Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

59
LAMPIRAN A
TABEL 3.3 DATA SIMULASI MENGGUNAKAN PROGRAM R
NO
1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

� = �����(�)


4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902

4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902

�=



����(�)

398.401
398.451
398.501
398.551
398.601
398.651
398.701
398.751
398.801
398.851
398.901
398.951
399.001
399.051
399.101
399.151
399.201
399.251

399.301
399.351
399.401
399.451
399.501
399.551
399.601
399.651
399.701
399.751
399.801
399.851
399.901
399.951
400.001
400.051
400.101

N=100
E(X)

1598.138
1660.486
1633.635
1626.003
1574.300
1701.275
1617.479
1568.128
1589.947
1504.640
1518.076
1807.148
1627.546
1682.743
1614.980
1620.816
1624.404
1619.455
1472.956
1613.487

1643.199
1611.280
1577.529
1569.842
1527.429
1665.777
1681.202
1590.722
1623.402
1631.737
1694.375
1627.033
1720.99
1648.789
1671.025

N=1000
Var(X)
561953.7
747370.8

639034.1
710013.3
519406.3
677461.2
655333
582387.5
560013.8
553954.5
467225.8
721130.3
581698.3
655976.2
541380.7
663103.7
687701.7
575207.9
617693.7
667636.6
732286.1
746144.3

655869.2
594942.2
774013.9
729283
595967.3
544787.4
605258.4
641060.3
661604.4
629887.2
726823.2
608686.7
726520.6

E(X)
1675.514
1647.521
1665.252
1670.793
1655.916

1628.844
1615.549
1628.041
1611.977
1567.118
1613.467
1631.940
1611.230
1667.920
1632.931
1611.063
1607.379
1620.182
1673.011
1661.817
1644.763
1634.889
1630.646
1576.650
1616.952

1574.308
1619.321
1637.637
1639.202
1636.452
1592.372
1634.887
1650.312
1610.692
1639.850

Var(X)
696238
634735
707338.3
708044.8
705436.6
660341.3
639479.3
630232.4
619854.9
599882
661257.1
639138.8
646799.3
706670.5
671883.9
652510.8
584739.7
637740.3
747873.0
652657.7
641193.6
666600.0
668711.7
609514.2
586758.8
605132.5
641814.0
724124.5
644919.5
679906.1
600135.1
663015.0
639587.9
639705.1
615339.0

60
36
37
38
39
40

4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
4.0902
LAMPIRAN B

400.151
400.201
400.251
400.301
400.351

1687.111
1474.283
1647.881
1635.947
1684.227

679290.2
547981.8
732988
645336.2
601005.5

1664.018
1625.877
1689.153
1614.837
1635.401

649804.7
666851.2
693847.5
637229.0
674738.2

Tabel 3.4 DATA SIMULASI MENGGUNAKAN PROGRAM R
NO
1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29


= �����(�)
3.9902
3.9952
4.0002
4.0052
4.0102
4.0152
4.0202
4.0252
4.0302
4.0352
4.0402
4.0452
4.0502
4.0552
4.0602
4.0652
4.0702
4.0752
4.0802
4.0852
4.0902
4.0952
4.1002
4.1052
4.1102
4.1152
4.1202
4.1252
4.1302




����(�)
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
=

N=100

N=1000

E(X)

Var(X)

E(X)

Var(X)

1527.046
1541.640
1496.475
1508.523
1610.603
1584.964
1622.256
1676.418
1720.881
1672.840
1638.088
1666.779
1604.338
1682.189
1702.154
1556.422
1672.257
1654.126
1628.359
1624.058
1659.832
1506.366
1618.63
1569.842
1569.015
1625.067
1597.348
1638.113
1520.239

572266.0
648613.3
453328.0
537611.3
561945.4
752948.4
669094.7
646093.2
1017922
704580.2
582177.7
691366.7
625357.3
729193.5
793063.7
659861.4
559013.6
580475
701560.3
800784
479894.2
608552.3
1093616
594942.2
504496.2
537602.6
509946.7
724311.8
590576.5

1574.048
1573.576
1603.118
1580.227
1579.716
1609.335
1624.030
1579.945
1607.242
1605.874
1617.575
1606.448
1598.146
1620.53
1586.053
1584.501
1621.853
1688.478
1634.323
1609.191
1640.756
1666.759
1632.114
1665.548
1628.19
1641.446
1578.309
1638.587
1666.99

549768.8
623145.6
614076.3
551884.7
625462.8
616387.9
644750.6
605474.6
656087.3
662898.0
641810.4
615097.3
580384.5
658834.6
625068.4
644549.4
609416.4
753897.9
625817.0
617399.0
626264.3
673903.0
663613.0
702278.9
675704.3
769968.0
599140.7
640491.5
695687.0

61
30
4.1352
31
4.1402
32
4.1452
33
4.1502
34
4.1552
35
4.1602
36
4.1652
37
4.1702
38
4.1752
39
4.1802
40
4.1852
LAMPIRAN C

398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401
398.401

1735.920
1674.372
1595.511
1803.212
1739.005
1684.398
1684.499
1611.154
1680.615
1726.906
1641.203

817420.5
616203.4
505259
1002436
724615.6
726520.6
632458.1
530376.9
654685.4
702444
596904.5

1619.191
1673.539
1652.601
1684.700
1608.383
1657.421
1663.924
1628.982
1667.854
1674.860
1691.498

671769.9
627841.1
706484.6
652979.1
570895.8
712554.2
665045.6
622447.1
670082.0
696738.6
650611.9

Tabel 3.5 DATA SIMULASI MENGGUNAKAN PROGRAM R
NO
1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23


= �����(�)
3.9902
3.9952
4.0002
4.0052
4.0102
4.0152
4.0202
4.0252
4.0302
4.0352
4.0402
4.0452
4.0502
4.0552
4.0602
4.0652
4.0702
4.0752
4.0802
4.0852
4.0902
4.0952
4.1002




=
����(�)
398.401
398.451
398.501
398.551
398.601
398.651
398.701
398.751
398.801
398.851
398.901
398.951
399.001
399.051
399.101
399.151
399.201
399.251
399.301
399.351
399.401
399.451
399.501

N=100

N=1000

E(X)

Var(X)

E(X)

Var(X)

1598.138
1660.486
1633.635
1626.003
1574.300
1701.275
1617.479
1568.128
1589.947
1504.640
1518.076
1807.148
1627.546
1682.743
1614.980
1620.816
1624.404
1619.455
1472.956
1613.487
1643.199
1611.280
1577.529

561953.7
747370.8
639034.1
710013.3
519406.3
677461.2
655333
582387.5
560013.8
553954.5
467225.8
721130.3
581698.3
655976.2
541380.7
663103.7
687701.7
575207.9
617693.7
667636.6
732286.1
746144.3
655869.2

1675.514
1647.521
1665.252
1670.793
1655.916
1628.844
1615.549
1628.041
1611.977
1567.118
1613.467
1631.940
1611.230
1667.920
1632.931
1611.063
1607.379
1620.182
1673.011
1661.817
1644.763
1634.889
1630.646

