http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 5 IDEAL
A. Pengertian Ideal
Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut
ideal
.
Definisi 1:
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan I , I disebut
Ideal kiri
dari R jika : i.
x, y I berlaku x – y I ii.
r Rx I berlaku rx I
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan I, I disebut
Ideal kanan
dari R jika : 1.
x, y I berlaku x – y I 2.
r Rx I berlaku xr I Misalkan R adalah suatu ring dan I
R dengan I , I disebut
Ideal
dari R jika : 1.
x, y I berlaku x – y I 2.
r Rx I berlaku rx, xr I Note :
1. Syarat ke ii. bahwa rx, xr I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx = xr.
2. Ideal pasti merupakan subring tetapi tidak sebaliknya
Contoh : 1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian
biasa merupakan ring.
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Jika m tak nol suatu bilangan bulat , maka M = {mz | z bilangan bulat} merupakan ideal dari Z, sebab jelas bahwa M
Z, M dan i.
x, y M, berarti x = ma, y = mb untuk suatu a, b Z dan a – b Z, sehingga x – y = ma – mb = ma – b
M ii.
r Z, x M, rx = rma = mra M karena ra Z.
2. Z
12
= {0, 1, 2, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12 maka dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan bagian dari Z
12
berikut merupakan ideal darinya:
P = { 0, 6 } Q = { 0, 4, 8 }
R = { 0, 3, 6, 9 } S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }
Coba buktikan yaaa
1. M
2
Q = adalah ring terhadap penjumlahan dan pergandaan
matriks.
N = adalah bukan ideal dari M
2
Q, karena : syarat ii. Tidak dipenuhi,
A = M
2
Q dan B =
N
AB = =
N Mahasiswa diharap mencoba mencari contoh-contoh subring yang merupakan ideal dan
subring yang bukan merupakan ideal.
Q d
c b
a d
c b
a
, ,
,
Q b
a b
a
,
3 1
1 2
1 2
1
3 1
1 2
1 2
1
3 2
1 1
1
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa membuktikan secara formal ideal yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain
tentang ideal disertai buktinya.
TUGAS MANDIRI: KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI :
1. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan
bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Didefinisikan U =
dan V = maka selidikilah U dan V
masing-masing merupakan ideal kiri, ideal kanan, ideal atau tidak 2.
Jika M dan N masing-masing adalah ideal dari ring R maka tunjukkanlah a.
M N juga ideal dari R
b. M + N = {a + b | a
M dan b N } ideal dari R 3.
Diberikan R adalah ring komutatif dengan a, b R maka tunjukkan bahwa S = {ax + by | x,y
R } ideal dari R
Z b
a b
a
,
Z b
a b
a
,
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 6 RING FAKTOR