BAB I PENGERTIAN RING - Struktur Aljabar II | Mathematic's Blog

BAB I PENGERTIAN RING INGAT KEMBALI :

  1. Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan semigrup, jika memenuhi :

  a b ,

  G, * a b G   

  a. Tertutup, yakni  a b c , , 

  G, a b c a b c * *  * *

     

  b. Assosiatif, yakni

  2. Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan grup, jika memenuhi :

  a b ,

  G, * a b G   

  a. Tertutup, yakni  a b c , , 

  G, a b c a b c * *  * *

     

  b. Assosiatif, yakni

  e * G , a

  G, * a e e a a      

  c. Terdapat elemen identitas, yakni Untuk selanjutnya e dinamakan elemen identitas pada G terhadap operasi _

  1  1 

  1 a G , a

  G, * a a a a e *      

  d. Setiap elemen punya invers, yakni

• 1 Untuk selanjutnya a dinamakan invers dari a.

  Suatu grup (G,*) dinamakan grup komutatif (abelian), jika operasi * bersifat

  a b * ,

  G, * a b b a   

  komutatif , yakni Definisi : ( RING ) Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah

   

  operasi yakni (operasi penjumlahan) dan (operasi pergandaan), selanjutnya

   

  dilambangkan dengan (R,  ,  ). Struktur ( R, , ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :

  

  a. ( R, ) grup abelian

1 R , R, a a a a a a e

  ^{  }        

  i. Tertutup, yakni

  , R, R a b a b    

  ii. Assosiatif, yakni

     

  , , R, a b c a b c a b c        iii. Terdapat elemen identitas, yakni

  R , R, e a a e e a a        

  Untuk selanjutnya e dinamakan elemen netral (nol) . iv. Setiap elemen punya invers, yakni

  1

  1

• 1 dinamakan invers dari a.

  Untuk selanjutnya a

  c. Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni : Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi pergandaan disini BUKAN BERARTI operasi penjumlahan dan pergandaan biasa. Contoh : 1. Z = Himpunan semua bilangan bulat.

  …(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)

      a b c a b c     

  a. Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian i. …(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat) ii. ,

  (Z, + ,  ) merupakan ring. Bukti :

   adalah operasi pergandaan biasa.

  Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut :

  , , R, a b c a b c a b c       

  v. Komutatif , yakni

     

  ii. Assosiatif, yakni

  , R, R a b a b    

  ) semigrup i. Tertutup, yakni

  

  , R, a b a b b a     

  b. ( R,

• adalah operasi penjumlahan biasa

   adalah operasi pergandaan matriks

  ), (R, + ,

  pada M seperti berikut :

  

  1. Diketahui M = Didefinisikan operasi + dan

  ( Tunjukkan aksioma apa yang tidak terpenuhi !!! ) LATIHAN SOAL

  3. N = Himpunan semua bilangan asli Untuk operasi + dan  seperti pada nomor 1, maka ( N, + ,  ) bukan ring.

  ) masing-masing merupakan ring. ( Coba tunjukkan buktinya yaa !!! )

  

  ), (C,

  

  

  iii. , berlaku     0 0 a a a

  seperti pada nomor 1, maka (Q, + ,

  

  Untuk operasi + dan

  R = Himpunan semua bilangan real C = Himpunan semua bilangan kompleks

  c. Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan 2. Q = Himpunan semua bilangan rasional.

  Dari b ( i dan ii), diperoleh ( Z ,  ) semigrup

  b. Ditunjukkan ( Z ,  ) semigrup i. berlaku …(sifat ketertutupan pergandaan bilangan bulat) ii. , (sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat)

  Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi + v. …( sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat ) Dari a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z, + ) grup abelian

  ( ) ( ) a a a a      

  Jadi 0 adalah elemen netral pada Z iv. , , berlaku

• ,
• adalah operasi penjumlahan matriks

  

  Selidikilah apakah (M, + , ) merupakan ring atau bukan !

  2. Diketahui Z = Himpunan semua bilangan bulat modulo 5

  5

• adalah operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5

  

  adalah operasi pergandaan bilangan bulat modulo 5 Selidikilah apakah (Z , + ,  ) merupakan ring atau bukan !

  5

  3. Misalkan , didefinisikan operasi  dan • pada  sepeti berikut :

  f g x ( ) f x ( ) g x ( )

    

   

  Apakah (K,  , ) ring ? Tunjukkan !