696238
634735
707338.3
708044.8
705436.6
660341.3
639479.3
630232.4
619854.9
599882
661257.1
639138.8
646799.3
706670.5
671883.9
652510.8
584739.7
637740.3
747873.0
652657.7
641193.6
666600.0
668711.7

62
24
4.1052
25
4.1102
26
4.1152
27
4.1202
28
4.1252
29
4.1302
30
4.1352
31
4.1402
32
4.1452
33
4.1502
34
4.1552
35
4.1602
36
4.1652
37
4.1702
38
4.1752
39
4.1802
40
4.1852
LAMPIRAN D

399.551
399.601
399.651
399.701
399.751
399.801
399.851
399.901
399.951
400.001
400.051
400.101
400.151
400.201
400.251
400.301
400.351

1569.842
1527.429
1665.777
1681.202
1590.722
1623.402
1631.737
1694.375
1627.033
1720.99
1648.789
1671.025
1687.111
1474.283
1647.881
1635.947
1684.227

594942.2
774013.9
729283
595967.3
544787.4
605258.4
641060.3
661604.4
629887.2
726823.2
608686.7
726520.6
679290.2
547981.8
732988
645336.2
601005.5

PENDEKATAN NILAI R MENGGUNAKAN MATHLAB

1576.650
1616.952
1574.308
1619.321
1637.637
1639.202
1636.452
1592.372
1634.887
1650.312
1610.692
1639.850
1664.018
1625.877
1689.153
1614.837
1635.401

609514.2
586758.8
605132.5
641814.0
724124.5
644919.5
679906.1
600135.1
663015.0
639587.9
639705.1
615339.0
649804.7
666851.2
693847.5
637229.0
674738.2

63

58

DAFTAR PUSTAKA

[1]

Andrews, George E. et al. 1999. Encyclopedia of Mathematics and Its

Aplication. Cambridge University Press. UK
[2]

Brase, Henri & Pelilo. 2012. Understandable Statistics: Concepts and

Methods. Tenth Edition. Brooks/Cole: Boston
[3]

Dekking, F.M., et al. 2005. A Modern Introduction to Probability and

Statistics. Springer Verlag: USA
[4]

Evans, Michael J. & Rosenthal. 2010. Probability and Statistics. WH

Freeman: New York
[5]

Hayter,

Anthony.

2012.

Probability

and

Statistics.

4th

edition.

Brooks/Cole: Boston
[6]

Larsen, R.J & Marx, M.L. 2012. An Introduction to Mathematical

Statistics and Its Applications. Fifth Edition. Prentice Hall: Canada
[7]

Montgomery, D.C & Runger. 2014. Applied Statistics and Probability for

Engineers. 6th edition. John Wiley & Sons: New Jersey
[8]

Ramachandran, K.M., et al. Mathematical Statistics with Applications.

Academic Press: California.
Rice, John. A. 2007. Mathematical Statistics and Data Analysis. 3rd

[9]

Edition. Duxbury Press: Boston
[10] Spiegel,Murray R. et al. 2009. Mathematical Handbook of Formulas and
Tables. McGrawHill. USA
[11]

Stewart, James. 2012. Calculus. Seventh Edition. Cengage: Belmont, USA

[12] Salas, et al. 2007. Calculus. Tenth Editions. John Wiley & Sons: USA
[13] Ross, S.M. 2009. Introduction to Probability and Statistics for Engineers
and Scientists. Fourth Edition. Academic Press: Canada
[14]

Wackerly, D.D., et al. 2008. Mathematical Statistics with

Applications.Seventh Edition. Duxbury Press: Boston
[15]
Canada

Woodbury, George.2002. An Introduction to Statistics. Duxbury Press:

33

BAB III

PEMBAHASAN

Untuk dapat menyelesaikan estimasi parameter dengan dua metode yang akan
dibahas maka perhatikan kembali distribusi gamma dengan parameter � dan � ,
yaitu:

�� (�) =

��
� � −1 � −��
(� − 1)!

�� �−1 −��
atau �(�: �, �) =
� �
,� > 0
Γ(�)

3.1 Metode Moments Estimator (MMEs)
Misalkan �1 , �2 , … , �� adalah sampel acak distribusi probabilitas gamma dengan

parameter � dan λ. Di mana moment ke-� �� bersesuaian dengan parameter yang

akan

dicari.

�1 = �1
�2 = �2
� ⋮
�� = ��

Di mana persamaan simultan yang akan diselesaikan adalah sebagai berikut

34









1
� ��� (�, �1 , �2 , … , �� )�� = � � � ��

�=1


−∞


1
� � 2 �� (�, �1 , �2 , … , �� )�� = � � � �� 2


�=1
⎨ −∞






1
⎪ � � � �� (�, �1 , �2 , … , �� )�� = � � � � �

⎩ −∞
�=1

Prosedur melakukan estimasi menggunakan moment estimator adalah sebagai
berikut:
1. Momen Pertama
Momen pertama adalah ketika nilai � = 1, sehingga saat � = 1 maka momen

pertama adalah nilai ekspektasi sebagai berikut:
�1 = �1


� ��� (�; �, �)��
−∞



1
= � � � ��


3.1

�=1

Persamaan disisi sebelah kiri merupakan momen pertama populasi, diselesaikan
dengan


�1 = �(�) = � �

0 � � −λx
∞ � � −λx
λ � �
λ � �
λ� � � � −λx
�� = �
�� + �
��
Γ(�)
Γ(�)
Γ(�)
−∞
−∞
0

�1 = �



−∞

λ� � �−1 � −��
��
Γ(�)

Momen pertama adalah nilai ekspektasi distribusi gamma, maka:
�1 = �(�)


λ� � �−1 � −��
λ� � −��
�1 = � �
�� = �
� �
��
Γ(�)
0 Γ(�)
0


35
λ�

∞ λ�

Karena Γ(�) adalah konstanta maka ∫0

λ�
=
� � � � −�� ��
Γ(�) 0

=−

Γ(�)

� � � −�� �� menjadi


λ�
lim � � � �� −��
λΓ(�) �→∞ 0


λ�
� −�� �
=−
� lim �� � ]0 � − � lim � � � −1 � −�� ���
�→∞ 0
λΓ(�) �→∞


λ�
λ� �
� −�� �
=−
]0 � +
lim �� �
lim � � �−1 � −�� ��
λΓ(�) �→∞ 0
λΓ(�) �→∞



λ

λ� �−1 −��


=−
lim �� �−�� − 0 �−�0 � + lim �
� � ��
λ �→∞ 0 Γ(�)
λΓ(�) �→∞


λ� � −1 −��
λ�
� −�∞
� −�0
�∞ �
− 0 � � + lim �
� � ��
=−
λ �→∞ 0 Γ(�)
λΓ(�)


λ
� ∞ λ� �−1 −��
(0 − 0) + ��
�1 = −
� � ���
λ 0 Γ(�)
λΓ(�)

Berdasarkan kaidah peubah acak kontinu pada distribusi gamma, yaitu:




0

λ� �−1 −��
� � �� = 1
Γ(�)

