Dinamika Pada Rantai Markov Dengan Dua Komponen (Dinamika On Two Compotent Markov Chains)

DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN ( DINAMICS ON TWO COMPONENTS MARKOV CHAINS )

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana sains RIKI YAKUB

060823036

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FALULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2008

PERSETUJUAN

Judul : DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN

DUA KOMPONEN

Kategori : SKRIPSI

Nama : RIKI YAKUB

Nomor Induk Mahasiswa : 060823036

Program Studi : SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, November 2008

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si Dra.Mardiningsih, M.Si

NIP : 130 810 774 NIP : 131 803 344

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Dr.Saib Suwilo, M.Sc NIP : 131 796 149

PERNYATAAN

DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, November 2008

Riki Yakub 060823036

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Dra.Mardiningsih, M.Si dan Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional telah diberikan kepada penulis agar penulis menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr.Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan – rekan kuliah pada program studi ekstension matematika stambuk 2006. Akhirnya, tidak terlupakan kepada Ayahanda Efriyandi dan Ibunda Nelwati serta Abang dan adik – adik tercinta. Penulis mengucapkan terima kasih yang tulus atas do’a dan doronganya kepada penulis yang selama ini memberikan bantuan baik moril maupun materi yang tak terbatas. Semoga Allah SWT yang akan membalasnya, Amin.

ABSTRAK

.Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen dipengaruhi oleh nilai eigen dari matriks probabilitas transisinya serta keadaan awal yang diberikan. Berdasarkan nilai λ₂ yang diperoleh, dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen dapat dikelompokkan menjadi 3 bagian utama. Yaitu :

a. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai 0<λ₂ <1 yang dinamakan Monoton naik atau turun.

b. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai λ₂ =0 yang dinamakan Quasi Statik.

c. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai −1<λ₂ <0 yang dinamakan Osilasi Teredam.

Keadaan awal yang diberikan nantinya akan mempengaruhi bagaimana awal pergerakan dua komponen dari rantai Markov tersebut.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Identifikasi Masalah 2

1.3Tujuan Penelitian 2

1.4Metode Penelitian 3

1.5Tinjauan Pustaka 3

1.6Kontribusi Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Probabilitas 7

2.1.1 Definisi Probabilitas 7

2.2.2 Probabilitas Beberapa Peristiwa 9

2.2 Matriks 12

2.2.1 Definisi Matriks 12

2.2.2 Teorema Matriks 12

2.2.3 Operasi Matriks 14

2.2.4 Determinan Suatu Matriks 16

2.2.5 Invers Suatu Matriks 18

2.3 Nilai dan Vektor Eigen 19

2.3.1 Definisi dan Notasi 19

2.3.2 Persamaan Karakteristik 20

2.2.3 Proses Diagonalisasi Matriks 21

2.4.1 Definisi Rantai Markov 23

2.4.2 Sifat Markov 24

2.4.3 Asumsi – Asumsi Dasar Rantai Markov 24 2.4.4 Keadaan Awal Rantai Markov 25 2.4.5 Keadaan Transisi dan Probabilitasnya 25 2.4.6 Keadaan Setimbang dan Probabilitasnya 26

Bab 3 Isi 27

3.1 Rantai Markov dengan Dua Komponen 27

3.1.1 Keadaan Awal Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 27 3.1.2 Keadaan Transisi Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 28 3.1.3 Keadaan Setimbang Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 28 3.2 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 29 3.3 Penyajian Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen

Berdasarkan Contoh – Contoh Kasus 41

3.3.1 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen

Untuk Nilai 0<λ₂ <1 41

3.3.2 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen

Untuk Nilai λ₂ =0 50

3.3.3 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen

Untuk Nilai −1<λ₂ <0 57

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 65

4.1 Kesimpulan 65

4.2 Saran 68

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Sumbangan Alumni Kasus 1 42

Tabel 3.2 Perpindahan Data Sumbangan pada Kasus 1 42

Tabel 3.3 Perpindahan Data Sumbangan Kasus 3 50

Tabel 3.4 Perpindahan Data Sumbangan Kasus 4 54

Tabel 3.5 Perpindahan Data Sumbangan Pada Kasus 5 57 Tabel 3.6 Perpindahan Data Sumbangan Pada Kasus 6 61

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.1 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 1 46 Gambar 3.2 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 2 49 Gambar 3.3 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 3 53 Gambar 3.4 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 4 56 Gambar 3.5 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 5 60 Gambar 3.6 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 6 64

ABSTRAK

.Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen dipengaruhi oleh nilai eigen dari matriks probabilitas transisinya serta keadaan awal yang diberikan. Berdasarkan nilai λ₂ yang diperoleh, dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen dapat dikelompokkan menjadi 3 bagian utama. Yaitu :

a. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai 0<λ₂ <1 yang dinamakan Monoton naik atau turun.

b. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai λ₂ =0 yang dinamakan Quasi Statik.

c. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai −1<λ₂ <0 yang dinamakan Osilasi Teredam.

Keadaan awal yang diberikan nantinya akan mempengaruhi bagaimana awal pergerakan dua komponen dari rantai Markov tersebut.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kehidupan manusia senantiasa diarahkan pada kondisi yang akan datang, yang keberadaannya tidak dapat diketahui secara pasti. Sehingga manusia berusaha melakukan kegiatan – kegiatan dengan berorientasi pada masa yang akan datang yang penuh ketidakpastian. Oleh sebab itu, peranan peramalan sangatlah penting sebagai jembatan yang menghubungkan keadaan masa lampau dan sekarang dengan keadaan yang akan datang guna mengetahui kejadian yang mungkin terjadi di masa yang akan datang. Hasil dari ramalan itulah nantinya dapat memberikan informasi kepada setiap pembuat keputusan. Rantai Markov merupakan salah satu alat yang dapat digunakan untuk mendapatkan informasi tentang apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Khusus untuk rantai Markov, dalam meramalkan apa yang akan terjadi di masa yang akan datang hanya bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung. Sedangkan kejadian - kejadian yang telah berlalu dianggap independen dengan kejadian pada masa yang akan datang.

Rantai Markov mengandung suatu proses perubahan dengan pola tetap sehingga akhirnya menuju ke sebuah komposisi yang setimbang dan tak berubah-ubah lagi. Keadaan setimbang inilah nantinya yang akan memberikan informasi kepada para pembuat keputusan. Namun kebanyakan para pengambil keputusan cenderung hanya terfokus kepada keadaan setimbang dari rantai Markov dan mengabaikan bagaimana proses perubahannya hingga menghasilkan keadaan setimbang tersebut. Oleh karena itulah, penulis termotivasi untuk membahas proses perubahan pada rantai Markov sehingga nantinya dalam menggunakan rantai Markov, para pengambil keputusan tidak hanya mampu menggunakan hasil akhirnya saja namun dapat memahami dan mengerti

bagaimana proses perubahan yang dilalui. Bentuk dan ciri khas dari perubahan itulah

yang dinamakan dinamika pada rantai Markov, maka penulis memilih judul “ DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN “.

.

1.2 Identifikasi Permasalahan

Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah melihat bagaimana dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen. Misalkan diketahui keadaan awal

0

X suatu rantai Markov yang memiliki matriks transisi yang Reguler sehingga bisa dicari keadaan setimbangnya X_∞, akan dilihat bagaimana perjalanan X_n mulai dari keadaan awal X₀ sampai menuju X_∞ sebagai keadaan setimbangnya serta melihat bagaimana pengaruh nilai eigen dari matriks probabilitas transisi suatu rantai Markov terhadap perjalanan tersebut.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji bagaimana dinamika perubahan yang terjadi pada rantai Markov dengan dua komponen mulai dari komposisi awal sampai dengan komposisi setimbang sebagai komposisi akhir perubahannya. Untuk melihat dinamika perubahan dari keadaan awal X₀ sampai ke keadaan setimbangnya X_∞, dapat menggunakan permasalahan eigen pada matriks probabilitas transisi rantai Markov.

