak begitu penting, hasil pada vektor probability adalah tidak berpengaruh.

Dengan: i

j v

I = penghitungan keadaan (state) transisi probability tingkat pengaruh gene i

(25)

i k

f = prediktor gene i jika i k

c positif

i k

c = estimasi dari training data

v = nilai variabel ke n

d i

i _n

X _, _,

1 =estimasi kondisi probability untuk d output ekspresi pada t+ 1 dengan

himpunan gene input ekspresi t d

V ₁ = distribusi probability pada gene d pada waktu t+ 1

k t

V = tingkat pada gene k pada waktu t

dk = parameter

d g

c = estimasi probability pada prediktor d

d g

f = prediktor gene d tidak ada dan bentuknya tereliminasi jika d

(26)

BAB 3

PEMODELAN RANTAI MARKOV UNTUK NETWORK GENETIK

Pada bab ini akan dibahas pemodelan rantai markov untuk network genetik. Metode pengambilan keputusan markov merupakan suatu metode yang telah dikenal luas untuk pengambilan keputusan dalam model-model stokastik. Dalam bab ini dibahas penggunaan salah satu metode pengambilan keputusan markov, yaitu aplikasi network genetik, untuk menyelesaiakan ada tidaknya hubungan antara baris pertama dengan baris kedua pada waktu t dalam pengambilan keputusan.

Andaikan suatu persoalan penentuan model parameter yaitu menggunakan dua deret binary, yang mana anggotanya 0 dan 1.(Ching dan Ng, 2006). Dalam hal ini dipertimbangkan terdapat 12 gene yang masing-masing baris diasumsikan 0 dan 1 (state-statenya). Pada waktu pertama, gene-1 bernilai 0, gene-2 bernilai 0, gene-3 bernilai 1, gene-4 bernilai 0, gene-5 bernilai 0, gene-6 bernilai 0, gene-7 bernilai 0, gene-8 bernilai 0, gene-9 bernilai 1, gene10 bernilai 1, gene11 bernilai 0, dan gene-12 bernilai 0. Pada waktu kedua gene-1 bernilai 1, gene-2 bernilai 1, gene-3 bernilai 0, gene-4 bernilai 0, gene-5 bernilai 1, gene-6 bernilai 0, gene-7 bernilai 0, gene-8 bernilai 0, gene-9 bernilai 0, gene10 bernilai 1, gene11 bernilai 0, dan gene-12 bernilai 1. Berdasarkan hal diatas gene-gene tersebut diformulasikan sebagai berikut:

1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1

0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0

2 1

s dan s

Karena anggotanya hanya 0 dan 1 maka gambar network hanya mengunakan tanda panah saja.

Dengan menghitung frekuensi transisi sebagai berikut:

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 :

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 :

2 1

s dan s

(27)

s 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0

s 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1

dan

s 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0

s 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1

Diperoleh matriks frekuensi sebagai berikut:

1 3 3 4 , 1 3 2 5 1 2 3 5 , 1 2 2 6 22 21 12 11 F F F F

Setelah menormalisasi diperoleh matriks transisi probability:

. 4 1 7 3 4 3 7 4 ˆ , 3 1 8 3 3 2 8 5 ˆ , 4 1 7 2 4 3 7 5 ˆ , 3 1 4 1 3 2 4 3 ˆ 22 21 12 11 P P P P Dan diperoleh T T V dan V 12 5 12 7 ˆ 4 1 4 3 ˆ 2 1

Setelah menyelesaikan persoalan diatas, model Markov multivariate pada dua deret binary adalah dengan membuat

2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 1 ˆ 0 , 0 ˆ 0 , 1 ˆ 5 , 0 ˆ 5 , 0 t t t t t t V P V P V V P V P V

(28)

Kondisi distribusi probability vektor 1 0 , 0

X dapat menaksir seperti:

56 15 56 41 14 2 14 5 8 1 8 3 7 2 7 5 5 . 0 4 1 4 3 5 . 0 0 1 4 1 7 2 4 3 7 5 5 . 0 0 1 3 1 4 1 3 2 4 3 5 . 0 0 , 1 ˆ 5 . 0 0 , 1 ˆ 5 .