  4. ZxZ= {(a,b) | Z dan Z }

  a b , c d , a c b d

      

     

  Operasi  , didefinisikan ,

  ( , ) ( , ) ( a b c d a c b d , )     a b  c d  ac bd )

  Operasi  , didefinisikan , ( , ) ( , ) ( , Selidiki apakah (ZxZ,  ,  ) merupakan ring atau bukan ! 5. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .

  Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :

  a b a b    

  1 ,

      a b a b ab Selidikilah apakah ( Z,

  ⊕, ⊗ ) merupakan ring ? 6. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat . Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :

  a b a b

  1    

  ,     a b a b ab

  Selidikilah apakah ( Z, ⊕, ⊗ ) merupakan ring ?

  7. Diketahui K =

  Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

  

  Untuk setiap (a,b) , (c,d) K, ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d

  ( a, b)  (c, d) = (ad + bc , bd ) ( a, b)  ( c, d) = ( ac , bd ) Selidilah apakah ( K ,  ,  ) merupakang ring.

  8. Diketahui K = Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

  

  Untuk setiap (a,b) , (c,d) K , ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika ad = bc dan b = d ( a, b)  (c, d) = (ad + bc , bd ) ( a, b)  ( c, d) = ( ac , bd ) Selidiki apakah ( K ,  ,  ) merupakang ring ! 9. Diberikan himpunan S.

  | S

  

K K 

 

  Didefinisikan himpunan P(S) = Operasi biner  dan  pada P(S), didefinisikan sebagai berikut

  A B A B A B

      

  A B , P(S)      

  ,   

  A B A B

  a. Buatlah table untuk  dan  pada P(S) jika S = {a, b}

  b. Tunjukkan bahwa untuk himpunan S diatas, maka ( P(S) ,  ,  ) merupakan ring

  10. Diketahui Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

  Didefinisikan operasi  sebagai operasi penjumlahan biasa, dan operasi  didefinisikan sebagai . Selidiki apakah ( Q ,  ,  ) merupakan ring atau bukan !

  

UNTUK SELANJUTNYA OPERASI PENJUMLAHAN CUKUP DITULIS

“ + ” , DAN OPERASI PERGANDAAN CUKUP DITULIS “ . “

  Definisi 2 :

  Misal R adalah ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi pergandaan (missal dinotasikan e ). Untuk selanjutnya elemen identitas terhadap

  1

  operasi pergandaan ( e

1 ) dinamakan sebagai elemen satuan.

Untuk lebih lanjut, ring R yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai Ring dengan elemen satuan.

  Definisi 3 :

  Ring R dikatakan sebagai ring komutatif jika operasi pergandaan pada R bersifat komutatif. Teorema 1 : Misalkan R ring dengan elemen identitas e. Untuk setiap a, b  R berlaku : 1. e a = a e = e 2. a (– b) = (– a) b = – ( ab ) 3. (–a) (–b) = a b Bukti ?

  Teorema 2 :

  Misalkan R ring dengan elemen satuan e

1 .

Untuk setiap a  R berlaku : 1. (– e ) a = – a

  1

  2. (–e

  1 ) (–e 1 ) = e

1 Bukti :

  ( Coba buktikan )

  Definisi 4 :

  Misalkan R ring dengan elemen satuan

  

  Suatu elemen u R dinamakan unit, jika u mempunyai invers terhadap operasi pergandaan.

  Definisi 5 :

  Misalkan R ring dengan setiap elemen tak nol ( selain elemen netral ) merupakan unit, maka R dinamakan ring pembagian ( division ring ) .

  Definisi 6 :

  Misalkan R adalah division ring yang bersifat komutatif, maka R dinamakan sebagai lapangan ( field ) . Jika R tidak komutatif maka R dinamakan skew field.

BAB II SUB RING Definisi : Misalkan (R , + , . ) ring dan S himpunan bagian R. S dikatakan subring dari R, jika (S, + , *) adalah ring. Teorema : Misalkan R adalah ring dan S adalah himpunan bagian dari R. S subring dari R jika dan hanya jika :

  1. e S 2. (a – b) S, untuk setiap a,b S 3. a.b S , untuk setiap a,b S Bukti : Coba buktikan yaa !!! Example : 1. (Z, + , . ) subring dari (Q, + , . ) subring dari (R, + , . ) subring dari (C, + , . )

  2. D (R) subring dari M (R)

  2

2 SOAL :

  1. Misalkan M dan N masing-masing merupakan subring dari R. Apakah :

  a. M N subring dari R c. M + N = { m + n | m M dan n N } subring dari R

  2. Misalkan (R, +, . ) ring dan a R Tunjukkan bahwa I a = { x R | a.x = e } subring dari R !

BAB III DAERAH INTEGRAL Definisi 1 : Jika a dan b adalah elemen TAK NOL ( selain e ) pada ring R sedemikian hingga a.b = e , maka a dan b dikatakan sebagai pembagi nol. Example 1 : Misal pada Z 12 , elemen 2, 3, 4, 6, 8, 9 merupakan elemen pembagi nol.