1.4 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mengidentifikasi keadan awal rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya.

b. Mengidentifikasi keadaan transisi rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya.

c. Mengidentifikasi keadaan setimbang dari rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya.

d. Mengkaji dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen melalui permasalahan eigen matriks probabilitas transisinya.

e. Memperlihatkan dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen melalui contoh kasus.

1.5 Tinjauan Pustaka

Proses Markov diperkenalkan oleh seorang ahli Matematika berkebangsaan Rusia yang bernama Andrey Andreevich Markov pada tahun 1906. Andrey Andreevich Markov memperkenalkan proses Markov berupa teori dasarnya saja. Barulah pada tahun 1936, seorang ahli Matematika berkebangsaan Rusia lainnya bernama Kolmogorov membuat generalisasi pada ruang state yang terhitung dan terbatas.

Rantai Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel Acak

{

X_n;n=0,1,2,3...

}

yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov. Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu ( past states )

1 2

1

0,X ,X ,...,Xn−

X dan kejadian yang sedang berlangsung ( present state ) X_n, maka kejadian yang akan datang ( future state )X_n+1 bersifat bebas ( independen ) dari kejadian-kejadian yang telah berlalu ( past state ) X₀,X₁,X₂,...,X_n−1 . Artinya kejadian

yang akan datang ( future state ) X_n+1 hanya bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung ( present state) X_n.

Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai untuk waktu ke n, maka distribusi nilai proses dari waktu ke n+1 hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu n. Secara umum dapat dituliskan:

) Pr(

) ,

,..., ,

Pr(X_n+1 = jX₀ = j₀ X₁ = j₁ X_n−1 = j_n−1 X_n = j_n = X_n+1 =iX_n = j .

Menurut J.Supranto (1998 ), matriks adalah suatu kumpulan angka – angka (elemen – elemen ) yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya baris dan kolom dan dibatasi oleh tanda kurung. Pada rantai Markov, matriks transisi M berukuran nxn adalah matriks Stokastik yang elemen-elemenya menunjukkan kemungkinan perubahan antar komponen pada komposisi X, sehinggan jumlah elemen setiap kolomnya sama dengan 1. Dapat dituliskan :

( )

     

 

     

  = =

nn n

n n

n n n

ij

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m M

     

  

3 2 1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

dimana i,j = 1,2,...n dan berlaku , ,

1 1

=

∑

= n i

ij

m untuk semua nilai j.

Sebuah matriks transisi adalah Reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks tersebut mempunyai elemen yang semuanya bernilai positif (Pantur Silaban,1988 ). Pada rantai Markov yang memiliki matriks transisi Reguler, menggambarkan bahwa ada kemungkinan untuk berpindah dari suatu state ke state yang lain dalam 1 langkah dan

akan memiliki suatu vektor keadaan yang setimbang X_∞ untuk waktu n→∞ jika diberikan suatu keadaan awal X₀.

Penyelesaian permasalahan eigen dari rantai Markov dengan dua komponen menyajikan secara lengkap dinamika perubahan yang terjadi sampai dengan komposisi setimbang sebagai komposisi akhir perubahannya ( Sugata Pikatan, 1998 ). Berapapun orde matriks M, salah satu nilai eigennya pasti ada yang sama dengan 1, yakni yang terkait dengan komposisi setimbang sebagai vektor eigennya. Jika perubahan sebuah struktur berkomposisi X₀ dilakukan dengan matriks transformasi M dalam sebuah selang waktu tertentu, maka pada akhir selang waktu ke n komposisi struktur tersebut menjadi :

1 −

= _n

n MX

X

Pada waktu n→∞ untuk matriks transformasi yang Reguler, komposisi telah mencapai kesetimbangan X_∞ dan tidak akan berubah lagi . Dapat dituliskan :

∞ ∞ =MX

X

Untuk mencari nilai - nilai eigen dari matriks transisi, dapat menggunakan persamaan karakteristik. Berdasarkan definisi, vektor tak nol X_∞ merupakan vektor eigen jika :

∞ ∞ =MX

X

λ

Sehingga nilai – nilai eigen dapat dicari melalui persamaan :

0 2

1, )=det( − )= (λ λ M λI

1.6 Kontribusi Penelitian

Rantai Markov banyak digunakan dalam pengambilan keputusan. Informasi yang dihasilkan akan menggambarkan tentang keadaan yang akan datang. Dengan melihat dinamika perubahan dari rantai Markov, diharapkan para pengambil keputusan tidak hanya sekedar tahu hasil akhirnya saja sebagaimana yang dilakukan oleh penyelesaian klasik rantai Markov tapi juga memahami bagaimana dinamika perubahannya mulai dari komposisi awal sampai dengan komposisi setimbang sebagai komposisi akhir perubahannya.

BAB 2 DASAR TEORI

2.1 Probabilitas

Probabilitas mempunyai banyak persamaan seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Probabilitas menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang bersifat acak. Suatu peristiwa disebut acak jika terjadinya peristiwa tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, probabilitas dapat digunakan sebagai alat ukur terjadinya peristiwa di masa yang akan datang.

Nilai probabilitas yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai probabilitas yang terbesar adalah 1 yang berarti bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi. Secara lengkap, nilai probabilitas suatu peristiwa A adalah :

1 ) ( 0≤ P A ≤

2.1.1 Definisi probabilitas

Definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.

A. Pendekatan klasik

Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.

Dirumuskan :

) (

) ( ) (

S n

A n A

P = ( 2.1 )

dimana : ) (A

P = Probabilitas terjadinya peristiwa A )

(A

n = Jumlah peristiwa A )

(S

n = Jumlah peristiwa yang mungkin.

B. Pendekatan frekuensi relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan sebagai berikut:

1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil.

2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut.

Dirumuskan :

n f x

X

P( = )=lim , untuk n→∞

dimana :

) (X x

P = = Probabilitas terjadinya terjadinya peristiwa x f = Frekuensi peristiwa X

C. Pendekatan subjektif

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Probabilitas tertinggi ( kemungkinan diterima ) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

2.1.2 Probabilitas beberapa peristiwa

A. Peristiwa saling lepas ( Mutually Exclusive )

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

) ( ) ( )

(A B P A P B

P ∪ = + .

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) ( ) ( ) ( )

(A B C P A P B P C

P ∪ ∪ = + +

Sehingga dapat disimpulkan, untuk k buah peristiwa yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) ( )... ( ) ( ) ( ) ...