0 11 12

1 0 , 0 T T P P X

Dengan cara yang sama diperoleh:

4 1 4 3 8 2 8 6 8 1 8 3 8 1 8 3 4 1 4 3 5 . 0 4 1 4 3 5 . 0 1 0 4 1 7 2 4 3 7 5 5 . 0 0 1 3 1 4 1 3 2 4 3 5 . 0 1 , 0 ˆ 5 . 0 0 , 1 ˆ 5 .

0 11 12

1 1 , 0 T T P P X

(29)

42 13 42 29 14 2 14 5 6 1 6 2 7 2 7 5 5 . 0 3 1 3 2 5 . 0 0 1 4 1 7 2 4 3 7 5 5 . 0 1 0 3 1 4 1 3 2 4 3 5 . 0 0 , 1 ˆ 5 . 0 1 , 0 ˆ 5 .

0 11 12

1 0 , 1 T T P P X 24 7 24 17 8 1 8 3 6 1 6 2 4 1 4 3 5 . 0 3 1 3 2 5 . 0 1 0 4 1 7 2 4 3 7 5 5 . 0 1 0 3 1 4 1 3 2 4 3 5 . 0 1 , 0 ˆ 5 . 0 1 , 0 ˆ 5 .

0 11 12

1 1 , 1 T T P P X

(30)

Seperti ₂_,₂ 0, Karena itu didapat, 8 3 8 5 7 3 7 4 0 . 0 8 3 8 5 0 . 1 0 1 4 1 7 3 4 3 7 4 0 . 0 0 1 3 1 8 3 3 2 8 5 0 . 1 0 , 1 ˆ 0 . 0 0 , 1 ˆ 0 .

1 21 22

2 0 , 0 T T P P X 8 3 8 5 4 1 4 3 0 . 0 8 3 8 5 0 . 1 1 0 4 1 7 3 4 3 7 4 0 . 0 0 1 3 1 8 3 3 2 8 5 0 . 1 1 , 0 ˆ 0 . 0 0 , 1 ˆ 0 .

1 21 22

2 1 , 0 T T P P X 3 1 3 2 7 3 7 4 0 . 0 3 1 3 2 0 . 1 0 1 4 1 7 3 4 3 7 4 0 . 0 1 0 3 1 8 3 3 2 8 5 0 . 1 0 , 1 ˆ 0 . 0 1 , 0 ˆ 0 .

1 21 22

2 0 , 1 T T P P X

(31)

3 1 3 2

4 1 4 3 0 . 0 3 1 3 2 0 . 1

1 0

4 1 7 3

4 3 7 4 0 . 0 1 0

3 1 8 3

3 2 8 5 0 . 1

1 , 0

0 . 0 1 , 0

0 .

1 21 22

2 1 , 1

T T

P P

Dari bagian sebelumnya, probability i

c dapat memperoleh suatu hasil di dalam Tabel

Tabel 3.1 Hasil deret yang pertama

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0.26 0.11 0.12 0.05 0.08 0.04 0.04 0.02

1 10

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0.1 0.04 0.04 0.02 0.03 0.01 0.02 0.01

v v₂

1 1

f f₂1 f₃1 f₄1 f₅1 f₆1 f₇1 f₈1

1 9

f f₁₁1 f₁₂1 f₁₃1 f₁₄1 f₁₅1 f₁₆1

1 j

(32)

Untuk mendapatkan hasil deret pertama berdasarkan table diatas dapat diuraikan sebagai berikut: 26 . 0 5531904 1413721 42 29 42 29 56 41 56 41 1 1 0 , 1 1 1 0 , 1 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1

1 X X X X

c 11 . 0 3161088 341243 24 7 42 29 56 41 56 41 2 1 1 , 1 1 1 0 , 1 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1

2 X X X X

c 12 . 0 3161088 341243 42 29 24 7 56 41 56 41 1 1 0 , 1 2 1 1 , 1 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1

3 X X X X

c 05 . 0 1806336 8239 24 7 24 7 56 41 56 41 2 1 1 , 1 2 1 1 , 1 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1

4 X X X X

c 08 . 0 395136 34481 42 29 42 29 4 1 56 41 1 1 0 , 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 0 1 1 0 , 0 1

5 X X X X

(33)

04 . 0 225792 8323 24 7 42 29 4 1 56 41 2 1 1 , 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 0 1 1 0 , 0 1

6 X X X X

c 04 . 0 225792 8323 42 29 24 7 4 1 56 41 1 1 0 , 1 2 1 1 , 1 2 1 1 , 0 1 1 0 , 0 1