�1 = −

� ∞ λ� �−1 −��
λ�
�∞� � −�∞ − 0� � 0 � + ��
� � �� = 1�
λ 0 Γ(�)
λΓ(�)

�1 = −
�1 =




λ�

(0 − 0) + (1)
λΓ(�)
λ

Dengan menyamakan hasil pengintegralan di sebelah kiri dan penjumlahan
disebelah kanan diperoleh momen pertama sebagai berikut:
�1 = �1

36




1
� ��(�)�� = � � � ��

−∞


1


= � � � �� = X

λ

�=1

�=1



1
= � � � �� atau �

λ
�=1



1
= λ � � � ��


3.2

�=1

2. Momen kedua
Momen kedua adalah ketika nilai � = 2, sehingga saat � = 2

maka momen

kedua adalah nilai ekspektasi sebagai berikut:
�(� 2 )

�2 = �2



= � � 2 �� (�; �, �)��
−∞

�2 = �(�

2)



1
= � � � ��2



�=1

λ� � �+1 � −��
��
=� �
Γ(�)
−∞
2


λ� � �−1 � −��
λ� � �−1 � −��
2
�2 = � �
�� + � �
��
Γ(�)
Γ(�)
−∞
0
0

�2 =

2


λ�
� � � +1 � −�� ��
Γ(�) 0


λ�
=−
lim � � � +1 � � −��
�Γ(�) �→∞ 0


λ�
�+1 −�� �
=−
lim �� � ]0 − � + 1 � � � � −�� � ��
�Γ(�) �→∞
0

3.3

37
=−


λ�
�+1

lim �� � +1 � −�� ]0 � +
lim � � � � � −��
�Γ(�) �→∞
� �→∞ 0

λ�
=−
� lim �� �+1 � −�� − 0�+1 � −�0 �
�Γ(�) �→∞


�+1
� −��
+
lim �� �
− � � � �−1 � −�� � ���
� �→∞
0

λ� (� + 1)
λ�

�+1 −�� �
= �−
� lim � � ]0 � − 2
� lim � � � −�� ]0 �
� Γ(�) �→∞
�Γ(�) �→∞

λ� �(� + 1)
+
lim � � � −1 � −�� � ��
2
�→∞
� Γ(�
0

=−

λ�
lim �� �+1 � −�� − 0�+1 � −�0 �
�Γ(�) �→∞

λ� (� + 1)
lim �� � � −�� − 0� � −�0 �
− 2
�→∞
� Γ(�)

+


λ� �(� + 1)
lim

� �−1 � −�� � �
�2 Γ(� �→∞ 0

λ� (� + 1) � −�∞
λ�
�+1 −�∞
�+1 0
�∞ �
−0 � �− 2
�∞ �
− 0� � 0 �
=−
� Γ(�)
�Γ(�)
+


(� + 1)�
λ� �−1 −��
lim

� � ��
�→∞ 0 Γ(�)
�2

λ� (� + 1)
λ�
(0 − 0) − 2
(0 − 0)
=
� Γ(�)
�Γ(�)
+

�2 =

(� + 1)� ∞ λ� �−1 −��

� � ��
�2
0 Γ(�)

(� + 1)� ∞ λ� �−1 −��
��
� � �� �
�2
0 Γ(�)

�2 = �(�

2)



= � � 2 �(�)��
−∞

38


λ� � �+1 � −��
��
Γ(�)
−∞

�2 = �



λ� � �+1 � −��
��
Γ(�)
−∞

�2 = �

=

(� + 1)�
�2

3.4

Dengan menyamakan hasil pada

persamaan (3.4) dengan momen sampel

diperoleh
�2 = �2



1
(� + 1)�
=

� � ��2
�2

�=1

Substitusikan (3.2) kepersamaan (3.4), diperoleh:



1
� � � ��2 =

�=1

λ
λ
��� � ∑��=1 �� � �� � ∑��=1 �� + 1��


λ2







�=1

�=1

�=1

λ2
λ
λ
� � � ��2 = ��� � � �� � �� � � �� + 1��







2



λ2
λ
λ 2
2
� � � �� = �� � �� �� � + � � � �� �



�=1



λ
� � � ��

�=1


λ�

�=1

�=1





�=1

�=1

2

λ2 �
λ2
= ��� 2 � � ��2 � − 2 �� �� � �






�=1

�=1

2

λ
λ2
� � � �� = � 2 �� �� ��2 � − �� �� � ��


�=1

∑��=1 ��

=�
1
�(∑��=1 ��2 ) − � (∑��=1 �� )2 ��

atau

3.5

39
λ�

=�


X

X2 �
�(1/�)(∑��=1 ��2 ) − �



3.6



3.7

Estimasi parameter untuk r


λ�
�̂ = � � � ��

�=1

�̂

=�

����


X2

X2 �
�(1/�)(∑��=1 ��2 ) − �

3. Momen ke-n

Momen ke-n maka momen ke-n adalah nilai ekspektasi sebagai berikut:
�� = ��



�� = �(� � ) = � � � �� (�; �, �)��
−∞



1
= � � � ���



3.8

�=1

λ� � �−1 � −��
�� = � �
��
Γ(�)
−∞


∞ � �−1+� −��
λ �

λ� � �−1+� � −��
�� + �
��
�� = �
Γ(�)
Γ(�)
−∞
0
0

�� = �

∞ � � +�−1 −��

0

�� =

λ �

Γ(�)



��


λ�
� � (�+�)−1 � −�� ��
Γ(�) 0

�� = −


1 λ�
lim � � (�+�)−1 �� −��
� Γ(�) �→∞ 0

40

=−

1 λ�
� lim � (�+�)−1 � −�� |�0
� Γ(�) �→∞



− ((� + �) − 1) lim � � (�+�)−2 � −�� ���
�→∞ 0

=

1 λ�
(� + �) − 1 (� +�)−2 −��
�−
��

� Γ(�)



− (� + � − 2) lim � � (�+�)−3 � −�� ����
�→∞ 0

1 λ� (� + �) − 1 (� + � − 2)
=
�−
��� (�+�)−3 � −�� �
� Γ(�)




− (� + � − 3) lim � � (�+�)−4 � −�� ����
�→∞ 0

1 λ� (� + �) − 1 (� + � − 2) (� + � − 3)
=
�−
��� (�+�)−4 � −�� �



� Γ(�)


− (� + � − 4) lim � � (�+�)−5 � −�� ����
�→∞ 0

=

1 λ� (� + �) − 1 (� + � − 2) (� + � − 3)
(� + �



� Γ(�)


− 4) lim �� � (�+�)−5 � −�� ���
�→∞

=



1 (� + �) − 1 (� + � − 2) (� + � − 3)
(� + �






λ� (� +�)−5 −��

� ���
− 4) lim ��
�→∞
0 Γ(�)

��
=

(� + �) − 1 (� + � − 2) (� + � − 3) (� + � − 4) ∞ λ� (�+�−4)−1 −��
��

� ���




0 Γ(�)