(E₁ E₂ E₃ E_k P E₁ P E₂ P E₃ P E_k

B. Peristiwa tidak saling lepas ( Non Mutually Exclusive )

Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) ( ) ( ) ( )

(A B P A P B P A B

P ∪ = + − ∩

Untuk tiga peristiwa A ,B dan C yang tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

P ∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

C. Peristiwa saling bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) ( ). ( )

(A B P A P B P ∩ =

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling bebas probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) ( ). ( ). ( )

(A B C P A P B P C

P ∩ ∩ =

D. Peristiwa tidak saling bebas( Peristiwa bergantung)

Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang

lainnya.Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) ( ). ( )

(A B P A P BA

P ∩ =

Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) (

( ) ( ). ( )

(A B C P A P BA P C A B

P ∩ ∩ = ∩

E. Peristiwa bersyarat

Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat peristiwa lain telah terjadi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) (

) (

) (

A P

A B P A B

P = ∩

F. Peristiwa komplementer

Peristiwa Komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah :

P(A)+P(B)=1 yang juga berarti :

P(A)=1−P(B) P(B)=1−P(A)

2.2 Matriks

2.2.1 Definisi matriks

Matriks ialah suatu susunan berbentuk empat persegi dari elemen – elemen yang terdiri satu atau beberapa baris dan kolom dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks M yang berukuran mxn dapat ditulis :

   

 

   

  =

mn m

m

n n

m m

m

m m

m

m m

m M

    

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Dapat disingkat dengan :

( )

mij

M = ; i = 1,2,3,...m j = 1,2,3,...n

Setiap m_ij disebut elemen dari matriks sedang indeks i dan j berturut – turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen m_ijmenyatakan elemen pada baris ke i dan kolom ke j.

2.2.2 Teorema Matriks

Berikut beberapa teorema dari matriks :

a. Jika A=

( )

a_ij danB=

( )

b_ij , dan berukuran sama mxn maka A+B=(a_ij +b_ij)

b. Jika A=

( )

a_ij merupakan matriks berukuran mxn dan k adalah skalar, maka

( )

kaij

A

k. =

c. Jika A=

( )

a_ij matriks berukuran mxp dan B=

( )

b_ij matriks berukuran pxn maka perkalian matriks AxB berlaku apabila sejumlah kolom matriks A sama dengan Jumlah baris matriks B.

d. Jika A=

( )

a_ij dan B=

( )

b_ij keduanya merupakan matriks berukuran mxn maka : A=B, jika aij =bij untuk semua nilai i dan j

A≥B; jika a_ij ≥b_ij untuk semua nilai i dan j A>B; jika a_ij >b_ij untuk semua nilai i dan j. Demikian juga halnya untuk A≤B dan A< B.

e. Matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

   

 

   

  =

nn n

n

n n

m m

m

m m

m

m m

m M

    

 

2 1

2 22

21

1 12

11

f. Matriks Identitas I_n adalah matriks bujur sangkar dimana elemen di sepanjang diagonal utama ( diagonal kiri atas menuju kanan bawah ) mempunyai nilai entry 1. Sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol. Untuk n = 3, matriks identitasnya adalah :

     

    =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

I

g. Matriks Transpos adalah matriks jika baris dan kolom dari suatu matriks mxn dipertukarkan ( baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya), maka diperoleh suatu matriks nxm yang disebut transpos. Jika matris M adalah :

     

    =

32 31

22 21

12 11

m m

m m

m m M

Maka Transpose dari matriks dinotasikan dengan AT yaitu :

   

  =

32 22 12

31 21 11

m m m

m m m

2.2.3Operasi matriks a. Kesamaan matriks

Duat matriks A dan B dikatakan sama jika kedua matriks identik. Artinya kedua matriks tersebut mempunyai tingkat yang sama dan elemen – elemen yang berkesesuaian sama. Jadi Matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika

ij ij b

a = untuk setiap i dan j.

b. Jumlah dan selisih matriks

Matriks – matriks yang mempunyai ukuran sama dapat diambil jumlah atau selisihnya. Jumlah atau selisih dari dua matriks berukuran mxn yakni matriks A dan B adalah matriks C dengan ukuran yang sama. Jadi :

C B

A± =

Dimana setiap elemen dari matriks C adalah :

ij ij ij a b

c = ±

Hal ini dapat diperluas untuk beberapa matriks yang mempunyai ukuran sama. Jadi untuk matriks A, B dan C berlaku :

A±B±C =D dimana d_ij =a_ij ±b_ij ±c_ij

c. Pergandaan matriks dengan skalar

Jika suatu matriks A digandakan dengan skalar k dimana (k ≠0)ditulis kA maka suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A dengan skalar k. Jadi B=kA dimana b_ij =ka_ij untuk semua i dan j.

d. Sifat – sifat pokok matriks terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Jika A, B dan C merupakan matriks yang mempunyai dimensi sama serta k₁,k₂ ≠0, maka :

a. A+B= B+ A; dinamakan sifat Komutatif

b. A+(B+C)=(A+B)+C; dinamakan sifat Asosiatif c. k₁(A+B)=k₁A+k₂B; dinamakan sifat Distributif d. (k₁+k₂)A=k₁A+k₂A

e. (k₁k₂)A=k₁(k₂A) f. A+0= A

g. A+(−A)= A−A=0 h. 1A= Adan 0A=0

i. Terdapat matriks D sedemikian rupa sehingga A+D=B. Dan dari sifat 4 dan sifat 8 dapat diturunkan bahwa :

A A

A+ =2 , A+ A+A=3A, dan seterusnya.

e. Pergandaan dua matriks atau lebih.

Pergandaan dari dua matriks atau lebih dapat dilakukan jika banyak kolom dari matriks pengali sama dengan banyak baris matriks yang dikali.Degan kata lain hasil perkalian dari matriks A yang berukuran mxq dan matriks B yang berukuran qxn adalah matriks C yang berukuran mxn dimana elemen – elemen dari matriks C merupakan jumlah hasil ganda elemen – elemen yang bersesuaian dari matriks A baris ke i dengan kolom j dari matriks B.Jadi elemen matriks C dapat ditulis :

( )

_∑

= =

= q

k

kj ik ij a b

c C

1

f. Sifat – sifat pokok pergandaaan matriks.

Andaikan matriks A, B dan C dapat digandakan dan k (k ≠0)adalah skalar, maka dapat diturunkan sifat – sifat sebagai berikut :

1. Pada Umumnya AB≠BA

2. (AB)C= A(BC), dinamakan sifat Asosiatif

3. A(B+C)= AB+AC, dinamakan sifat Distributif Kiri 4. (B+C)A=BA+CA, dinamakan sifat Distributif Kanan 5. k(AB)=(kA)B= A(kB)

6. AB=0, tidak perlu harus A=0atau B=0

7. AB=BC, tidak perlu harus B=C

8. 0A=0 dan B0=0, 0 adalah matriks nol

2.2.4 Determinan suatu matriks a. Definisi determinan

Andaikan suatu matriks kuadrat M =

( )

mij tingkat n yang ditulis lengkap sebagai berikut :

   

 

   

  =

nn n

n

n n

m m

m

m m

m

m m

m M

    

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Dan hasil ganda elemen – elemen :

n nj j jm m

m ...

2

1 2

Dari n elemen yang dipilih demikian sehingga terdapat hanya satu elemen dari setiap baris dan sati dari setiap kolom. Untuk mudahnya faktor – faktor m_ijdari persamaan di atas, disusun demikian sehingga indeks pertama i mulai dari 1,2,...,n sedang indeks kedua j₁, j₂...j_n merupakan salah satu permutasi dari n!permutasi. Selanjutnya setiap permutasi dari indeks kedua didefinisikan dengan :

1

...

2

1j jn =+ j

e , jika permutasi genap = - 1 , jika permutasi ganjil.

Akhirnya dibentuk hasil ganda : n n j j nj j

j

j m m m

e _... ...

2 1 2

1 1 2

Determinan suatu matriks M =

( )

m_ij yang disingkat dengan det(M) atau M adalah jumlah semua hasil ganda dari yang dibentuk dari matriks M. Jadi :

n n j j nj j

j j n

m m m e

M _... ...