7 X X X X

c 02 . 0 129024 2009 24 7 24 7 4 1 56 41 2 1 1 , 1 2 1 1 , 1 2 1 1 , 0 1 1 0 , 0 1

8 X X X X

c 1 . 0 395136 34481 42 29 42 29 56 41 4 1 1 1 0 , 1 1 1 0 , 1 1 1 0 , 0 2 1 1 , 0 1

9 X X X X

c 04 . 0 225792 24969 24 7 42 29 56 41 4 1 2 1 1 , 1 1 1 0 , 1 1 1 0 , 0 2 1 1 , 0 1

10 X X X X

(34)

04 . 0 225792 8323 42 29 24 7 56 41 4 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 1 1 1 0 , 0 2 1 1 , 0 1

11 X X X X

c 02 . 0 129024 2009 24 7 24 7 56 41 4 1 2 1 1 , 1 2 1 1 , 1 1 1 0 , 0 2 1 1 , 0 1

12 X X X X

c 03 . 0 28224 841 42 29 42 29 4 1 4 1 1 1 0 , 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 0 2 1 1 , 0 1

13 X X X X

c 01 . 0 16128 203 24 7 42 29 4 1 4 1 2 1 1 , 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 0 2 1 1 , 0 1

14 X X X X

c 02 . 0 16128 273 42 13 24 7 4 1 4 3 2 1 0 , 1 2 1 1 , 1 2 1 1 , 0 1 1 1 , 0 1

15 X X X X

(35)

01 . 0 9216 49 24 7 24 7 4 1 4 1 2 1 1 , 1 2 1 1 , 1 2 1 1 , 0 2 1 1 , 0 1

16 X X X X

Dengan cara yang sama, diperoleh:

17 . 0 576 100 3 2 8 5 3 2 8 5 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 2

1 X X X X

c 09 . 0 576 50 3 1 8 5 3 2 8 5 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 2

2 X X X X

c 1 . 0 576 60 3 2 8 3 3 2 8 5 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 2

3 X X X X

c 05 . 0 576 30 3 1 8 3 3 2 8 5 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 2

4 X X X X

(36)

09 . 0 576 50 3 2 8 5 3 1 8 5 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2

5 X X X X

c 04 . 0 576 25 3 1 8 5 3 1 8 5 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2

6 X X X X

c 05 . 0 576 30 3 2 8 3 3 1 8 5 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2

7 X X X X

c 03 . 0 576 15 3 1 8 3 3 1 8 5 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2

8 X X X X

c 1 . 0 576 60 3 2 8 5 3 2 8 3 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2

9 X X X X

(37)

05 . 0 576 30 3 1 8 5 3 2 8 3 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2

10 X X X X

c 04 . 0 576 36 3 2 8 3 3 2 8 3 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2

11 X X X X

c 03 . 0 576 18 3 1 8 3 3 2 8 3 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2

12 X X X X

c 05 . 0 576 30 3 2 8 5 3 1 8 3 1 2 0 , 1 1 2 0 , 0 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 2

13 X X X X

c 03 . 0 576 15 3 1 8 5 3 1 8 3 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 2

14 X X X X

(38)

03 . 0 576

3 2 8 3 4 1 8 3

1 2 0 , 1 2 2

1 , 0 2 2 1 , 1 2 2

1 , 0 2

15 X X X X

02 . 0

576 9

3 1 8 3 3 1 8 3

2 2 1 , 1 2 2

1 , 0 2 2 1 , 1 2 2

1 , 0 2

16 X X X X

Karena pada 22 0, tentu pada prediktor untuk deret yang kedua dapat memperkecil

signifikan.

Dari tabel 3.1 dan 3.2 tingkatan kesensitifan I_j v_i dapat memperoleh dengan

menunjukkan perhitungan.

