IDEAL Makalah STRUKTUR ALJABAR

http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR

BAB 5 IDEAL

A. Pengertian Ideal

Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal . Definisi 1: Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I  , I disebut Ideal kiri dari R jika : i. x, y  I berlaku x – y  I ii. r  Rx  I berlaku rx  I Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan I, I disebut Ideal kanan dari R jika : 1. x, y  I berlaku x – y  I 2. r  Rx  I berlaku xr  I Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I , I disebut Ideal dari R jika : 1. x, y  I berlaku x – y  I 2. r  Rx  I berlaku rx, xr  I Note : 1. Syarat ke ii. bahwa rx, xr  I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx = xr. 2. Ideal pasti merupakan subring tetapi tidak sebaliknya Contoh : 1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring. http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR Jika m tak nol suatu bilangan bulat , maka M = {mz | z bilangan bulat} merupakan ideal dari Z, sebab jelas bahwa M  Z, M   dan i. x, y  M, berarti x = ma, y = mb untuk suatu a, b  Z dan a – b Z, sehingga x – y = ma – mb = ma – b  M ii. r  Z, x M, rx = rma = mra  M karena ra  Z. 2. Z 12 = {0, 1, 2, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12 maka dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan bagian dari Z 12 berikut merupakan ideal darinya: P = { 0, 6 } Q = { 0, 4, 8 } R = { 0, 3, 6, 9 } S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } Coba buktikan yaaa 1. M 2 Q = adalah ring terhadap penjumlahan dan pergandaan matriks. N = adalah bukan ideal dari M 2 Q, karena : syarat ii. Tidak dipenuhi, A =  M 2 Q dan B =  N AB = = N Mahasiswa diharap mencoba mencari contoh-contoh subring yang merupakan ideal dan subring yang bukan merupakan ideal.            Q d c b a d c b a , , ,            Q b a b a ,      3 1 1 2     1 2 1      3 1 1 2     1 2 1      3 2 1 1 1 http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa membuktikan secara formal ideal yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain tentang ideal disertai buktinya. TUGAS MANDIRI: KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI : 1. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Didefinisikan U = dan V = maka selidikilah U dan V masing-masing merupakan ideal kiri, ideal kanan, ideal atau tidak 2. Jika M dan N masing-masing adalah ideal dari ring R maka tunjukkanlah a. M  N juga ideal dari R b. M + N = {a + b | a M dan b  N } ideal dari R 3. Diberikan R adalah ring komutatif dengan a, b  R maka tunjukkan bahwa S = {ax + by | x,y  R } ideal dari R            Z b a b a ,            Z b a b a , http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR

BAB 6 RING FAKTOR