  ( kenapa ??? ) Misal pada M (Real), elemen , adalah elemen pembagi nol

  2

  ( kenapa ??? )

  Teorema 1 :

  Pada ring Z , elemen pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak saling prima

  n dengan n.

  Bukti : Misalkan m Z dengan m 0 dan misalkan gcd(fpb) dari m dan n adalah d 1. n

  Berlaku : m = n dan (m/d)n menghasilkan 0. Kemudian m(n/d) = 0 pada Z , dimana m dan (n/d)

  n tidak nol, jadi m adalah pembagi nol.

  Sementara disisi lain, Andaikan m Z relatif prima dengan n. Jika untuk s Z ,

  n n

  ms = 0 , maka n membagi pergandaan ms, dengan m dan s adalah elemen pada ring Z. Karena n relatif prima dengan m, maka n membagi habis s, jadi s = 0 pada Z n .

  Corollary 1 : Untuk p prima, maka Z tidak mempunyai pembagi nol. p

  Bukti : ( kenapa ??? )

  Teorema 2 :

  Hukum kanselasi berlaku pada ring R jika dan hanya jika R tidak memuat pembagi nol.

  Bukti :

  Misalkan R ring dengan hukum kanselasi berlaku, dan misalkan ab = e untuk suatu a,b R . Akan ditunjukkan a atau b adalah nol. Jika a e , ab = ae mengakibatkan b = e ( dengan hukum kanselasi ). Identik untuk b e mengakibatkan a = e ( coba tunjukkan !!! ). Jadi tidak ada pembagi nol ketika hukum kanselasi berlaku pada R. ⟸ Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan ab = ac , untuk a e . Akibatnya ab – ac = a(b – c) = e . Karena a e dan R tidak memuat pembagi nol , jadi haruslah b – c = e . Diperoleh b = c Identik untuk ba = ca , dengan a e mengakibatkan b = c . ( coba tunjukkan !!! )

  Definisi 2 :

  Daerah integral D adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol.

  Example 4 : Z dan Z adalah daerah integral, untuk p prima. p

  Z bukan daerah integral, untuk n bilangan bulat selain prima. Kenapa ???

  n Example 5 :

  Tunjukkan meskipun Z

  2 adalah daerah integral ( kenapa ??? ) , tetapi M 2 (Z 2 )

  mempunyai pembagi nol !!!

  Jawab : Kenapa ????

  Teorema 4 : Setiap lapangan adalah daerah integral. Bukti : Misal diketahui lapangan F.

  Ambil sembarang a,b F dan asumsikan bahwa a e . (kenapa???)

• 1 -1 Jika ab = e , maka a ab = a e . Jadi b = e .

  Identik untuk b e , jika ab = e maka a = e . Jadi F tidak memuat pembagi nol. Lebih lanjut F adalah adalah daerah integral.

  Teorema 5 : Setiap daerah integral BERHINGGA adalah lapangan. Bukti :

  Misalkan e , e , a , a , ..., a adalah semua elemen pada daerah integral D. Akan

  1

  1 2 n

  ditunjukkan bahwa untuk setiap a D , dengan a e , terdapat b D sedemikian hingga ab = e .

1 Bentuk

  ae

  1 , aa 1 , ... , aa n

  Klaim bahwa semua elemen-elemen tadi berbeda, karena untuk aa = aa

  i j

  mengakibatkan a =a . Dan juga, karena D tidak memuat pembagi nol, tidak ada

  i j dari elemen-elemen tadi yang nol.

  Dengan mencacah, perhatikan bahwa ae , aa , ... , aa adalah e , a , ... , a dalam

  

1

1 n

  1 1 n suatu urutan, termasuk ae = e , yakni a = e atau aa = e , untuk suatu i.