!

2 1 2

1 1 2

∑

=

Dimana perjumlahan ialah j₁,j₂...j_ndari bilangan bulat 1,2,...n.

b. Mencari Nilai Determinan Suatu Matriks.

Ada beberapa cara yang diperkenalkan dalam mencari nilai suatu matriks. Untuk matriks yang bertingkat 2 atau tiga, cara cramer merupakan cara yang sering digunakan. Dalam cara Cramer untuk matriks M yang berderajat dua :

   

  =

22 21

12 11

m m

m m M

Nilai determinannya adalah :

21 12 22

11m m m

m

Dan untuk matriks M yang berderajat tiga:

     

    =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

m m m

m m m

m m m M

Nilai determinannya adalah :

) (

)

(m₁₁m₂₂m₃₃ m₁₂m₂₃m₃₁ m₁₃m₂₁m₃₂ m₁₃m₂₂m₃₁ m₁₁m₂₃m₃₂ m₁₂m₂₁m₃₃

M = + + − + +

2.2.5 Invers suatu matriks a. Definisi invers suatu matriks

Misalkan A matriks berukuran nxn yang nonsingular, jika terdapat matriks B dan berlaku :

n

I BA AB= =

Maka matriks B disebut invers dari matriks A. Jika tidak terdapat matriks B, maka matriks A disebut matriks singu lar.

b. Mencari invers suatu matriks.

Ada beberapa cara mencari invers suatu matriks, salah satunya adalah dengan cara Adjoin Matriks. Pandang suatu matriks kuadrat tingkat n yakni M =

( )

m_ij dan misalkan K_ijadalah kofaktor elemen – elemen m_ijmaka Adjoin suatu matriks M disingkat adj M adalah :

Adj M

T

nn n

n

n n

K K

K

K K

K

K K

K

   

 

   

  =

    

 

2 1

2 22

21

1 12

Sedangkan untuk matriks M yang berderajad 2 :

   

  =

22 21

12 11

m m

m m M

Adjoin matriks M adalah :

Adj M _

  

 

−

− =

11 21

12 22

m m

m m

Dari M(Adj M ) = M I_n

M−1M( Adj M ) =M−1M I_n

I_n( Adj M ) =M−1 M I_n

Sehingga didapatkan :

T

nn n

n

n n

K K

K

K K

K

K K

K

M M

   

 

   

  = −

   

 

2 1

2 22

21

1 12

11

1 1

2.3 Nilai dan Vektor Eigen 2.3.1 Definisi dan notasi

Awalan eigen dalam bahasa Jerman dapat diartikan sebagai sesuatu hal yang pribadi atau ciri. Dalam kasus matrik, nilai eigen merupakan nilai Karakteristik dari dari matriks tersebut sehingga dari nilai eigen dapat memberikan gambaran tentang matriks itu sendiri. Nilai eigen dinotasikan dengan λ.

Jika diberikan matriks M berukuran nxn , dapat dicari nilai λ dan vektor tak nol xdi Rnsehingga berlaku :

x x

M =λ

Sehingga vektor tak nol yang dinotasikan dengan x disebut vektor eigen.

2.3.2 Persamaan karakteristik

Permasalahan mencari nilai eigen dapat dipecahkan melalui persamaan karakteristik. Berdasarkan definisi, vektor tak nol xmerupakan vektor eigen jika :

x x

M =λ

Dengan I merupakan suatu matriks identitas, persamaan di atas dapat kita tulis : Mx =λIx

O x I M − ) = ( λ

Untuk nilai x ≠0, hal ini terjadi jika dan hanya jika :

0

= − =

− I M I

M λ ) λ

det(

Persamaan ini merupakan polinom dalam λ dan disebut Persamaan Karakteristik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan real λ merupakan nilai eigen dari matriks M jika dan hanya jika λ memenuhi persamaan karakteristik M −λI =0.

Matriks (M −λI)dapat dijabarkan sebagai :

     

 

     

 

− −

− −

= −

λ λ

λ λ

λ

nn n

n n

n n n

m m

m m

m m

m m

m m

m

m m

m m

I M

   

 

  

3 2

1

3 33

32 31

2 22

21

1 13

12 11

) (

Determinan dari suatu matriks merupakan perkalian n suku dari matriksnya, sehingga pangkat tertinggi yang mungkin dari λ adalah n yakni yang diperoleh dari perkalian suku dari diagonal matriks. Oleh karna itu, persamaan karakteristik dari suatu matriks yang berukuran nxn adalah :

n n

n n

n

m m

m m

f λ =λ + λ − + λ − + + ₋1λ+

2 2 1

1 ...

) (

Nilai eigen merupakan akar – akar dari polynomial karakteristik dari matriks M.Jika kita berikan λ=0pada M −λI_n yang juga berlaku untuk persamaan di atas, maka akan didapatkan M =m_n dan memberikan bentuk umum :

M mn =(−1)

2.3.3 Proses diagonalisasi matriks

a. Syarat suatu matriks dapat didiagonalkan

Suatu matriks berukuran nxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linear. Himpunan vektor – vektor

n m R

x x x

x₁, ₂, ₃,... ∈ dikatakan bergantung linier jika ada skalar k_i,(i=1,2,3,...m)yang tidak semuanya nol sehingga berlaku:

0 ...

2 2 1

1x +k x + kmxm =

k

b. Pendiagonalan matriks

Misalkan M matriks berukuran nxn dan mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linier. Kita tulis vektor eigen tersebut sebagai kolom dari matriks V yang juga berukuran nxn tersebut sebagai berikut :

(

x x xn

)

V = _{1 2} 

Matriks V di atas tak singular karena mempunyai n vektor kolom di Rnyang bebas linier.

(

x x xn

)

M

MV = _{1 2} 

(

Mx Mx Mxn

)

MV = _{1 2} 

Karena Mx_i =λ_ix_i denganλ_i merupakan nilai eigen yang berkaitan dengan vektor eigen x_i.Dengan catatan bahwa mungkin terjadi beberapa vektor eigen yang berbeda mempunyai nilai eigen yang sama. Maka :

(

x x nxn

)

MV = λ_{1 1} λ_{2 2}  λ

Misalkan D merupakan matriks diagonal yang berisi nilai eigenλ_iyang berkaitan dengan x_i, diasumsikan bahwa V dan D merupakan matriks yang memiliki ukuran yang sama, maka :

(

)

   

 

   

  =

n n

x x

x VD

λ λ

λ

    

  

0 0

0 0

0 0

2 1

2 1

(

x x nxn

)

VD= λ_{1 1} λ_{2 2}  λ

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

VD

Kemudian karena matriks V mempunyai invers, persamaan di atas dapat dikalikan dengan −1

V dari kanan sehingga diperoleh :

1

1 −

− ₌

VDV MVV

1 − =VDV MI

1 − =VDV M

Selanjutnya, dapat dicari :

1 − =VD V

Mn n ( 2.2 )

2.4 Rantai Markov

Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang lebih umum dan dikenal sebagai proses Stokastik.

2.4.1 Definisi rantai Markov

Rantai Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel acak

{

X_n;n=0,1,2,3...

}

yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov.

2.4.2 Sifat Markov

Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu ( past states) 1

2 1

0,X ,X ,...,Xn−

X dan kejadian yang sedang berlangsung ( present state ) X_n, maka kejadian yang akan datang ( future state )X_n+1 bersifat bebas ( independen ) dari kejadian-kejadian yang telah berlalu ( past state ) X₀,X₁,X₂,...,X_n−1 . Artinya

kejadian yang akan datang ( future state ) X_n+1 hanya bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung ( present state) X_n.

Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai untuk waktu ke n, maka distribusi nilai proses dari waktu ke n+1 hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu n.

Secara umum dapat dituliskan:

) Pr(

) ,

,..., ,

Pr(X_n+1 =iX₀ = j₀ X₁ = j₁ X_n−1 = j_n−1 X_n = j_n = X_n+1 =iX_n = j .

2.4.3 Asumsi – asumsi dasar rantai Markov

Penggunaan rantai Markov terhadap suatu masalah memerlukan pemahaman tentang tiga keadaan yaitu keadaan awal, keadaan transisi dan keadaan setimbangnya. Dari tiga keadaan di atas, keadaan transisi merupakan yang terpenting. Oleh karena itulah asumsi – asumsi dalam rantai Markov hanya berhubungan dengan keadaan transisi.

Asumsi – asumsi dalam rantai Markov adalah sebagai berikut : a. Jumlah probabilitas transisi keadaan adalah 1

b. Probabilitas transisi tidak berubah selamanya.

c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang, bukan pada periode sebelumnya.

2.4.4 Keadan awal rantai Markov

Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan i keadaan adalah vektor kolom X dimana komponennya yang ke i yakninya x_i adalah

probabilitas bahwa sistemnya berada dalam keadaan ke i pada waktu itu. Dapat dituliskan :

            =

n

x x x X



2 1

Untuk keadaan awal, vektor pada rantai Markov adalah keadaan ataupun probabilitas yang terjadi pada waktu yang sedang berlangsung. Vektor keadaan awal dinotasikan dengan X₀ ..

2.4.5 Keadaan transisi dan probabilitasnya

Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan ( status ) ke keadaan ( status ) lainnya pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk probabilitas dan dinotasikan dengan X_n . Probabilitas ini dikenal sebagai probabilitas transisi. Probabilitas ini dapat digunakan untuk menentukan probabilitas keadaan atau periode berikutnya.

Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal X₀ diberikan perubahan melalui suatu matriks yang disebut Matriks Probabilitas Transisi sebagai berikut:

1 −

= _n

n MX

X

Matriks Probabilitas Transisi dari suatu rantai Markov adalah suatu matriks berderajat n dimana n tergantung kepada jumlah kejadian atau state pada rantai Markov tersebut. Elemen pada Matriks Probabilitas Transisi adalah probabilitas perubahan suatu keadaan berada pada kejadian i jika pada masa sebelumnya berada pada keadaan j.

Untuk Rantai Markov dengan tiga keadaan, matriks peralihannya mempunyai bentuk :

Keadaan awal 1 2 3

3 2 1

33 32 31

33 22 21

13 12 11

     

    =

m m m

m m m

m m m

M Keadaan Baru

Dan berlalu m₁₁+m₂₁+m₃₁ =1

2.4.6 Keadaan setimbang dan probabilitasnya.

Keadaan setimbang adalah keadaan dimana proses setelah beberapa periode telah mencapai suatu keadaan yang tidak berubah – ubah lagi dan dinotasikan X_∞. Jika keadaan setimbang telah tercapai, maka probabilitas status periode ke i akan sama dengan probabilitas pada status berikutnya ( i+1).

BAB 3

PERMASALAHAN

3.1 Rantai Markov Dengan Dua Komponen

Rantai Markov dengan dua komponen berarti bahwa proses Markov hanya memiliki dua kejadian yang mungkin. Komponen dari rantai Markov sering kita sebut dengan State. Untuk rantai Markov dengan dua komponen, himpunan dari kejadian – kejadian yang mungkin dituliskan sebagai berikut :

{

kejadian1 kejadian2

}

E = ,

3.1.1 Keadaan awal pada rantai Markov dengan dua komponen

Keadaan awal pada rantai Markov dengan dua komponen merupakan sebuah vektor kolom. Jumlah baris dari vektor kolom menunjukkan banyaknya komponen dari rantai Markov tersebut. Untuk rantai Markov yang memiliki dua kejadian yang mungkin, keadaan awalnya dapat dituliskan sebagai berikut :

      =

0 0 0

y x X

dimana komponen x₀ merupakan komponen yang terbesar dari dua komponen tersebut dan berlaku :x₀ +y₀ =1.

3.1.2 Keadaan transisi rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya Seperti keadaan awal, keadaan transisi pada Rantai Markov dengan dua komponen juga berbentuk vektor kolom

        =

n n n _y

x

X , dimana xn +yn =1. Vektor tersebut menunjukkan

keadaan transisi rantai Markov dengan dua komponen untuk periode waktu ke n. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal mendapatkan perubahan yang dilakukan oleh matriks probabilitas transisi. Untuk rantai Markov dengan dua komponen, matriks probabilitas transisi M adalah:

   

 

− −

=    

  =

q p

q p m

m m m M

1 1

22 21

12 11

Dimana : = 11

m Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 1, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 1.

= = p

m₂₁ Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 2, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 1..

= =q

m₁₂ Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 1, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 2.

= 22

m Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 2, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 2.

3.1.3 Keadaan setimbang pada rantai Markov dengan dua komponen.

Untuk waktu n→∞, jika matriks probabilitas transisi rantai Markov dengan dua komponen Reguler maka keadaan menuju ke keadaan setimbangnya. Keadaan setimbangnya juga merupakan vektor kolom yang jumlah baris menunjukkan banyaknya komponen.

Dapat dituliskan :

      =

∞ ∞ ∞

y x X

Dimana : x_∞ +y_∞ =1

Probabilitas pada keadaan setimbang inilah nantinya yang bisa dijadikan sebagai informasi dalam mengambil keputusan tentang kebijakan di masa yang akan datang.

3.2 Dinamika Rantai Markov Dengan Dua Komponen

Sesuai sifat Markov bahwa keadaan di masa yang akan datang hanya bergantung dari keadaan yang sedang berlangsung, maka didapatkan persamaan :

1 −

= _n

n MX

X ( 3.1 )

Karena X_n−1 =MX_n−2 , persamaan ( 3.1 ) juga bisa dituliskan :

2 −

= _n

n MMX

X

dan seterusnya hingga didapatkan persamaan baru :

1

0 = −

= n

n

n M X MX

X ( 3.2 )

Jika keadaan awal _      =

y x

X₀ , maka untuk rantai Markov dengan dua komponen

secara eksplisit dapat dituliskan :

         

 

− −

=

y x q p

q p X

n

n

1 1

Nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks M di atas dapat dicari melalui persamaan berikut :

Mx =λIx, atau

O x I M − ) = ( λ

Untuk nilai x ≠0, hal ini terjadi jika dan hanya jika :

0 )

det(M −λI = M −λI = .

      −    

 

− −

= −

1 0

0 1 1

1

λ λ

q p

q p I

M

      −    

 

− −

= −

λ λ λ

0 0 1

1

q p

q p I

M

   

 

− − −

− = −

λ λ

λ

q p

q p

I M

1 1

pq q

p I

M −λ =(1− −λ)(1− −λ)−

pq q p

I

M −λ =((1−λ)− )((1−λ)− )−

pq pq p

q I

M −λ =(1−λ)2 − (1−λ)− (1−λ)+ −

) 1 )( (

) 1

( λ 2 λ

λ = − − + −

− I p q

M

)) (

) )((

( p q

I

M −λ = 1−λ 1−λ − +

) )(

( λ λ

λ = − − − −

− I p q

Sehingga didapatkan persamaan polynomial karakteristik :

0 1

1− − − − =

=( )( )

)

(λ λ p q λ

f ( 3.4 )

Dengan nilai λ₁ =1, yang sekaligus membuktikan bahwa untuk matriks stokastik berapapun order dari matriks tersebut, salah satu nilai eigennya pasti bernilai 1 bisa dan nilai λ₂ =1− p−q.