41
Atau
�� = �(� � )

=


λ�
� � (� +�)−1 � −�� ��
Γ(�) 0

3.9

Sederhanakan persamaan terakhir kedalam fungsi gamma sebagai berikut:
misalkan

� = ��, � =




1
��
= � → �� = ��

��
�� =


� (� +�)−1 −� 1
λ�
�� � �

� ��

Γ(�) 0 �

�� =


λ�−1
�(� +�)−1 −�
��
� ���
Γ(�) 0 (λ)(�+�)−1

�� =


λ�−1
(λ)−((�+�)−1) �� �(� +�)−1 � −� ���
Γ(�)
0

�� =


λ−�+�−�−1+1
�� �(�+�)−1 � −� ���
Γ(�)
0

�� =


λ−�
�� �(�+�)−1 � −� ���
Γ(�) 0

�� = �(� � ) =


1
��
�(�+�)−1 � −� ���
λ� Γ(�) 0


Berdasarkan definisi fungsi gamma Γ(�) = � � �−1 � −� �� = (� − 1)!
0

Moment

1

�� = �λ � Γ(�) [Γ(� + �)]�

3.10

ke-n

42
�(� � ) = �

1
[Γ(� + �)]�
λ� Γ(�)


1
= �� � � �


3.11

�=1

3.2 Metode Maximum Likelihood Estimator (MLE)

Prosedural penyelesaian dengan menggunakan maximum likelihood estimator
adalah sebagai berikut:
I. Prosedur Pertama
Misalkan �1 , �2 , … , �� adalah sampel acak berukuran n dari pdf kontinu,

�� (�: �, �), didefinisikan fungsi likelihood distribusi gamma sebagai berikut:
�(�: �, �)


= � �(�� ; �, �)

3.13

�=1

�(�: �, �) = �(�1 ; �, �). �(�2 ; �, �). �(�3 ; �, �) … �(�� ; �, �)

λ� ���−1 � −�� �
λ� �1�−1 � −�� 1 λ� �2�−1 � −�� 2 λ� �3�−1 � −�� 3
��
��
�…�
��
�(�: �, �) = ��
Γ(�)
Γ(�)
Γ(�)
Γ(�)

(λ� )�
(� �−1 . �2� −1 �3�−1 … ���−1 )(� −�� 1 � −�� 2 � −�� 3 … � −�� � )�
�(�: �, �) = �
(Γ(�))� 1
�(�: �, �)
=�

(λ� )�

�Γ(�)�





(�1. �2. �3 … �� )�−1 (� −� ∑�=1 � � )�

II. Prosedur kedua

Fungsi likelihood (3.14)diruas kanan dan di ruas kiri di logaritma, diperoleh:

43
(λ� )�

(�1. �2. �3 … �� )�−1 (� −� ∑�=1 � � )��
����(�: �, �)� = ��� �

(Γ(�))


����(�: �, �)� = ����(λ� )� (Γ(�))−� (�1. �2. �3 … �� )�−1 (� −� ∑�=1 � � )��


����(�: �, �)� = ����(λ� )� (Γ(�))−� (�1. �2. �3 … �� )�−1 (� −� ∑�=1 � � )��


����(�: �, �)� = ����(λ� )� +��(Γ(�))−� + ��(�1. �2. �3 … �� )�−1 (� −� ∑�=1 � � )��
����(�: �, �)� = �(��)��� − � ��Γ(�) + (� − 1)���1. �2. �3 … ��


+ −� � �� �

3.15

�=1

III. Prosedur ketiga
Jika � adalah sebuah fungsi dan � merupakan satu titik interior pada domain �.
Jika � memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di �, maka

� ′ (�) = 0 atau � ′ (�) tidak ada

2.6

Berdasarkan definisi di atas maka logaritma natural fungsi likelihood
didiferensialkan terhadap parameter � dan �.
����(�(�: �, �)�
�����(�: �, �)�
= 0 dan
=0
��
��

Differensialkan loglikelihood ��{�(�: �, �)} terhadap λ
����(�(�: �, �)�
��

=0

3.16

44
�((��)��� − � ��Γ(�) + ����1. �2. �3 … �� − ���1. �2. �3 … �� + −� ∑��=1 �� )
= �

��
�(��)��� �� ��Γ(�) �����1. �2. �3 … �� − ���1. �2. �3 … �� �� ∑��=1 ��
= �

+


��
��
��
��


��
− 0 + 0 − 0 + − � ��
=

�=1



��
=
− � ��

�=1

Turunan fungsi diruas kanan disamakan dengan nol.


��
− � �� = 0

�=1


��
= � ��




�=1


1
= � � � ��


3.17

�=1

Berdasarkan turunan dari (3.17) ekspektasi untuk penduga kemungkinan
maksimum adalah



1
E[�] = = � � � ��


�=1

Nilai ekspektasi dengan moments estimator dan maksimum likelihood adalah
sama.
Differensialkan ��{�(�: �, �)} terhadap r
�����(�: �, �)�
��
=0

3.18

45
=�
=�

��(��)��� − � ��Γ(�) + (� − 1)���1. �2. �3 … �� ± � ∑��=1 �� �

��

�((��)��� − � ��Γ(�) + ����1. �2. �3 … �� − ���1. �2. �3 … �� ± � ∑��=1 �� )

��

Γ ′ (�)
+ ���1. �2. �3 … �� − 0 + 0�
= �(�)��� − �
Γ(�)

= �(�)��� − �

Γ ′ (�)
+ ���1. �2. �3 … �� �
Γ(�)

= �(�)��� − �

Γ ′ (�)
Γ(�)

Γ ′ (�)
+ ���1 + ���2 + ���3 + ⋯ + ���� �
= �(�)��� − �
Γ(�)



+ � ln(�� ) �

3.19

�=1

Nilai untuk

Γ ′ (�)
adalah sebagai beriku
Γ(�)

Γ′(�)
1
1
1
1
1
1
1
= −� + ��1 − � + � −
�+� −
�+ … +� −

Γ(�)

2 �+1
3 �+2
� �+�−1
+⋯�


1
Γ ′ (�)
= −� + ��

Γ(�)
�=1 �

Substitusikan



1
��
�+�−1

Γ′(�)
Γ(�)

3.20
1

1

= −� + ∑∞
�=1 �� − �+�−1� ke pers (3.18) turunan fungsi

logaritma natural terhadap nilai �.




1
1
�� + � ln⁡
(�� )�
= �(�)��� − � �−� + �
� −
�+�−1
�=1 �
�=1

Turunan fungsi diruas kanan disamakan dengan nol.