  1

  1 1 i

  1 Jadi a mempunyai invers terhadap pergandaan.

  Corollary 2 : Untuk p prima, maka Z lapangan. p

  Bukti :

  ( kenapa ??? )

  LATIHAN

  3

  2

  1. Tentukan solusi dari persamaan x – 2x – 3x = 0 pada Z

  12

  2

  2. Tentukan solusi dari persamaan x + 2x + 2 = 0 pada Z

  6

  3. Tunjukkan bahwa adalah pembagi nol pada M

  2 (Z)

  4. Selidiki pada soal sebelumnya ( pada soal latihan ring ) , mana yang merupakan daerah integral

  2

  5. Suatu elemen a pada ring R dikatakan idempoten jika a = a . Tunjukkan bahwa division ring ( ring pembagian ) memuat tepat 2 buah elemen idempoten.

  6. Tunjukkan bahwa irisan dari dua buah sub daerah integral D merupakan sub daerah integral D

  7. Misalkan untuk setiap elemen tak nol a R , terdapat dengan tunggal b R , sedemikian hingga aba = a.

  a. Tunjukkan bahwa R tidak memuat pembagi nol

  b. Tunjukkan bahwa bab = b

  c. Tunjukkan R mempunyai elemen satuan d. Tunjukkan bahwa R adalah division ring.

BAB II IDEAL A. Pengertian Ideal Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup

  normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal.

  Definisi 1:

  Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I  , I disebut

  Ideal kiri dari R jika : i.

  x, y  I berlaku (x – y)  I ii. (r  R)(x  I) berlaku rx  I

  Misalkan R adalah suatu ring dan IR dengan I, I disebut

  Ideal kanan dari R jika : 1.

  x, y  I berlaku (x – y)  I 2. (r  R)(x  I) berlaku xr  I

  Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I , I disebut Ideal dari R jika : 1.

  x, y  I berlaku (x – y)  I 2. (r  R)(x  I) berlaku rx, xr  I

  Note : 1.

  Syarat ke ii. bahwa rx, xr  I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx = xr.

  Contoh :

  

1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap

penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring.

  Jika m tak nol suatu bilangan bulat , maka M = {mz | z bilangan bulat} merupakan ideal dari Z, sebab jelas bahwa M  Z, M   dan i.

  x, y  M, berarti x = ma, y = mb untuk suatu a, b  Z dan a – b Z, sehingga x – y = ma – mb = m(a – b)  M ii.

  r  Z, x M, rx = r(ma) = m(ra)  M karena ra  Z.

  

2. Z = {0, 1, 2, …, 11} adalah ring dari bilangan-

  12

  bilangan bulat modulo 12 maka dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan- himpunan bagian dari Z

  12 berikut merupakan ideal darinya:

  P = { 0, 6 } Q = { 0, 4, 8 } R = { 0, 3, 6, 9 } S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } Coba buktikan yaaa !!!

  a b

     

  a , b , c , d Q

      

   

  c d

     

  1. M

  2 (Q) = adalah ring terhadap penjumlahan dan pergandaan matriks.

  a

     

  a , b Q

      

   

  b

     

  N = adalah bukan ideal dari M (Q), karena : syarat ii. Tidak

  2

  2

  1 1 /

  2            

  1

  3

  1 

      dipenuhi, A =

  2 (Q) dan B =

   M  N

  2

  1 1 /

  2

  1

  1                  

  1

  3

  1 1 /

  2

  3  

        AB = =

  N Mahasiswa diharap mencoba mencari contoh-contoh subring yang merupakan ideal dan subring yang bukan merupakan ideal.

  Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa membuktikan secara formal ideal yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain tentang ideal disertai buktinya.

  TUGAS MANDIRI: KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI :

  1. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

  a a

         

  a , b Z a , b Z

           

     

  b b

         

  Didefinisikan U = dan V = maka selidikilah U dan V masing-masing merupakan ideal kiri, ideal kanan, ideal atau tidak

