http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 2 PENGERTIAN RING
INGAT KEMBALI :
1. Misal G suatu himpunan tak kosong dan adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. G, dinamakan semigrup, jika memenuhi :
a. Tertutup, yakni
, G,
G a b
a b
b. Assosiatif, yakni 2. Misal G suatu himpunan tak kosong dan adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G.
G, dinamakan grup, jika memenuhi : a. Tertutup, yakni
b. Assosiatif, yakni c. Terdapat elemen identitas, yakni
Untuk selanjutnya
e
dinamakan elemen identitas pada G terhadap operasi d. Setiap elemen punya invers, yakni
Untuk selanjutnya
a
-1
dinamakan invers dari
a
.
Suatu grup G, dinamakan grup komutatif abelian, jika operasi bersifat komutatif , yakni
Definisi : RING Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni
operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, selanjutnya dilambangkan dengan R,
, . Struktur R,
, dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :
a. R, grup abelian
i. Tertutup, yakni ii. Assosiatif, yakni
, , G,
a b c a b
c a
b c
, G,
G a b
a b
, , G,
a b c a b
c a
b c
G , G,
e a
a e e a
a
1 1
1
G , G,
a a
a a a
a e
, G,
a b a b
b a
, R,
R a b
a b
, , R,
a b c a
b c
a b
c
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
iii. Terdapat elemen identitas, yakni Untuk selanjutnya
e
dinamakan elemen netral nol . iv. Setiap elemen punya invers, yakni
Untuk selanjutnya
a
-1
dinamakan invers dari
a
. v. Komutatif , yakni
b. R, semigrup
i. Tertutup, yakni ii. Assosiatif, yakni
c. Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni :
Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi pergandaan disini BUKAN BERARTI operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.
Contoh : 1. Z = Himpunan semua bilangan bulat.
Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan biasa
adalah operasi pergandaan biasa. Z, + , merupakan ring.
Bukti : a. Ditunjukkan Z, + grup abelian
i. …sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat
ii. ,
…sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat iii.
, berlaku Jadi 0 adalah elemen netral pada Z
iv. ,
, berlaku Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi +
v. … sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat
Dari a i, ii, iii, iv, dan v , diperoleh Z, + grup abelian
R , R,
e a
a e
e a
a
1 1
1
R , R,
a a
a a
a a
e
, R,
a b a
b b
a
, R,
R a b
a b
, , R,
a b c a
b c
a b
c
a b
c a
b c
a a
a
a a
a a
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
b. Ditunjukkan Z , semigrup i.
berlaku …sifat ketertutupan pergandaan bilangan bulat
ii. ,
sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat Dari b i dan ii, diperoleh Z , semigrup
c. Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan
2. Q = Himpunan semua bilangan rasional. R = Himpunan semua bilangan real
C = Himpunan semua bilangan kompleks Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka Q, + , , R, + , , C, + , masing-
masing merupakan ring. Coba tunjukkan buktinya yaa 3. N = Himpunan semua bilangan asli
Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka N, + , bukan ring. Tunjukkan aksioma apa yang tidak terpenuhi
LATIHAN SOAL 1. Diketahui M =
Didefinisikan operasi + dan pada M seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan matriks
adalah operasi pergandaan matriks Selidikilah apakah M, + , merupakan ring atau bukan
2. Diketahui Z
5
= Himpunan semua bilangan bulat modulo 5 + adalah operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5
adalah operasi pergandaan bilangan bulat modulo 5 Selidikilah apakah Z
5
, + , merupakan ring atau bukan 3. Misalkan
, didefinisikan operasi
dan • pada sepeti berikut :
f g
x f x
g x
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Apakah K, , ring ? Tunjukkan
4. ZxZ= {a,b | Z dan
Z }
Operasi , didefinisikan
, Operasi
, didefinisikan ,
Selidiki apakah ZxZ, ,
merupakan ring atau bukan 5. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .
Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut : ,
Selidikilah apakah Z, ⊕, ⊗ merupakan ring ?
6. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat . Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :
,
Selidikilah apakah Z, ⊕, ⊗ merupakan ring ?
7. Diketahui K = Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap a,b , c,d K, a, b = c, d jika dan hanya jika a = c dan b = d a, b
c, d = ad + bc , bd a, b
c, d = ac , bd Selidilah apakah K ,
, merupakang ring.
8. Diketahui K = Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap a,b , c,d K , a, b = c, d jika dan hanya jika ad = bc dan b = d a, b
c, d = ad + bc , bd a, b
c, d = ac , bd
, ,
a b c d
a c
b d
, ,
, a b
c d a
c b d
,
, ,
a b c d
ac bd
1
a b
a b
a b
a b ab
1
a b
a b
a b
a b ab
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Selidiki apakah K , ,
merupakang ring 9. Diberikan himpunan S.
Didefinisikan himpunan PS = Operasi biner
dan pada PS, didefinisikan sebagai berikut
,
a. Buatlah table untuk dan
pada PS jika S = {a, b} b. Tunjukkan bahwa untuk himpunan S diatas, maka PS ,
, merupakan ring
10. Diketahui Q adalah himpunan semua bilangan rasional. Didefinisikan operasi
sebagai operasi penjumlahan biasa, dan operasi didefinisikan
sebagai .
Selidiki apakah Q , ,
merupakan ring atau bukan
UNTUK SELANJUTNYA OPERASI PENJUMLAHAN CUKUP DITULIS “ + ” , DAN OPERASI PERGANDAAN CUKUP DIT
ULIS “ . “
Definisi 2 :
Misal R adalah ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi pergandaan missal dinotasikan e
1
. Untuk selanjutnya elemen identitas terhadap operasi pergandaan e
1
dinamakan sebagai elemen satuan.
Untuk lebih lanjut, ring R yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai Ring dengan elemen satuan.
Definisi 3 :
Ring R dikatakan sebagai ring komutatif jika operasi pergandaan pada R bersifat komutatif. Teorema 1 :
Misalkan R ring dengan elemen identitas e. Untuk setiap a, b R berlaku :
1. e a = a e = e 2. a
– b = – a b = – ab 3.
–a –b = a b
| S
K K
, PS
A B
A B
A B
A B
A B
A B
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
Bukti ?
Teorema 2 :
Misalkan R ring dengan elemen satuan e
1
. Untuk setiap a R berlaku :
1. – e
1
a = – a
2. –e
1
–e
1
= e
1
Bukti : Coba buktikan
Definisi 4 :
Misalkan R ring dengan elemen satuan Suatu elemen u R dinamakan unit, jika u mempunyai invers terhadap operasi pergandaan.
Definisi 5 :
Misalkan R ring dengan setiap elemen tak nol selain elemen netral merupakan unit, maka R dinamakan ring pembagian division ring .
Definisi 6 :
Misalkan R adalah division ring yang bersifat komutatif, maka R dinamakan sebagai lapangan field .
Jika R tidak komutatif maka R dinamakan skew field.
http:bimprippt19.blogspot.com STRUKTUR ALJABAR
BAB 3 SUB RING
Kategori