46




1
1
�(�)��� − � �−� + �
� −
�� + � ln(�� )�
�+�−1
�=1 �
=0

3.21

�=1

Substitusi persamaan (3.18)



1
= � � � ��


atau
�̂ =

�=1

�̂

1
� � ∑��=1 ��


ke dalam persamaan (3.22)





1
1
�(�)�� �
� −
� + � ln(�� ) = � �−� + �
���
1 �


+


1
�=1
� � ∑�=1 ��
�=1




1
1
1
��� �
� + (ln �1 + ln �2 + ⋯ + ln �� ) = �−� + �
� −
���
�(�)

�+�−1
�=1 �

1
1
1
))
� −
���
���(�) − ln⁡�(�) + (ln(�1 �2 … �� = �−� + �
�+�−1

�=1 �
1

(�1 �2 … �� )�
���(�) + ln
�(�)

= �−� + �



1
1
� −
���


+


1
�=1

3.22

3.3 Aplikasi terhadap data berdistribusi gamma

Tabel 3.1 Paruh hidup pemakaian bola lampu (Jam)

336.87

1666.71

1397.96

2618.51

710.64

2199.44

1225.68

1548.48

47
979.54

1856.47

1835.55

753.24

1016.16

1908.94

3524.23

2690.52

2750.71

1196.42

914.41

361.68

2162.01

292.99

2422.53

1801.84

2159.18

2225.68

1385.36

Sumber: Probability & Statistics, Evans

Tabel 3.2 Perhitungan Paruh hidup pemakaian bola lampu (Jam)

No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

Data ke-i
(xi)
336.87
710.64
979.54
1016.16
2750.71
2162.01
2159.18
1666.71
2199.44
1856.47
1908.94
1196.42
292.99
2225.68
1397.96
1225.68
1835.55
3524.23
914.41
2422.53
1385.36
2618.51

�� − �

-1290.602222
-916.8322222
-647.9322222
-611.3122222
1123.237778
534.5377778
531.7077778
39.23777778
571.9677778
228.9977778
281.4677778
-431.0522222
-1334.482222
598.2077778
-229.5122222
-401.7922222
208.0777778
1896.757778
-713.0622222
795.0577778
-242.1122222
991.0377778

(�� − �)�

1665654.096
840581.3237
419816.1646
373702.633
1261663.105
285730.6359
282713.1609
1539.603205
327147.1388
52439.98223
79224.10993
185806.0183
1780842.801
357852.5454
52675.86015
161436.9898
43296.3616
3597690.068
508457.7328
632116.87
58618.32815
982155.877

(�� )�
113481.3969
505009.2096
959498.6116
1032581.146
7566405.504
4674287.24
4662058.272
2777922.224
4837536.314
3446480.861
3644051.924
1431420.816
85843.1401
4953651.462
1954292.162
1502291.462
3369243.803
12420197.09
836145.6481
5868651.601
1919222.33
6856594.62

��(�� )

5.819697099
6.566165972
6.887083074
6.923786096
7.919614339
7.678793624
7.677483799
7.418606902
7.695958061
7.526432114
7.554303393
7.087089043
5.680138479
7.707817766
7.24276931
7.111251071
7.515099443
8.167417252
6.818279049
7.792567728
7.233715313
7.870360733

48
23
24
25
26
27

1548.48
753.24
2690.52
361.68
1801.84

SU
M

43941.75

-78.99222222
-874.2322222
1063.047778
-1265.792222
174.3677778

6239.771172
764281.9784
1130070.578
1602229.95
30404.12193

2397790.31
567370.4976
7238897.87
130812.4224
3246627.386

7.345029084
6.624383902
7.897489762
5.890759843
7.496563644

0

17484387.81

88998365.33

195.1486559

3.3.1 Aplikasi Estimasi Moments
Berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh parameter yang diestimasi pada data paruh
waktu, perhitungan data tabel 3.2. di mana jumlah sampel yang diambil adalah
� = 27

Estimasi untuk nilai λ sebagai berikut:
λ� =

∑��=1 ��

1
�(∑��=1 ��2 ) − (∑��=1 �� )2 �


λ� =
λ� =
λ� =
λ� =
λ� =

atau λ� =

X2 �
�(1/�)(∑��=1 ��2 ) − �

∑��=1 ��

1
�(∑��=1 ��2 ) − (∑��=1 �� )2 �


43941.75
1
�88998365.33 − (43941.75)2 �
27

43941.75
1
�88998365.33 − 1930877393�
27

43941.75
(88998365.33 − 71513978.52)
43941.75
(17484387.81)

λ� = 0.002513199


X

49
Estimasi untuk nilai �


λ�
�̂ = � � � ��

�=1

�̂ =

�2
X

X2 �
�(1/�)(∑��=1 ��2 ) − �


λ�
�̂ = � � � ��

�=1

0.002513199
�̂ = �
� (43941.75)
27
�̂ = 4.090161938



1
E[X] = = � � � ��
λ

�=1

Dengan menyesuaikan nilai E[X] dengan data diperoleh:


1
E[X] = � � � ��

�=1

=

(336.87 + 710.64 + 1016.16 + ⋯ + 2690.52 + 361.68 + 1801.84)
27
E[X] = 1627.472

atau

λ
4.090161938
E[X] =
0.002513199

E[X] =

E[X] = 1627.472

n

n

i=1

i=1

1
1
Var[X] = � � � xi2 − �� � � xi �
n
n

2

50

Var[X] =

n ∑ni=1 xi2 − {∑ni=1 xi }2
n2

Var[X] =

27(88998365.33) − {43941.75}2
272

2402955863.91 − 1930877393.0625
729
472078470.8
Var[X] =
729
Var[X] =

Var[X] = 647569.9189

3.3.2 Aplikasi Estimasi Maksimum Likelihood

Hasil maksimum akan diperoleh apabila memenuhi kaidah berikut:

Didapatkan

����(�(�: �, �)�
=0
��

∑��=1 ��

= �(�) = �
X=


� (�1 + �2 + �3 + ⋯ + �46 + �47 + �48 + �49 + �50 )
=

50


(336.87 + 710.64 + 1016.16 + ⋯ + 2690.52 + 361.68 + 1801.84)
=
27
� 43941.75
=
27


= 1627.472 atau � = 1627.472�


E[X] = = 1627.472


51


Akan dicari � dengan mensubstitusi � = 1627 .472 kedalam persamaan berikut:






1
1
(�)�� �
� − � �� + �
� −
�� + � ln(�� ) = 0
1 �


+


1
�=1

� � �=1 ��
�=1

� = 27


1
1

(27)�� �
� − 27 �−0.55772156649 + �
� −
��
�+�−1
1627.472
�=1 �


+ � ln(�� ) = 0
�=1

27

1
1
(27)�� �
� − 27 �−0.55772156649 + �
� −
��
1627.472
�+�−1
�=1 �


+ � ln(�� ) = 0
�=1

(27){ln(�) − ��(1627.472)}

− 27 �−0.55772156649 + �


+ � ln(�� ) = 0

27

1
1
��
� −
�+�−1
�=1 �

�=1

(27)(ln(�) − 7.394783) − 27 �−0.55772156649 + �
+ 195.1486559 = 0

(ln(�) − 7.394783) − �−0.55772156649 + �
+ 7.227729 = 0

ln(�) − 7.934783 + 0.55772156649 − �
=0

ln(�) − �

27

1
1
� −
��
�+�−1
�=1 �

27

1
1
��
� −
�+�−1
�=1 �

27

1
1
� + 7.22772996
� −
�+�−1
�=1 �

27

1
1
� = 0.149331474
� −
�+�−1
�=1 �

1
1
1
1
1
1
1
�+� −
� + ⋯+ � −
��
ln(�) − ��1 − � + � −
2 �+1
3 �+2
27 � + 26

= 0.149331474

52
Nilai � dapat di dekati dengan melakukan taksiran dengan interpolasi linear

diperoleh ,

� = 3.860568854
� 43941.75
=

27

�=

3.8605�27
43941.75

� = 0.00237

Var(X) = E[X 2 ] − E[X]2

(� + 1)�
� 2



�2


Var(X) = 2

3.860568854
Var(X) =
0.002372
Var(X) =

Var(X) = 687313.0827

53
Plot distribusi gamma dengan � = 4.0901 dan � = 0.0025 di R
. � < − ���(0.001, 0.035, �����ℎ. ��� = 100)

plot(. �, dgamma(. x, shape = 4.0901, scale = 0.0025), xlab = "�", ylab
= "Density",

main = "Gamma Distribution: shape = 4.0901, scale
= 0.0025", type = "l")
abline(h = 0, col = "gray")
remove(. �)