Tabel 3.2 Hasil deret yang kedua

0 - 0 0 1 1

1 - 0 1 0 1

0.42 0.2 0.25 0.13

42 . 0

24 10

3 2 8 5

1 2

0 , 1 1 2

0 , 0 2

1 X X

v 2

f f₄2

v 2

f f₂2

2 j c

(39)

2 . 0 24 5 3 1 8 5 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2

2 X X

c 25 . 0 24 6 3 2 8 3 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2

3 X X

c 13 . 0 24 3 3 1 8 3 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 2

4 X X

Dengan pembahasan diatas diperoleh hasil:

4 . 0 0 01 . 0 005 . 0 03 . 0 01 . 0 0 04 . 0 05 . 0 01 . 0 04 . 0 0 04 . 0 05 . 0 06 . 0 055 . 0 0 01 . 0 0 02 . 0 2 1 01 . 0 2 1 03 . 0 02 . 0 2 1 04 . 0 0 04 . 0 1 . 0 2 1 02 . 0 2 1 04 . 0 04 . 0 0 08 . 0 2 1 05 . 0 12 . 0 2 1 11 . 0 2 1 26 . 0 0 1 1 v I

(40)

Dan

45 . 0

0 015 . 0 015 . 0 05 . 0 015 . 0 0 05 . 0 05 . 0

015 . 0 05 . 0 0 045 . 0 05 . 0 05 . 0 045 . 0 0

02 . 0 0 03 . 0 2 1 03 . 0 2 1 05 . 0

03 . 0 2 1 06 . 0 0 05 . 0 1 . 0 2 1

03 . 0 2 1 05 . 0 04 . 0 0 09 . 0 2 1

05 . 0 1 . 0 2 1 09 . 0 2 1 17 . 0 0

1 v

Dengan cara yang sama, diperoleh:

0 4

0 2 2

2 v dan I v

Sesuai dengan perhitungan nilai I_i v_j , diketahui deret yang pertama bagaimanapun

menentukan deret yang kedua. Tetapi, kejadian-kejadian ini telah diilustrasikan

(41)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari perhitungan dan pembahasan yang telah dikemukakan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Pada tingkat sensitifitas I₁(v₁) 0.4 yang artinya ekspresi dari gene 1

dipengaruhi oleh ekspresi gene 1 sebesar 0.4,

2. Pada tingkat sensitifitas I₁(v₂) 0.45 yang artinya ekspresi dari gene 1

dipengaruhi oleh ekspresi gene 2 sebesar 0.45,

3. Pada tingkat sensitifitas I₂(v₁) 0.4 yang artinya ekspresi dari gene 2

dipengaruhi oleh ekspresi gene 1 sebesar 0.4,

4. Pada tingkat sensitifitas I₂(v₂) 0 yang artinya gene 2 tidak memberikan

suatu pengaruh pada gene 2,

5. Mengestimasi matriks frekuensi dapat menormalisasikan suatu keadan matriks

transisi probabiliti.

4.2 Saran

Ada baiknya jika ingin melanjutkan skripsi ini dengan menggunakan Model Markov Tersembunyi atau lebih dikenal dengan Hidden Markov Model (HMM) adalah sebuah model statistik dari sebuah sistem yang diasumsikan sebuah Markov Proses dengan parameter yang tidak diketahui, dan tantangannya adalah menentukan parameter-parameter tersembunyi (hidden) dari parameter-parameter-parameter-parameter yang dapat diamati. Parameter-parameter yang ditentukan kemudian dapat digunakan untuk analisis yang lebih jauh, misalnya untuk aplikasi Pattern Recoginition. Sebuah HMM dapat dianggap sebuah Bayesian Network dinamis yang paling sederhana.

(42)

DAFTAR PUSTAKA

Akutsu, T., Miyano, S., dan Kuhara, S. 2000. Inferring Qualitative Relation in Genetic Networks and Metabolic Arrays. Bioinformatic.

Artzner, P., dan Delbaen, F. 1997. Default Risk Premium and Incomplkete Markets. Mathematical Finance.

Bharucha-Reid, A.T. 1983. Probabilistic Analysis and Related Topics. New York London: Academic Press.

Bodnar, J. 1997. Programming the Drosophila Embryo. Journal of Theoretical Biology.

Bower, J. 2001. Computational Modeling of Genetik and Biochemical Networks. MIT Press, Cambridge, M.A.

Ching, W., Fung, E., dan Ng, M. 2004. Building Genetic Networks in Gene Expression Pattern. IDEAL2004. Lecture Notes in Computer Science. (Yang, Z., Everson, R., dan Yin H(Eds.)). Springer.

Ching, W., dan Ng, M. 2006. Markov Chain: Models, Algorithms and Application. New York: Springer Science + Business Media, Inc.

Clarke, A., Bruce, dan Disney Ralph, L. 1970. Probability and Random Processes. New York: Jhon Wiley & Sons,Inc.

