http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 3 SUB RING
Definisi :
Misalkan R , + , . ring dan S himpunan bagian R.
S dikatakan subring dari R, jika S, + , adalah ring.
Teorema :
Misalkan R adalah ring dan S adalah himpunan bagian dari R. S subring dari R jika dan hanya jika :
1. e
S 2.
a – b S, untuk setiap a,b S
3. a.b S , untuk setiap a,b S
Bukti : Coba buktikan yaa
Example : 1. Z, + , . subring dari Q, + , . subring dari R, + , . subring dari C, + , .
2. D
2
R subring dari M
2
R
SOAL :
1. Misalkan M dan N masing-masing merupakan subring dari R. Apakah :
a. M N subring dari R
b. M N subring dari R
c. M + N = { m + n | m M dan n N } subring dari R
2. Misalkan R, +, . ring dan a R
Tunjukkan bahwa I
a
= { x R | a.x = e } subring dari R
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 4 DAERAH INTEGRAL
Definisi 1 :
Jika a dan b adalah elemen TAK NOL selain e pada ring R sedemikian hingga a.b = e
, maka a dan b dikatakan sebagai pembagi nol.
Example 1 :
Misal pada Z
12
, elemen 2, 3, 4, 6, 8, 9 merupakan elemen pembagi nol. kenapa ??? Misal pada M
2
Real, elemen ,
adalah elemen pembagi nol kenapa ???
Teorema 1 :
Pada ring Z
n
, elemen pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak saling prima dengan n.
Bukti :
Misalkan m Z
n
dengan m 0 dan misalkan gcdfpb dari m dan n adalah d 1. Berlaku : m
= n
dan mdn menghasilkan 0. Kemudian mnd = 0 pada Z
n
, dimana m dan nd tidak nol, jadi m adalah pembagi nol.
Sementara disisi lain, Andaikan m Z
n
relatif prima dengan n. Jika untuk s Z
n
, ms = 0 , maka n membagi pergandaan ms, dengan m dan s adalah elemen pada ring Z. Karena n relatif prima
dengan m, maka n membagi habis s, jadi s = 0 pada Z
n
.
Corollary 1 :
Untuk p prima, maka Z
p
tidak mempunyai pembagi nol. Bukti :
kenapa ???
Teorema 2 :
Hukum kanselasi berlaku pada ring R jika dan hanya jika R tidak memuat pembagi nol.
Bukti :
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Misalkan R ring dengan hukum kanselasi berlaku, dan misalkan ab = e untuk suatu a,b R . Akan
ditunjukkan a atau b adalah nol. Jika a e , ab = ae
mengakibatkan b = e dengan hukum
kanselasi . Identik untuk b e mengakibatkan a = e
coba tunjukkan . Jadi tidak ada pembagi nol ketika hukum kanselasi berlaku pada R.
⟸ Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan ab = ac , untuk a e
. Akibatnya ab
– ac = ab – c = e . Karena a e
dan R tidak memuat pembagi nol , jadi haruslah b – c = e
. Diperoleh b = c Identik untuk ba = ca , dengan a e
mengakibatkan b = c . coba tunjukkan
Definisi 2 :
Daerah integral D adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol.
Example 4 :
Z dan Z
p
adalah daerah integral, untuk p prima. Z
n
bukan daerah integral, untuk n bilangan bulat selain prima. Kenapa ???
Example 5 :
Tunjukkan meskipun Z
2
adalah daerah integral kenapa ??? , tetapi M
2
Z
2
mempunyai pembagi nol
Jawab : Kenapa ????
Teorema 4 :
Setiap lapangan adalah daerah integral.
Bukti :
Misal diketahui lapangan F. Ambil sembarang a,b F dan asumsikan bahwa a e
. kenapa??? Jika ab = e
, maka a
-1
ab = a
-1
e . Jadi b = e
. Identik untuk b e
, jika ab = e maka a = e
. Jadi F tidak memuat pembagi nol.
Lebih lanjut F adalah adalah daerah integral.
Teorema 5 :
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Setiap daerah integral BERHINGGA adalah lapangan.
Bukti :
Misalkan e , e
1
, a
1
, a
2
, ..., a
n
adalah semua elemen pada daerah integral D. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a D , dengan a e
, terdapat b D sedemikian hingga ab = e
1
. Bentuk
ae
1
, aa
1
, ... , aa
n
Klaim bahwa semua elemen-elemen tadi berbeda, karena untuk aa
i
= aa
j
mengakibatkan a
i
=a
j
. Dan juga, karena D tidak memuat pembagi nol, tidak ada dari elemen-elemen tadi yang nol.
Dengan mencacah, perhatikan bahwa ae
1
, aa
1
, ... , aa
n
adalah e
1
, a
1
, ... , a
n
dalam suatu urutan, termasuk ae
1
= e
1
, yakni a = e
1
atau aa
i
= e
1
, untuk suatu i. Jadi a mempunyai invers terhadap pergandaan.
Corollary 2 :
Untuk p prima, maka Z
p
lapangan. Bukti :
kenapa ???
LATIHAN
1. Tentukan solusi dari persamaan x
3
– 2x
2
– 3x = 0 pada Z
12
2. Tentukan solusi dari persamaan x
2
+ 2x + 2 = 0 pada Z
6
3. Tunjukkan bahwa
adalah pembagi nol pada M
2
Z 4.
Selidiki pada soal sebelumnya pada soal latihan ring , mana yang merupakan daerah integral 5.
Suatu elemen a pada ring R dikatakan idempoten jika a
2
= a . Tunjukkan bahwa division ring ring pembagian memuat tepat 2 buah elemen idempoten.
6. Tunjukkan bahwa irisan dari dua buah sub daerah integral D merupakan sub daerah integral D
7. Misalkan untuk setiap elemen tak nol a R , terdapat dengan tunggal b R , sedemikian
hingga aba = a. a.
Tunjukkan bahwa R tidak memuat pembagi nol b.
Tunjukkan bahwa bab = b c.
Tunjukkan R mempunyai elemen satuan d.
Tunjukkan bahwa R adalah division ring
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 5 IDEAL
Kategori