Gambar 3.1

54
Plot distribusi gamma dengan � = 3.86 dan � = 0.00237 di R
. � < − ���(0.001,

0.032,

length. out = 100)

plot(. �, dgamma(. �, shape = 3.86, scale = 0.00237), xlab = "x", ylab
= Density,

main = "Gamma Distribution: shape = 3.86, scale = 0.0023", type
= "l")
abline(h = 0, col = "gray")
remove(. �)

Gambar 3.2

55
3.4 Simulasi Data

Dengan menggunakan bantuan program R, akan dilakukan data bangkitan secara
acak dengan algoritma sebagai berikut:
#generate gamma r. v
�=⋯
alpha = ⋯
beta = ⋯
� = rgamma(n, shape = alpha, scale = beta)

��

Karena: �� (�) = (�−1)! � � −1 � −�

, � > 0, sehingga harus dilakukan transformasi
1

yaitu � = � (alpha) dan nilai λ = � (���� )

Untuk mendapatkan nilai ekspektasi dan nilai varians pada program R, dilakukan
simulasi dengan modifikasi parameter � dan λ, di mana data dibangkitkan
�1 = 100 kali dan �2 = 1000 kali. Dengan ketentuan sebagai berikut:

SIMULASI PERTAMA

nilai �� ditentukan konstan

nilai λk = λk−1 + 0.005 untuk perulangan berikutnya

dimana

hasil simulasi data pada lampiran A
SIMULASI KEDUA
nilai �� = ��−1 + 0.005

nilai λk ditentukan konstan

di mana

simulasi data pada lampiran B
SIMULASI KETIGA
nilai �� = ��−1 + 0.005

nilai λk dλk−1 + 0.005

di mana

simulasi data pada lampiran C
BAB IV

56

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa:
1. Estimasi parameter distribusi gamma dengan parameter � dan � tidak diketahui

sehingga parameter tersebut diestimasi dengan menggunakan dua metode yaitu
metode Estimasi Momen dan Maksimum Likelihood yang langkah-langkahnya

tertera pada pembahasan sebelumnya. Dari hasil perhitungan diperoleh hasil
estimasi untuk parameter � dan �. Sehingga didapatkan untuk distribsusi gamma

�[�] adalah






dan �[�] adalah


yang bagi � dan � 2 .



�2

�̂

��

. Oleh sebab itu , � dan 2 adalah penduga
��

��

2. Hasil yang diestimasikan pada lightbulb adalah sebagai berikut:

Moments Estimator

Maximum Likelihood Estimator

4.090161938

3.860568854

0.002513199

0.00237

Parameter �

Parameter �
Persamaan

�� (�) =

0.0025134.09

Γ(4.09)

� 3.09 � −�

Ekspektasi
E(X)

0.002373.86 2.86 −�
�� (�) =
� �
Γ(3.86)

1627.475

1627.475

647569.9189

687313.0827

Varians
V(X)

Perbedaan varians pada kedua estimasi tersebut adanya perbedaan antara nilai
parameter � dan λ pada kedua metode estimasi tersebut.

57
3.

Pada aplikasi program R, data yang telah dibangkitkan untuk nilai � dan �

yang telah dimodifikasi sebelumnya di mana � dan � di buat sedemikian dekat

dengan nilai � dan � yang telah diestimasi pada sebelumnya. Hasilnya diperoleh

ekspektasi dan varians yang nilai dekat terhadap nilai ekspektasi dan varians data
yang di estimasi.

4.2 Saran

Estimasi pada tulisan ini masih terbatas pada data yang berdistribusi
gamma, dengan menggunakan estimasi Momen dan Maksimum Likelihood. Bagi
pembaca

yang

membandingkan

ingin

melakukan

metode

dengan

penelitian

penulis

membangkitkan

data

menyarankan
simulasi

agar

dengan

menggunakan algoritma program R.
Disamping itu, penulis juga menyarankan untuk meggunakan distribusi
gamma dengan menerapkannya kedalam aplikasi kehidupan nyata, misalnya
paruh hidup sel tumor, jangka waktu keberhasilan penggunaan obat pada
penderita tumor dan terapan medis.

9

Gambar 1.1

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas Dasar

Andrei Kolgomorov (1903-1987) meletakkan landasan matematis teori
peobabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori
probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara.
Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik
dan dinamika nonlinear.
Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika
deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi
peluang permainan, pada pengambilan kartu dari satu set kartu atau permainan
dadu. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de
Fermat dalam menentukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi
tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad ke-

10
18, ketika Pierre de Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar
probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.
Beberapa definisi dan aksioma yang akan digunakan dalam hal ini
berkaitan dengan peristiwa dan probabilitas acak.
Definisi 2.1
Eksperimen adalah suatu proses yang hasil dari keluarannya tidak diketahui secara
pasti di mana eksperimen tersebut diasumsikan dapat di ulang dalam suatu waktu
dan dibawah kondisi yang identik. Setiap pengulangan disebut sebagai repetisi.
Eksperimen acak memenuhi tiga keadaan berikut:

a) Himpunan seluruh keluaran tidak diketahui pasti dalam tiap percobaan.
b) Dalam kedaan khusus, tidak diketahui keluaran mana yang akan terjadi.
c) Eksperimen dapat diulang dengan keadaan yang mirip.

2.2 Peubah Acak
Suatu eksperimen memuat sejumlah karakteristik yang terukur. Tetapi peneliti
pada umumnya berkonsentrasi pada beberapa karakteristik tertentu pada suatu
eksperimen. Apakah pada nilai karakteristik di sekitar pusat data atau pada
penyebaran data. Pengelompokan keluaran suatu eksperimen diwakili oleh
bilangan sederhana bertujuan untuk memudahkan deskripsi. Deskripsi tersebut
diperlukan, tetapi di lain kasus hal itu berguna untuk menyatakan suatu bilangan
sebagai perwakilan suatu keluaran di ruang sample.
Definisi 2.2
Peubah acak adalah seluruh nilai bernilai riil yang tiap-tiap nilainya diasosiasikan
dengan keluaran dari suatu eksperimen acak.