Selanjutnya, dari nilai – nilai eigen yang telah diketahui di atas akan dicari vektor – vektor eigen yang berkesesuaian.Untuk nilai λ₁ =1, akan dicari vektor eigennya sebagai berikut :

(M −λI)x =O O x q

p

q p

=       −    

 

− −

1 1 0

0 1 1 1

1

) )

( ) ( (

x O

q p

q p

=    

 

− − −

−

1 1 1 1 1

) (

) (

O x x q p

q p

=    

 

− −

2 1

1 1

Sehingga didapatkan persamaan :

0

2

1 1

1 + =

−px qx

0

2

1 1

1 −qx =

x p

Misalkan x =q

1

1 dan x1₂ = pmaka persamaan di atas akan terpenuhi. Sehingga menghasilkan vektor eigen _

     =

p q x₁ .

Untuk nilai λ₂ =1− p−qakan dicari vektor eigennya sebagai berikut : (M −λI)x=O

O x q p q p q p =       − − −       − − 2 ) 1 0 0 1 ) 1 ( 1 1 ( O x q p q p q p q p =       − − − − −       − − 2 ) ) 1 ( 0 0 ) 1 ( 1 1 ( x O p p q q =       2 O x x p p q q =       2 1 2 2

Sehingga didapatkan persamaan :

0

2

1 2

2 +qx =

x q

0

2

1 2

2 −qx =

x p

Misalkan 1

1

2 =

x dan 1

2

2 =−

x , maka persamaan di atas akan terpenuhi. Sehingga

menghasilkan vektor eigen _      − = 1 1 2 x

Misalkan V merupakan matriks yang kolom – kolomnya merupakan kumpulan dari vektor eigen dari matriks M :

      − = 1 1 p q V

Dan matriks D merupakan matriks Diagonal yang elemennya merupakan nilai eigen dari matriks M :

      − − = )

( p q

D

1 0

0 1

Maka matriks Mndapat dicari dengan persamaan ( 2.2 ) sebagai berikut :       − +       − −       − = q p q p q p p q

Mn _n 1 1 1

) 1 ( 0 0 1 1 1       − +       − − − − − = q p q p q p p q p q M _n n

n 1 1 1

) 1 ( ) 1 (       −             + − − − + + − − + = q p q p q p q p p q p q p q p q M _n n

n 1 1

) 1 ( ) 1 (               + − − + + − − − + − − − + − − + = q p q p q p q p q p p p q p q p q q q p q p p q M n n n n n ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (       − − + − − − − − − − − + +

= n_n n_n

n q p q p q p p p q p q q q p p q q p M ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1

( 3.5 )

Persamaan ( 3.5 ) dapat digunakan untuk mendapatkan komposisi setimbang rantai Markov, dimana untuk waktu n→∞ :

0

X M

X_∞ = ∞

            − − + − − − − − − − − + + = ∞_∞ ∞_∞ ∞ y x q p q p q p p p q p q q q p p q q p X ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1

Karena nilai (1− p−q)∞ →0, maka :             + = ∞ y x p p q q q p X 1       + + = ∞ p q q p y x X 1 x

X_∞ =α , untuk

q p y x + + =

α ( 3.6 )

Adanya perubahan komposisi pada vektor keadaan rantai Markov dapat terlihat pada : 0

1

1 X M M X

X

X_n = _n − _n =( n − n )

∆ + +                             − − + − − − − − − − − + + −       − − + − − − − − − − − + + = ∆ +₊ +₊ y x q p q p q p p p q p q q q p p q q p q p q p q p p p q p q q q p p q q p X n n n n n n n n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Karena (1−p−q)n+1 =(1− p−q)n(1− p−q)maka :

            − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + = ∆ y x q p q p q q p q p p q p q p q q p q p p q p X n n n n n ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                   + − − + − − − + − − − + − − − − = ∆ y x q p q p q q p q p p q p q p q q p q p p q p

X_n n

) ( ) ( ) ( ) ( ) (1

Nilai (−p−q) dalam matriks dirubah menjadi (p+q), sehingga:

                  + + − + + + + + + − − − = ∆ y x q p q p q q p q p p q p q p q q p q p p q p

X_n n

) ( ) ( ) ( ) ( ) (1

         

 

− − −

− = ∆

y x q p

q p p

q X_n (1 )n

   

 

− + − −

− = ∆

qy px

qy px p

q X_n (1 )n

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( ) ( 3.7 )

Karena sebelumnya telah didapatkan bahwa:

q p−

− =1 2

λ dan _

     − =

1 1 2

x , maka dapat kita tuliskan :

2

2x

qy px

X_n =(− + )λn

∆ ( 3.8 )

Tampaklah jelas bahwa, dalam perubahan tersebut, yang sangat berperan penting adalah nilai λ₂dan keadaan awal yang diberikan.

Karena nilaiλ₂ =1− p−q, sedangkan p merupakan probabilitas terjadinya perpindahan dari keadaan 1 ke keadaan 2 pada masa yang akan datang yang bernilai

1

0≤ p≤ dan q merupakan probabilitas terjadinya perpindahan dari keadaan 2 ke keadaan 1 pada masa yang akan datang yang bernilai 0≤q≤1, dapat disimpulkan bahwa nilai yang mungkin untuk λ₂ adalah :

1. Nilai λ₂ =1

Ini akan terjadi bilamana nilai p+q=0. Matriks transisi dimana p+q=0adalah :

   

 

− −

=

q p

q p M

1 1

      =

1 0

0 1

Keadaan ini tidak memenuhi syarat bahwa untuk mencapai kesetimbangan matriks probabilitas transisinya harus Reguler. Dimana tidak akan ada perpindahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain.

2. Nilai 0<λ₂ <1

Ini akan terjadi bilamana nilai 0<(p+q)<1

3. Nilai λ₂ =0

Ini akan terjadi bilamana nilai p+q=1

4. Nilai −1<λ₂ <0

Ini akan terjadi bilamana nilai 1<(p+q)<2

5. Nilai λ₂ =−1

Ini akan terjadi bilamana nilai p+q=2. p+q=0. Matriks transisi dimana 2

= +q

p adalah :

   

 

− −

=

q p

q p M

1 1

      =

0 1

1 0

Matriks transisi seperti ini tidak akan menghasilkan keadaan setimbang yang tidak akan berubah – ubah lagi.

Maka dapat disimpulkan bahwa dari 5 nilai yang mungkin, dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen hanya akan terjadi bilamana :

1. Dinamika rantai Markov dengan dua komponen yang memiliki nilai 0<λ₂ <1 dari matriks probabilitas transisinya.

a. Kasus nilai − px+qy<0

Dari persamaan ( 3.7 ), diperoleh bahwa :

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( )

Untuk nilai 0<λ₂ <1 dan nilai −px+qy<0 maka diperoleh nilai n

p q qy

px )( )

(− + 1− − bernilai negatif yang disebut −C. Sehingga :

      − − = ∆

1 1

C X_n

      + − = ∆

C C X_n

Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai x₀ > x₁ >x₂...> x_n...>x_∞ dan nilai ∞

< < <

< y y y y

y_{0 1 2}... _n... . Artinya nilai komponen x akan mengalami penurunan yang sebanding dengan kenaikan komponen y untuk periode waktu yang lebih besar yang hingga masing – masing komponen mencapai kesetimbangan untuk waktu n→∞

karena matriks transisinya Reguler.

b. Kasus nilai −px+qy>0

Dari persamaan ( 3.7 ), diperoleh bahwa :

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( )

Untuk nilai 0<λ₂ <1 dan nilai − px+qy>0 maka diperoleh nilai n

p q qy

px )( )

      − = ∆

1 1

C X_n

      − + = ∆

C C X_n

Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai x₀ < x₁ < x₂...< x_n...<x_∞ dan nilai ∞

> >

>

> y y y y

y_{0 1 2}... _n... . Artinya nilai komponen x akan mengalami kenaikan untuk periode waktu yang lebih besar yang sebanding dengan penurunan komponen y untuk periode waktu yang lebih besar yang hingga masing – masing komponen mencapai kesetimbangan untuk waktu n→∞ karena matriks transisinya Reguler.

