Untuk dapat menerapkan analisis rantai markov kedalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi :
1. jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan
1satu, 2.
Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem,
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu,
4. kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu.
Dalam realita, penerapan analisis markov biasa terbilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisis
markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan
perpindahan kondisi dalam sistem.
2.2 Model Rantai Markov Multivariat
Pada bagian ini, dibahas model rantai markov mutivariat menggambarkan deret multiple kategorik dengan hasil yang sama. Diasumsikan s deret kategorik dan yang
lain m kemungkinan keadan dalam himpunan M = {1,2,…,m}.
Misalnya
j n
X
keadan vektor deret j pada waktu n. jika deret j dalam keadaan
l
pada waktu n maka dapat ditulis
t j
masukkan l
j n
e ,
, 1
, ,
,
X
Pada persaman model rantai markov multivariat , diasumsikan sebagai berikut:
s j
untuk P
s k
k n
jk jk
j n
,..., 2
, 1
,
1 1
X X
1 Dengan
s k
j
jk
, 1
,
2 Dan
s k
jk
s j
untuk
1
. ,...,
2 ,
1 ,
1
3
Nova Anggriya : Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik, 2009.
Pada keadaan probability distribusi deret k pada waktu t n+ 1 bergantung pada rata- rata bobot
k
n jk
P X
.
jk
P
adalah matriks transisi probability dari keadaan deret k sampai keadaan deret j, dan
k n
X
adalah keadaan distribusi probability deret k pada waktu n. Bentuk matriks dapat ditulis
.
1 2
1
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
1 2
1 1
1 1
n n
n s
n n
n
ss ss
s s
s s
s s
s s
s n
n n
n
Q atau
Q P
P P
P P
P P
P P
X X
X X
X X
X X
X X
Walaupun jumlah kolom Q tidak sama dengan satu jumlah kolom
jk
P
sama dengan satu, sebagaimana menurut dalil :
Dalil 1. jika parameter
s k
j untuk
jk
, 1
,
, maka matriks Q mempunyai nilai eigen sama dengan satu dan nilai eigen pada Q memiliki aturan lebih kecil dari atau
sama dengan satu.
Bukti. Dari
persaman 2
jumlah kolom
pada matriks
s s
s s
s s
, ,
2 ,
1 2
, 2
, 2
2 ,
1 1
, 1
, 2
1 ,
1
adalah satu. Sejak
,
jk
tidak negative dan tak
terjabarkan. Theorema
Perron-Frobenius, dimana
ada sebuah
vektor
T s
y y
y ,
, ,
2 1
y
dengan demikian
T T
y y
. Dinotasikan
dengan
, ,
1 ,
s j
i P
m ij
m
1 1
yaitu vektor 1m semuanya satu,
. 1
, ,
1 ,
1
m
1
Maka mudah menunjukkan
m s
m m
m s
m m
y y
y y
y y
1 1
1 Q
1 1
1 ,...,
, ,...,
,
2 1
2 1
. Dan dari sini harus satu nilai eigen pada Q.
Untuk menunjukkan semua nilai eigen pada Q kurang dari atau sama dengan satu.
Misalnya defenisi
pada vektor-norm
. 1
, ,
,..., ,
: max
2 1
1 1
s j
v
m j
s i
s i
R z
z z
z z
z z
Jelas untuk menunjukkan
v .
Nova Anggriya : Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik, 2009.
adalah vektor-norm pada
ms
R
. Dapat didefenisikan menurut matriks norm
. 1
: sup
v v
Q Q
M
z z
Sejak
ij
P
matriks transisi, yang mana anggotanya
ij
P
adalah kurang
dari atau
sama dengan
satu. Dengan
. ,
1 ,
1 1
1
s j
i P
j j
ij
z z
Disini
1
.
adalah 1-norm untuk sebuah vektor.
s j
ij s
is is
i i
i i
s i
v P
P P
1 1
2 2
2 1
1 1
1 ,
1 .
... z
z z
z
dan dari sini
. 1
M
Q
Sejak spectral radius pada Q selalu kurang dari atau sama setiap matriks norm pada Q, dengan hasil sebagai berikut.
Dalil 2. menduga matriks
jk
P
1≤ i, j ≤ s adalah tak terjabarkan irreducible dan
. ,
1 ,
s k
j untuk
jk
Maka disana
adalah sebuah
vektor tunggal
T s
x x
x x
, ,
,
2 1
dengan demikian
x x
Q
dan
. 1
, 1
1
s j
m i
i j
x
Bukti. Dalil 1, di atas adalah tepat suatu nilai eigen pada Q sama dengan satu. Ini tercantum
T n
n
Q vu
lim
setiap barisan matriks positif seperti Q adalah tak terjabarkan irreducible. Karena itu
. lim
lim lim
1
v x
vu x
x x
T n
n n
n n
n
Q Q
Disini adalah positif sejak
x
dan tidak negative. Pada
n
x
cenderung menuju pada sebuah vektor stasionary seperti n menuju tak hingga. Akhirnya, dinotasikan jika
x
adalah vektor dengan demikian
, 1
, 1
1
s j
m i
i j
x
maka
x x dan
Q
juga memiliki vektor-vektor.
Sekarang andaikan bahwa ada
y
dengan demikian
x y
dan
.
lim
n n
x y
Maka didapat
. x
x y
x Q
Ini adalah suatu penyangkalan dan karena itu
vektor x harus tunggal. Kemudian didapatkan hasilnya.
Dinotasikan x bukan vektor distribusi probability, tetapi
j
x
vektor distribusi probability. Berdasarkan dalil di atas menyarankan suatu kemungkinan cara untuk
Nova Anggriya : Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik, 2009.
mengestimasi model parameter
ij
. Andaikan untuk mendapatkan
ij
yang mana minimisasi
x x
ˆ ˆ
Q
tentu dibawah vektor norm
.
.
2.3 Estimasi Pada Model Parameter