2.2.1 Peubah Acak Diskrit

Definisi 2.3

11
Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak � adalah suatu

himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa, �1 , �2 , �3 , … , �� atau

�1 ,

�2 , �3 , … sehingga X disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak

diskrit �, didefinisikan fungsi massa peluang �� (�) sebagai:

�� (�) = �(� =
�)

2.

Fungsi massa peluang �(�) bernilai positif , untuk sejumlah nilai � tercacah.

Dengan kata lain, jika � mengambil salah satu dari nilai�1 , �2 , … maka peubah

acak diskrit X dengan nilai yang mungkin �1 , �2 , �3 , … , �� fungsi massa peluang
adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:
1). �(�� ) ≥ 0, � = 1,2, …


2). � �(�� ) = 1
�=1

3). �(�� ) = �(� = �� )

2.2.2 Peubah Acak Kontinu

Definisi 2.5
Suatu peubah acak � berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi � taknegatif,

terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil
(berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yang berada pada interval

tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh,
keadaan yang menggambarkan definisi diatas, dengan batas dalam interval
tertutup [�, �].



�(� ≤ � ≤ �) = ∫� �(�)��

Berimplikasi pada:

12


�(� ≥ �) = ∫� �(�) dan


∫−∞ �(�)��

�(� ≤ �) =

2.2

Berdasarkan karakteristik f distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang
sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah
acak

kontinu.

Fungsi

kepadatan

peluang



dapat

digunakan

untuk

menggambarkan distribusi probabibilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval
memuat kemiripan nilai X, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan
�(�). Memenuhi ketiga kaidah berikut:
1). �(�) ≥ 0


2). � �(�) �� = 1
−∞



3). �(� ≤ � ≤ �) = � �(�) ��


Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak � dalam bentuk

kurva. Ketika � merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang

digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut distribusi probablitas �.

Jika � adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai �1 , �2 , … maka daftar

distribusi probabilitas berkaitan dengan � = �1 , � = �2 , …. Jumlah seluruh
probabilitas selalu sama dengan 1.

Ingat bahwa � merupakan variabel acak, sedangkan � merupakan nilai spesifik
dari variabel acak �. Berakibat jika � = 2 maka probabilitas �(� = �) berarti

�(� = 2), probabilitas bahwa � adalah 2. Hal yang sama jika � merupakan
peubah acak maka �(� = �) probabilitas � dengan nilai khusus �.
2.3 Ekspektasi dan Varians
2.3.1 Ekspektasi

13
Dalam suatu pengukuran eksperimen, hasil pengukuran eksperimen
seringkali

menghasilkan

variasi.

Ukuran-ukuran

yang

menggambarkan

karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara
sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih
dikenal dengan mean. Secara matematis dinyatakan oleh formula berikut:
1). Peubah acak diskrit
�� = �[�]


= � �� �(�� )

2.3

�=1

2). Peubah acak kontinu
�� = �[�]


= � ��(�)��

2.4

−∞

Sifat-sifat nilai ekspektasi
�[�] = �

1.

�[�� + �] = ��[�] + �

2.

�[�1 + ⋯ + �� ] = �[�1 ] + ⋯ + �[�� ]

3.

�[�(�, �) ± h(�, �)] = �[�(�, �)] ± E[h(�, �)]

4.

�[�(�) ± h(�)] = �[�(�)] ± E[h(�)]

5.
6.
Bukti sifat 1.

�(�. �) = �(�) E(�)

Pada peubah acak kontinu berlaku;


�[�] = � ��(�)��
−∞

Sustitusi
berlaku

�[�] = �



� = � maka �[�] = ∫−∞ ��(�)�� , karena b merupakan konstanta


�[�] = � � �(�)��
−∞

14


� �(�)�� = 1

−∞

�[�] = �
Bukti sifat 5.

�[�(�) ± h(�)] = �[�(�)] ± E[h(�)]


�[�] = � ��(�)��
−∞

Substitusi Y = �(�) ± h(�)




−∞

−∞

�[�] = � ��(�)�� = � [ �(�) ± h(�)]�(�)��
Berlaku





−∞

−∞

�[�] = � �[�]�(�)�� ± � ℎ[�]�(�)��




�[�(�) ± h(�)] = � �[�]�(�)�� ± � ℎ[�]�(�)��
−∞

−∞

�[�(�) ± h(�)] = �[�(�)] ± �[ℎ(�)]

2.3.2 Varians.
Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman
mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas
sampel yang berhubungan dengan populasi dinyatakan didefinisikan oleh
Var[X] = �[(� − �)2 ], secara jelas diperlihatkan oleh:

1). Variabel acak diskrit


2





= Var[X] = � (�
�=10

− �)2 �(�� )

2). Variabel acak kontinu

2.5

15


� 2 � = Var[X] = �(�
−∞

− �)2 �(�)��

2.6

Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut
Var[X] = �[(� − �)2 ]


Var[X] = � (� − �)2 �(�)��
−∞



= � (� 2 − 2�� + � 2 )�(�)��
−∞







−∞

−∞

−∞

= � � 2 �(�)�� − 2� � ��(�)�� + � 2 � �(�)��
Var[X] = �[� 2 ] − 2��[�] + � 2

Karena � = �[X] maka diperoleh:
Var[X] =

�[� 2 ] − (�[X])2

Sifat-sifat varians:
1.

Var[c] = 0

2.

Var[�X] = � 2 Var[X]

3.

Var[X + c] = Var[X]

4.

Var[X1 + ⋯ + X� ] = Var[X1 ] + ⋯ + Var[X� ]

2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus
Definisi 2.4

2.7

16
Jika � adalah sebuah fungsi dan � merupakan satu titik interior pada domain �.
Jika � memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di �, maka
� ′ (�) = 0 atau � ′ (�) tidak ada
2.8

Teknik pengintegralan parsial

[�(�)�(�)]
��

= �(�)�′ (�)

+ �(�)� ′ (�)

2.9

Misalkan
� = �(�) dan � = �(�)

�� = � ′ (�) dan �� = �′ (�)��

Persamaan 2.9 menjadi

[��]
��

= �′ �
+ �� ′

Perhatikan persamaan (2.9) untuk memperoleh formula integral parsial, ruas kiri
dan kanan dilakukan pengintegralan, sehingga diperoleh:



[�(�)�(�)] = � �(�)�′ (�)�� + � �(�)� ′ (�)��
��

� � ′ (�)�(�)�� + � �(�)� ′ (�)�� = �(�)�(�)

� �(�)�′ (�)�� = �(�)�(�)

− � �(�)� ′ (�)��

17
� � ��

= �� − � � ��

2.10

Definisi improper integral tipe-I


(a) Jika ∫� �(�)�� ada untuk setiap bilangan � ≥ �, maka;


� �(�)��




= lim � �(�)��
�→∞ �

Menyatakan bahwa limit tersebut eksis.


(b) Jika ∫� �(�)�� eksis untuk setiap bilangan � ≤ �, maka


� �(�)��
−∞



= lim � �(�)��
�→−∞ �

Menyatakan limit tersebut eksis




Improper integral ∫� �(�)�� dan ∫−∞ �(�)�� dikatakan konvergen jika limit

yang dikaitkan ada dan divergen jika limitnya tidak ada.