2. Dinamika rantai Markov dengan dua komponen yang memiliki nilai λ₂ =0 dari matriks probabilitas transisinya.

a. Kasus nilai − px+qy<0

Dari persamaan ( 3.7 ), diperoleh bahwa :

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( )

Untuk nilai λ₂ =0 dan nilai − px+qy<0 maka diperoleh nilai (−px+qy)(1−q− p)n

bernilai negatif yang disebut −C. Sehingga :

      − − = ∆

1 1

C X_n

      + − = ∆

C C X_n

Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai x₀ >(x₁ = x_∞ ) dan nilai y₀ <(y₁ = y_∞ ). Artinya nilai komponen x akan mengalami penurunan yang sebanding dengan kenaikan komponen y hanya berlangsung dalam 1 periode waktu dan langsung mencapai kesetimbangan karena matriks transisinya Reguler.

b. Kasus nilai −px+qy>0

Dari persamaan ( 3.7 ), diperoleh bahwa :

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( )

Untuk nilai λ₂ =0 dan nilai − px+qy<0 maka diperoleh nilai (−px+qy)(1−q− p)n

bernilai positif yang disebut C. Sehingga :

      − = ∆

1 1

C X_n

      − + = ∆

C C X_n

Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai x₀ <(x₁ =x_∞ ) dan nilai y₀ >(y₁ = y_∞ ). Artinya nilai komponen x akan mengalami kenaikan yang sebanding dengan penurunan komponen y hanya berlangsung dalam 1 periode waktu dan langsung mencapai kesetimbangan karena matriks transisinya Reguler.

3. Dinamika rantai Markov dengan dua komponen yang memiliki nilai −1<λ₂ <0 dari matriks probabilitas transisinya.

a. Kasus nilai − px+qy<0

Dari persamaan ( 3.7 ), diperoleh bahwa :

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( )

Untuk nilai −1<λ₂ <0 dan nilai − px+qy<0 maka diperoleh nilai n

p q qy

px )( )

(− + 1− − bernilai positif untuk perubahan waktu ganjil dan negatif untuk waktu genap, yang disebut ±C. Sehingga :

      − ± = ∆

1 1

C X_n

Untuk waktu ganjil, _      − + = ∆

C C

X_n dan waktu genap _      + − = ∆

C C X_n

Hal ini memperlihatkan bahwa nilai :

∞ ∞ ∞

∞ ∞

∞ > − > − > − > −

−x x x x x x x x x

x0 1 2 ... n ... dan

) (

)... (

)... (

)

( _∞ ( + ) _∞ ( + ) _∞ ∞+ _{∞ ∞}

+ _{− >− − >− − >− −}

− y y y y yn y y y

n 1 1

1 1 1 0

1 0

1 1

1

1 .

Artinya nilai komponen x akan mengalami turun kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil. Sedangkan untuk komponen y akan naik kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil dan kemudian mencapai kesetiimbangan dan tak bergelombang lagi yang sebanding dengan komponen x. Kemudian baik komponen x maupun komponen y mencapai kesetimbangan untuk waktu n→∞ karena matriks transisinya Reguler.

b. Kasus nilai −px+qy>0

Dari persamaan ( 3.7 ), diperoleh bahwa :

      − −

− +

− = ∆

1 1

1 n

n px qy q p

X ( )( )

Untuk nilai −1<λ₂ <0 dan nilai − px+qy>0 maka diperoleh nilai n

p q qy

px )( )

(− + 1− − bernilai negatif untuk perubahan waktu ganjil dan positif untuk waktu genap, yang disebut ±C. Sehingga :

      − ± = ∆

1 1

C X_n

Untuk waktu ganjil, _      + − = ∆

C C

X_n dan waktu genap _      − + = ∆

C C X_n

Hal ini memperlihatkan bahwa nilai :

) (

)... (

)... (

)

( ( ) ( )

∞ ∞ + ∞ ∞

+ ∞

+ ∞

+ _{− >− − >− − >− −}

− x x x x n 1 x_n x 1 x x

1 1 1 0

1 0

1 1

1

1 dan

∞ ∞ ∞

∞ ∞

∞ > − > − > − > −

−y y y y y y y y y

y0 1 2 ... n ... .

Artinya nilai komponen x akan mengalami naik kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil. Sedangkan untuk komponen y akan turun kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil dan kemudian mencapai kesetiimbangan dan tak bergelombang lagi yang sebanding dengan komponen x. Kemudian baik komponen x maupun komponen y mencapai kesetimbangan untuk waktu n→∞ karena matriks transisinya Reguler.

3.3 Penyajian Dinamika Pada Rantai Markov Dengan Dua Komponen Berdasarkan Contoh – Contoh Kasus.

3.3.1 Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen untuk nilai 0< λ₂ <1

a. Kasus nilai − px+qy<0

Kasus 1 :

Alumni Statistika FMIPA USU angkatan 2003 yang berjumlah 100 orang membentuk suatu ikatan alumni. Selain sebagai sarana silaturahmi, ikatan tersebut juga bertujuan menghimpun dana yang berasal dari sumbangan anggota yang nantinya dapat digunakan untuk kemajuan program D-3 Statistika FMIPA USU. Dimana, penggalangan sumbangan dilakukan setiap awal tahun .

Catatan Perpindahan:

Dari 100 orang anggota, di tahun 2007 terdapat 90 orang yang menyumbang. Sedangkan di tahun 2008 hanya 75 orang yang menyumbang. Dengan catatan perpindahan sebagai berikut:

- Dari 90 orang yang menyumbang di tahun 2007, hanya 72 orang yang tetap kembali menyumbang di tahun 2008. Sedangkan 18 orang lainnya tidak menyumbang.

- Dari 10 orang yang tidak menyumbang di tahun 2007, 3 orang diantaranya menyumbang di tahun 2008 sedangkan 7 orang lainnya tetap tidak menyumbang.

Jika dimisalkan bahwa : 1 = Kejadian menyumbang 2 = Kejadian tidak menyumbang.

dari kodisi di atas, data yang diperoleh dapat kita tampilkan dalam bentuk tabel sebagai berikut :

Tabel 3.1 Sumbangan Alumni Kasus 1

Tahun Kondisi Jumlah

1 2

2007 90 10 100

2008 75 25 100

Sumber : Perhitungan

Sedangkan untuk pergeserannya, dapat ditampilkan sebagai berikut :

Tabel 3.2 Transisi pada Kasus 1

Tahun 2007 Jumlah

1 2

2008

1 72 3 75

2 18 7 25

Jumlah 90 10 100

Sumber : Perhitungan.