  2. Jika M dan N masing-masing adalah ideal dari ring R maka tunjukkanlah

  a. M  N juga ideal dari R

  b. M + N = {a + b | a M dan b  N } ideal dari R

3. Diberikan R adalah ring komutatif dengan a, b  R maka tunjukkan bahwa S =

  {ax + by | x,y  R } ideal dari R

BAB IV RING FAKTOR Ide : Perhatikan kemiripan struktur pada teori grup dan teori ring. Sub ring mirip dengan sub grup Ideal mirip dengan sub grup normal Ring faktor mirip dengan grup faktor Coba perhatikan kemiripan strukturnya !!!! Ring Faktor Ring factor mempunyai kemiripan dengan grup faktor. Jika I ideal dari ring R maka I subring dari R, berarti I juga merupakan ring, sehingga (I,+) merupakan subgrup normal dari (R,+). Himpunan semua koset kiri (kanan) I dalam R, ditulis sebagai R/I = {r + I | r  R} Operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/I didefinisikan : Untuk setiap (a + I) , (b + I) R/I , dengan a, b R

  (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I Akan ditunjukkan dulu operasi-operasi tersebut well defined, artinya : Ambil sembarang x + I , y + I , x’ + I , y’ + I R/I jika x + I = x’ + I  y + I = y’ + I maka adit

  (x + I) + (y + I) = (x’ + I) + (y’ + I) dan (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)

  Bukti :

  Ambil x + I = x’ + I  y + I = y’ + I Karena I ideal maka x – x’, y – y’  I (kenapa???) , Sehingga : (x – x’) + (y – y’)  I  (x + y) – (x’+ y’)  I  (x + y) + I = (x’+ y’) + I  (x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I) (x – x’)y, x’(y – y’)  I, x’, y  R  xy – x’y, x’y – x’y’  I

   (xy – x’y) + (x’y – x’y’)  I  xy – x’y’  I  xy + I = x’y’+ I  (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I) Terbukti bahwa operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/I tersebut well defined.

  Selanjutnya ditunjukkan bahwa R/I adalah ring, sebagai berikut :

  1. Adit (R/I, +) grup komutatif

  a. Tertutup ambil sebarang a + I, b + I  R/I maka a, b  R dan a + b  R (kenapa???) , sehingga (a + I) + (b + I) = (a + b) + I  R/I

  b. Assosiatif Ambil sebarang a + I, b + I, c + I  R/I maka a, b, c R, dan (a + b) + c = a + (b + c) (kenapa???) diperoleh

  = [(a+b)+I] + (c+I) = [ (a+b)+c ] + I

  = [ a+(b+c) ] + I = (a+I) + [ (b+I) + (c+I) ]

  c. Ada elemen netral Ambil e elemen netral dalam R,

• I = I  R/I dengan e maka e + I = I adalah elemen netral dalam R/I, sebab: (a + I) + I = a + I dan I + (a + I) = a + I untuk (a + I)  R/I

  d. Setiap elemen dalam R/I mempunyai invers a + I  R/I maka a, -a  R maka -a + a = a + (-a) = e  R,

• I = I dan (a + I)+(-a dan –a + I  R/I, sehingga (-a + I)+(a + I) = (-a + a)+I = e
• I) = (a + (-a))+I = e + I = I Jadi (-a + I) adalah invers dari (a + I)

  e. Kommutatif (a + I), (b + I)  R/I maka a, b  R dan a + b = b + a  R sehingga (b + a) + I  R/I dan berlaku : (a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I)

  2. (R/I, . ) tertutup dan asosiatif

  a. Tertutup Ambil sebarang (a + I), (b + I)  R/I maka a, b  R dan ab  R, sehingga (a + I) (b

• I) = ab + I  R/I

  b. assosiatif Ambil sebarang a + I, b + I, c + I  R/I maka a, b, c R,

  (a.b).c = a.(b.c) (kenapa???) [(a + I).(b + I)].(c + I) = [( a.b) + I ].(c + I) = [(a.b).c] + I = [a.(b.c)] + I = (a + I). [(b + I). (c + I)] 3. (R/I, + , . ) distributif Ambil sebarang a + I, b + I, c + I  R/I maka a, b, c R, dengan (a + b). c = a.c + b.c dan a.(b + c) = a.b + a.c [ (a + I) + (b + I) ] .(c + I) = [(a + b) + I].(c + I) = [(a + b).c] + I = [a.c + b.c)] + I = (a.c + I) + (b.c + I) = (a + I).(c + I) + (b + I).(c + I)] (a + I). [(b + I) + (c + I)] = [(a + I). [(b + c) + I] = [a .(b + c)] + I = [a.b + a.c)] + I = (a.b + I) + (a.c + I) = (a + I).(b + I) + (a + I).(c + I)] Dari 1, 2, dan 3 terbukti bahwa R/I adalah ring , dan selanjutnya disebut ring faktor (qoutient rings). R/I terdiri dari koset-koset kiri (kanan) dari ideal I dalam R. Dari pembuktian di atas, tampak bahwa setiap ideal dari suatu ring R pastilah membentuk ring faktor R/I. Definisi : Misalkan I ideal dari suatu ring R, maka R/I = { r + I | r  R } merupakan suatu ring yang disebut ring faktor (qoutient rings) terhadap opersi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut: a + I, b + I  R/I,

  (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I

  Contoh : Z

  12 = {0, 1, 2, 3, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12.