(c) Jika ∫� �(�)�� dan ∫−∞ �(�)�� konvergen, maka didefinisikan:




� �(�)�� = � �(�)��
−∞

−∞



+ � �(�)��


2.4.1 Distribusi dan Fungsi Gamma
Andaikan suatu peristiwa Poisson terjadi dengan konstanta rate � per unit waktu.

Misalkan variabel acak X menyatakann sebagai waktu tunggu kejadian ke − �.
Maka X memiliki pdf �� (�), di mana
��

�� (�) = (�−1)! � �−1 � −�

�>0
Bukti

,

2.10

18
Pembuktian formula untuk �� (�) dilakukan dengan mendifferensialkan fungsi
kumulatif, �� (�). Misalkan � sebagai waktu tunggu peristiwa ke-r. Maka,
�� (�) = �(� ≤ �) = 1 − �(� > �)
�� (�)

= 1 − (sedikitnya ada � kejadian terjadi pada interval [0, �])

=1

�−1

− � � −(�� )
�=0

(��)�
�!

2.11

Untuk memperoleh fungsi padat peluannya maka fungsi kumulatif pada kejadian
yang berlangsung dalam interval [0, x] adalah variabel acak Poisson dengan
parameter λx, diturunkan terhadap x, diperoleh fungsi padat peluang sebagai
berikut
�� (�) = � ′ � (�)

=


�1
��

�−1

− � � −��
�=0

(��)�

�!

2.12

Berdasarkan aturan differensial dari perkalian dua buah fungsi pada persamaan
(2.9), misalkan � = � −�� , � =
�−1

�� (�) = ��� �� −��
�=0

�−1

= � ���
�=0

−��

� −2

�−1

�=0

�−1

(��)�
(��)�−1
� − � ��� −��

�!
(� − 1)!
�=1

�−2

(��)�
(��)�−1
(��)�
�� − �� �� −��
� + ��� −��
��
(� − 1)!
�!
�!

�−2
= ���∑�=0
�� −��

= ��� −��

�!

(��)�
(��)�−1
−��
� − �� ��
��
�!
(� − 1)!

= ���� �� −��
�=0

(�� )�

(�� )�

(��)�−1

(� − 1)!

�!

� + ��� −��

(�� )�−1

�=0

�−2
�� − �∑�=0
�� −��
(� −1)!

(�� )�
�!

��

19
=

�� −�� (�)�−1 (�)�−1
(� − 1)!

(�)�−1+1 (�)�−1 � −��
=
(� − 1)!

��
�� (�) =
� � −1 � −��
(� − 1)!

,� > 0

Definisi 2.5
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, peubah acak X dikatakan sebagai fungsi
gamma pdf dengan parameter r dan λ jika:
��
�� (�) =
� � −1 � −��
(� − 1)!
Fungsi Gamma

�� �−1 −��
, � > 0 atau �(�: �, �) =
� �
,� > 0
Γ(�)

Γ(�)



= � � �−1 � −� ��

2.13

0

Beberapa pembuktian fungsi gamma untuk membantu penurunan rumus dalam
1

1

distribusi gamma. Mula-mula akan dicari nilai dari Γ �2�, substitusi nilai � = 2
ke pers. (2.13)



1
1
Γ � � = � � 2−1 � −� ��
2
0

1
Γ� �
2



1

= lim � � −2 � −� ��
�→∞

2.14

0

Fungsi diatas dijadikan kedalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan
sebagai berikut:
��

Substitusi � = �2 → �� = 2� ke persamaan (2.14)


1
1
2 1
Γ � � = lim �(�2 )−2 � −� ���
�→∞
2
2
0

20




1
1
2 1
2
Γ � � = lim � �−1 � −� ��� = lim � � −� ��
�→∞
2
2
2 �→∞
0



� =��
2

0

−� 2

� =�

0

�� � �
0



2�

2

0



� �
0

−� 2



−� 2





�� = � �� � −�
0

2�

����� = �

0

0



2 −� 2

��� ��

�� � � −� 2��� = 4π
2

0



1
1
1
2 1
2
Γ � � = lim � �−1 � −� ��� = lim � � −� �� = �2√��
�→∞
2
2
2 �→∞
2
0

0

1

Dihasilkan Γ �2� = √�

Substitusi � = 1 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(1) = � �1−1 � −� ��
0



= � � −� ��
0



= lim � � −� ��
�→∞

0

= lim �−� −� |�0 � = lim {(−� −� ) − (−� −0 )}
�→∞

=−

1
+ �0
�∞

�→∞

=0+1

=1
Dihasilkan Γ(1) = 1
Substitusi � = 2 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(2) = � � 2−1 � −� ��
0

21


Γ (2) = � �� −� ��
0



= lim � �� −� ��
�→∞

0

= lim − ��
�→∞

−�



+ lim � � −� ��
�→∞

0



= lim �−�� −� |�0 � + lim � � −� ��
�→∞

�→∞



0

= lim � � −� �� = 1
�→∞

0



Γ(2) = (−∞� −∞ + 0� 0 ) + lim � � −� �� = (0 + 0) + 1
�→∞



0

Γ(2 ) = � �� −� ��
0



Diperoleh nilai Γ(2) = � �� −� �� = 1
0

Substitusi � = 3 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(3) = � � 3−1 � −� ��
0



Γ(3) = lim � � 2 � −� ��
�→∞

0



= − lim � � 2 �� −�
�→∞

0

2 −�

= − lim � �
�→∞



+ 2 lim � �� −� ��
�→∞

0

22

Γ(3) =

− lim �� 2 � −� |�0 �
�→∞



+ lim � �� −� ��
�→∞

0



Γ(3) = −{(∞2 � −∞ ) − (02 � −0 )} + 2 lim � �� −� ��
�→∞



0

Γ(3) = (0 + 0) + 2 lim � �� −� ��

Γ(2) =


∫0

�→∞

0

�� −� �� = 1 maka



Γ(3) = 2 � �� −� ��
0

Γ(3) = 2Γ(2)
Γ(3) = 2



Diperoleh Γ(3) = � � 3−1 � −� �� = 2
0

Substitusi � = 4 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(4) = � � 4−1 � −� ��
0



Γ(4) = lim � � 3 � −� ��
�→∞

0





Γ(4) = lim � � 3 � −� �� = − lim � � 3 �� −�
�→∞

0

�→∞

0



= − lim � 3 � −� |�0 + 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

=

−lim� 3 � −� |�0
�→∞

�→∞

0



+ 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

0



= lim (−� 3 � −� + 03 � −0 ) + 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

�→∞

0

23
3 −∞

= −∞ �

Dokumen yang terkait

Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

28 121 76

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL MENGGUNAKAN METOGE GENERALIZED MOMEN

9 40 36

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA (α, β, θ) DENGAN MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED MOMENT

12 68 45

Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Eksponensial dengan Menggunakan Metode Generalized Momen

5 21 48

Perbandingan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

4 16 154

Cover Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

0 0 11

Chapter I Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

1 2 8

Chapter II Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

0 0 24

Reference Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

0 0 1

Appendix Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

0 0 5