Keadaan Awal :

Sekarang dibangun sebuah catatan sumbangan masa depan seorang alumni dimana di tahu tahun terakhir dia tidak memberikan sumbangan. Sudah jelas bahwa keadaan awal dari alumni tersebut adalah _

     =

0 0

x y

X o dimana x₀merupakan probabilitas menyumbang

dan y₀merupakan probabilitas tidak menyumbang. Sehingga didapatkan _      =

1 0 0

X

Penyelesaian :

Dari tabel 3.2, dapat dibuat suatu matriks probabilitas transisi M. Dimana sesuai prinsip probabilitas, bisa dicari nilai elemen – elemen dari matriks probabilitas transisi sebagai berikut :

8 , 0 90 72

11 = =

m

p

m = =0,2=

90 18

Penyelesaian:

Dari tabel 3.6 di atas, dapat dibuat suatu matriks probabilitas transisi M. Dimana sesuai prinsip probabilitas bisa dicari nilai elemen – elemen dari matriks probabilitas transisi sebagai berikut :

4 , 0 90 36

11 = =

m

p

m = =0,6=

90 54

21

q

m = =0,9=

10 9

12

1 , 0 10

1

22 = =

m

Sehingga didapatkan matriks probabilitas transisi M sebagai berikut :

   

  =

1 , 0 6 , 0

9 , 0 4 , 0 M

Dari matriks di atas didapatkan bahwa nilaiλ₁ =1 dengan vektor eigennya

adalah : _

     =

p q

x_{1 }

     =

6 0

9 0

, ,

dan nilai λ₂ =1−p−q λ₂ =1−0,9−0,6 = - 0,5

dengan nilai _

     − =

1 1

2 x

Karena X_∞ =αx₁, untuk

q p

y x

+ + =

α maka dengan mudah didapatkan keadaan setimbangnya, yaitu :

      + + =

∞

6 0

9 0 9 0 6 0

45 0 55 0

, , , ,

, ,

X _

     =

4 0

6 0

, ,

Untuk melihat perubahan dari keadaan awal _      = 45 , 0 55 , 0 0

X ke keadaan

setimbangnya _      = ∞ 4 0 6 0 , ,

X dapat menggunakan persamaan ( 3.2 ), sehingga:

      =             = = = 37500 0 62500 0 45 0 55 0 1 0 6 0 9 0 4 0 0 0 1 1 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 41250 0 58750 0 37500 0 62500 0 1 0 6 0 9 0 4 0 1 0 2 2 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 39375 0 60625 0 41250 0 58750 0 1 0 6 0 9 0 4 0 2 0 3 3 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 40312 0 39688 0 39375 0 60625 0 1 0 6 0 9 0 4 0 3 0 4 4 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 39844 0 60156 0 40312 0 39688 0 1 0 6 0 9 0 4 0 4 0 5 5 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 40078 0 59922 0 39844 0 60156 0 1 0 6 0 9 0 4 0 5 0 6 6 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 39961 0 60039 0 40078 0 59922 0 1 0 6 0 9 0 4 0 6 0 7 7 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 40019 0 59981 0 39961 0 60039 0 1 0 6 0 9 0 4 0 7 0 8 8 , , , , , , , , MX X M X       =             = = = 40000 0 60000 0 40019 0 59981 0 1 0 6 0 9 0 4 0 8 0 9 9 , , , , , , , , MX X M X

Untuk melihat waktu ke n yang lebih besar, bisa menggunakan cara diagonalisasi dimana matriks V merupakan matriks yang berisi vektor – vektor eigen dari matriks M dan D merupakan matriks Diagonal yang berisi nilai – nilai eigen matriks M pada elemen diagonalnya:

0 1 20 20 VD V X

X = −

         

  −

− − −

− 

  

     

 

− =

45 , 0

55 , 0 9 , 0 6 , 0

1 1 ) 6 , 0 1 ( ) 1 ( ) 9 , 0 ((

1 5

, 0 0

0 1

1 6 , 0

1 9 , 0

20 20

20

x x

X _

     =

400 0

600 0

, ,

Dari keadaan awal _

     =

0 0 0

y x

X _

     =

45 , 0

55 , 0

didapat nilai : )

45 , 0 )( 9 , 0 ( ) 55 , 0 )( 6 , 0

( +

− = +

− px qy

075 , 0

= +

− px qy .

Sesuai harapan bahwa nilai − px+qy>0.

Perubahan dari periode 1 ke periode sampai tercapainya kesetimbangan akan ditampilkan pada grafik berikut ini:

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab – bab sebelumnya, maka dapatlah dibuat beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Untuk matriks probabilitas transisi dari rantai Markov dengan dua komponen, pasti akan memiliki satu nilai eigen yang bernilai 1 dan nilai eigen yang lainnya adalah (1-p-q).

2. Bentuk dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen bergantung kepada nilai λ₂ dari matriks probabilitas transisi dan keadaan awal yang diberikan. Yakninya :

a. Untuk nilai 0<λ₂ <1

Dinamika perubahan dinamakan Monoton naik atau turun. Untuk keadaan awal − px+qy<0, perubahan komponen x terjadi secara monoton turun dan untuk komponen y perubahan terjadi secara monoton naik. Hal ini akan berlaku terbalik untuk keadaan awal − px+qy>0.

b. Untuk nilai λ₂ =0

Dinamika perubahan dinamakan Quasi Statik. Dimana komposisi rantai Markov akan menjadi setimbang hanya dalam 1 periode waktu. Untuk

c. Untuk nilai −1<λ₂ <0

Dinamika perubahan dinamakan Osilasi teredam. Nilai komposisi transisi akan bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan, dimana untu waktuk yang lebih besar tinggi gelombang akan semakin kecil untuk kemudian mencapai kesetimbangan dan tidak bergelombang lagi. Untuk keadaan awal − px+qy<0 nilai komponen x akan turun kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan sedangkan untuk komponen y nilai komposisi transisi awal akan naik kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang dari kedua komponen akan semakin mengecil dan kemudian mencapai kesetimbangan dan tak bergelombang lagi. Hal ini akan berlaku terbalik untuk keadaan awal − px+qy>0

4.2 Saran

Dari uraian bab – bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan suatu informasi yang berguna dalam membuat keputusan dalam rantai Markov, membutuhkan proses perubahan. Proses perubahan tersebut ternyata juga mengandung informasi yang juga dapat memberikan pemahaman lebih tentang permasalahan yang dihadapi. Oleh karena itu, penulis menyarankan untuk dilakukan penelitian lanjutan dengan jumlah komponen yang lebih besar dan menggunakan software komputer yang berkesesuaian.

DAFTAR PUSTAKA

Lamperti, John 1997, ” Stochastic Process ”, Springer-Verlag, New York. Iqbal, Hasan 2002 ” Teori Pengambilan Keputusan ”, Ghalia Indonesia, Jakarta. Sianipar, Pangeran 1995 ” Aljabar Linier ”, Intan Dirja Lela, Medan.

Kolman, Bernard 1998 “ Introductory Linear Aljebra With Aplication “, Macmillan Publishing Company, New York.

Nicholson, Keith 2001 “ Elementary Linear Aljebra “, McGraw-Hill Book Co,Singapore.

Silaban, Pantur 1998 “ Penerapan Aljabar Linier “, Erlangga, Jakarta.

Tim Wikipedia, 2008. 2 Agustus 2008.

Sugata Pikatan, “Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen“, “ http://www.geocities.com/dmipa/article/sp.markov

Waner, Stevan “ Markov System, State Transition Diagram and Transition Matrix“, ”, tanggal akses 2 Agustus 2008

“ , tanggal