  IDEAL RING FAKTOR P = { 0, 6 } Z

  12

  / P = { P, {1,7}, {2,8}, {3,9}, {4,10}, {5,11} } Q = { 0, 4, 8 } Z

  12

  / Q = {Q, {1,5,9}, {2,6,10}, {3,7,11}} R = { 0, 3, 6, 9 } Z

  12 / R = {R,{1,4,7,10}, {2,5,8,11}}

  S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } Z

  12

  / S = {S, {1,3,5,7,9,11}}

TUGAS MANDIRI:

  1. Misalkan I adalah ideal dari ring R maka tunjukkanlah bahwa :

  a. Jika R memuat elemen satuan maka R/I juga memuat elemen satuan

  b. Jika R ring komutatif maka R/I juga ring komutatif

BAB V HOMOMORFISMA DAN SIFAT-SIFATNYA Ingat kembali pendefinisian homomorfisme pada teori grup. Homomorfisme pada

  teori ring mempunyai kemiripan struktur seperti pada teori grup. Coba identifikasi yaa !!!

  Definisi 1 : Misalnya diberikan ring R dan R’.

  Pemetaan f : R  R’ disebut homomorfisma dari R ke R’ jika a, b  R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a.b) = f(a) . f(b) Operasi pada R Operasi pada R’ Homomorfisma merupakan fungsi yang mempertahankan operasi yang disajikan dengan skema berikut : R R’ atau R R’

  f f a a’ a f(a) 

   b b’ b f(b) 

   a’ + b’ f(a) + f(b) a + b  a + b  a . b a’ . b’ a . b f(a) .

    f(b)

  Catatan :

  1. Operasi pada R dan R’ TIDAK HARUS sama, baik penjumlahan maupun pergandaannya.

  2. Operasi pada R dan R’ sering kali tidak dinyatakan.

  3. Untuk membuktikan homomorfisma, haruslah dibuktikan dulu suatu fungsi, jika belum diketahui fungsi. (f : R  R’ disebut Pemetaan atau fungsi jika (a, b R) , a = b  f(a) = f(b) )

  Example 1 :

  Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan biasa. Didefinisikan pengaitan f dari ring Z ke Q, sebagai berikut : aZ, f(a) = 2a, maka apakah g adalah suatu homomorfisma? a)

  f fungsi yakni (a, b Z), a = b  f(a) = f(b)

  Ambil sebarang a,b  Z, dengan a = b ... (sifat pada Z)

   2a = 2b ...( definisi f )

   f(a) = f(b)

  b) f bukan homomorfisma, karena tidak berlaku x, yZ, f(xy) = 2xy ≠ (2x)(2y) = f(x) f(y)

  Sebagai counter example :  -3, 5 Z,

  f((-3)5) = f (-15) = 2(-15) = 30 ≠ f (-3) f (5) = (-6)10 = 60 Example 2 : Diberikan pengaitan h dari Z ke Zn (ring dari bilangan bulat modulo n).

  xZ, h(x) = r = sisa x/n, artinya x = kn + r atau r = x – kn , untuk suatu k  Z dan 0  r < n. Buktikan bahwa h homomorfisma Bukti :

  a. h merupakan fungsi : bukti sebagai latihan mahasiswa

  b. h homomorfisma : x, yZ maka x = pn + r dan y = qn + s, untuk suatu p, q  Z. Ini berarti bahwa h(x) = r, h(y) = s  Zn, dimana 0 r< n dan 0s<n, maka r+s, rs  Zn.

  Diketahui bahwa r, s, r+s, rs Z, sehingga t, uZ berlaku r + s = tn + v dan rs = un + w, dengan 0 v < n dan 0w<n.