Chvatal, V. 1983. Linier Programming. Freeman. New York.

De Jong, H. 2002. Modeling and Simulation of Genetic Regulatory System:A Literature Review. Journal Computational. Biology.

Hines William, W., dan Montgomery Douglas, C. 1990. Probabilita dan Statistik Dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Jakarta: UI-Press.

Huang, S., dan Ingber, D. 2000. Shape-dependent Control of Cell Growt Differentiation, and Apoptosis: Switching Between Atractors in Cell Regulatory Networks. Experimental Cell Research.

Mendoza, L., Thieffry, D., dan Alfarez-Buylla, E. 1999. Genetic Control of Flower Morphogenesis in Arabidopsis Thaliana: A Logical Analisys, Bioinformatics.

Preston Gordon, dan Watterson Geoffrey. 1972. Probability and Statistics. Adelaide, Sydney, Melbourne, Brisbane, Perth.

(43)

Smolen, P., Baxter, D., dan Byrne, J. 2000. Mathematical Modeling of Gene Network, Neuron.

(1)

03 . 0 576

3 2 8 3 4 1 8 3

1 2 0 , 1 2 2

1 , 0 2 2 1 , 1 2 2

1 , 0 2

15 X X X X

02 . 0

576 9

3 1 8 3 3 1 8 3

2 2 1 , 1 2 2

1 , 0 2 2 1 , 1 2 2

1 , 0 2

16 X X X X

Karena pada 22 0, tentu pada prediktor untuk deret yang kedua dapat memperkecil

signifikan.

Dari tabel 3.1 dan 3.2 tingkatan kesensitifan I_j v_i dapat memperoleh dengan menunjukkan perhitungan.

Tabel 3.2 Hasil deret yang kedua

0 - 0 0 1 1

1 - 0 1 0 1

0.42 0.2 0.25 0.13

42 . 0

24 10

3 2 8 5

1 2

0 , 1 1 2

0 , 0 2

1 X X

v 2

f f₄2

v 2

f f₂2

2 j

(2)

2 . 0 24 5 3 1 8 5 2 2 1 , 1 1 2 0 , 0 2

2 X X

c 25 . 0 24 6 3 2 8 3 1 2 0 , 1 2 2 1 , 0 2

3 X X

c 13 . 0 24 3 3 1 8 3 2 2 1 , 1 2 2 1 , 0 2

4 X X

Dengan pembahasan diatas diperoleh hasil:

(3)

Dan 45 . 0 0 015 . 0 015 . 0 05 . 0 015 . 0 0 05 . 0 05 . 0 015 . 0 05 . 0 0 045 . 0 05 . 0 05 . 0 045 . 0 0 02 . 0 0 03 . 0 2 1 03 . 0 2 1 05 . 0 03 . 0 2 1 06 . 0 0 05 . 0 1 . 0 2 1 03 . 0 2 1 05 . 0 04 . 0 0 09 . 0 2 1 05 . 0 1 . 0 2 1 09 . 0 2 1 17 . 0 0 2 1 v I

Dengan cara yang sama, diperoleh:

0 4

0 2 2

2 v dan I v

Sesuai dengan perhitungan nilai I_i v_j , diketahui deret yang pertama bagaimanapun menentukan deret yang kedua. Tetapi, kejadian-kejadian ini telah diilustrasikan dengan fakta ₂₂ 0 ₂₁ 1 pada model rantai markov multivariat.

(4)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari perhitungan dan pembahasan yang telah dikemukakan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Pada tingkat sensitifitas I₁(v₁) 0.4 yang artinya ekspresi dari gene 1 dipengaruhi oleh ekspresi gene 1 sebesar 0.4,

2. Pada tingkat sensitifitas I₁(v₂) 0.45 yang artinya ekspresi dari gene 1 dipengaruhi oleh ekspresi gene 2 sebesar 0.45,

3. Pada tingkat sensitifitas I₂(v₁) 0.4 yang artinya ekspresi dari gene 2 dipengaruhi oleh ekspresi gene 1 sebesar 0.4,

4. Pada tingkat sensitifitas I₂(v₂) 0 yang artinya gene 2 tidak memberikan suatu pengaruh pada gene 2,

5. Mengestimasi matriks frekuensi dapat menormalisasikan suatu keadan matriks transisi probabiliti.