  (r, s  Zn maka r+s = v, rs = w  Zn) i. x + y = (pn + r) + (qn + s) ii. xy = (pn + r)(qn + s) = (p+q)n + (r+s) = (pqn)n + (ps)n + (qr)n + rs = (p+q)n + tn +v = [(pqn)+(ps)+(qr)]n+un + w = (p+q+t)n + v = [(pqn)+(ps)+(qr)+u]n + w = p*n + v = q*n + w Tampak dari i, bahwa h(x+y) = v = r+s = h(x)+h(y) dari ii, diperoleh h(xy) = w = rs = h(x).h(y)

  Jadi h adalah homomorfisma

  A. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma Sebelum membahas materi ini, perlu diingatkan kembali beberapa hal yang berkaitan dengan pemetaan (fungsi), yaitu:

  Definisi 2 : a. Fungsi f : G G’ disebut onto/pada/surjektif jika f(G) = G’ atau dengan kata lain : (a’ G’)(a  G) , sehingga a’ = f(a).

  b. Fungsi f disebut injektif (1–1) jika (a, b  G) f(a) = f(b)  a = b

  c. Fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1) jika f injektif dan surjektif Mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfisma tanpa faham definisi 2 di atas (Buka kembali Logika Matematika dan Himpunan )

  Definisi 3 : 1. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang injektif (1-1) disebut monomorfisma.

  2. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang surjektif (pada/onto) disebut epimorfisma.

  3. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang bijektif (injektif dan surjektif) disebut isomorfisma.

  4. Suatu homomorfisma dari R ke R’ dengan R = R’ disebut endomorfisma (suatu homomorfisma dari suatu ring R ke ring R itu sendiri) 5. Endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

  6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’

  homomorfik

  7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’

  isomorfik, dinotasikan R ~ R’

B. SIFAT-SIFAT HOMOMORFISMA Teorema 1 :

  Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka : 1. f(e ) = e ’, dengan e dan e ’ berturutan adalah elemen netral dalam R dan R’.

  2. f(- a) = - f(a) , untuk a  R

  Bukti :

  Diketahui f adalah homomorfisma dari R ke R’

  1. Elemen netral dalam R adalah e maka x  R berlaku x+ e = e +x = x, sehingga: f(x+ e ) = f(x) atau f(e +x) = f(x) f fungsi f(x)+f(e ) = f(x) f(e )+f(x) = f(x) f homomorfisma

• f(x)+f(x)+f(e ) = -f(x)+f(x) f(e )+f(x)-f(x) = f(x)+(-f(x)) f(e ) = e ’ f(e ) = e ’

  2. Dari Teorema 1 bag 1, di atas f(e ) = e ’ = f(x)+(- f(x)) = -f(x)+f(x) = -x+x sehingga untuk x  R dan x+(-x) = e f(e )=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)= e ’, dan f(e ) = f(-x+x) = f(-x)+f(x) = e ’.

  Sehingga diperoleh : f(x)+f(-x) = f(x)-f(x) dan f(-x)+f(x)= -f(x)+f(x) dengan sifat kanselasi pada R’, diperoleh f(-x) = -f(x).

  Definisi 2 :

  Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :

  1. Himpunan semua peta (bayangan) anggota dari R dalam R’ oleh f ditulis f(R) atau Im(f) didefinisikan, Im(f) = { x’  R’ | x’ = f(x) untuk suatu x  R }

  2. Kernel f dinotasikan dan didefinisikan sebagai ’, e ’ elemen netral dalam R’ }

  Ker(f) = { x R | f(x) = e

  Example 3 :

  (Z,+, .) adalah ring bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

  (Q,+,*) adalah ring bilangan rasional dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan, x, yQ, x*y = xy/2. (coba tunjukkan dulu yaa !!! )

  f : Z Q adalah HOMOMORFISME RING ( coba tunjukkan dulu yaa !!! )

  yang didefinisikan dengan : aZ, f(a) = 2a

  Tentukan Ker(f) dan Im(f) ! Jawab : Ker f = {x  Z | f(x) = 0} = {x  Z | 2x = 0} = {x  Z | x = 0} = {0} Im f = {y  Q | f(a) = y, a  Z} = {y  Q | 2a = y, a  Z}

  = {y = 2a  Q | a  Z} = 2Z

  Teorema 2 :

  Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :

  a. Im(f) subring dari R’

  b. Ker(f) ideal dari R c.

  Ker f = {0}  f monomorfisma

  d. f(R) = R’ maka f epimorfisma Bukti : ( Coba yaa !!! )