2.8 Persamaan Chapman Kolmogorov
Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan sebuah metode untuk menghubungkan peluang peralihan n langkah yang berurutan. Untuk dapat
menghitung peluang peralihan n langkah digunakanlah persamaan ini, yaitu:
E j
,i ,
m ,
n ,
p p
p
n kj
n ik
E k
m n
ij
∈ ≥
=
∑
∈ +
2.12
n ik
p
=
Peluang peralihan dari state i ke state k setelah n langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam state i.
m kj
p = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah m langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam state k.
m n
ij
p
+
= Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah n+m langkah. Dengan menggunakan hubungan Chapman Kolmogorov kita dapat membuktikan
bahwa P
n =
P
n
matriks peluang peralihan n langkah P
n
p p
p p
p
kj E
k n
ik n
kj E
k ik
n ij
∑ ∑
∈ −
− ∈
= =
1 1
sama dengan matriks peluang peralihan satu langkah pangkat n.
Buktinya dilakukan dengan induksi n = 1 dan m = n-1 maka persamaan 2.12 menjadi:
dengan
p
n ij
adalah anggota atau elemen dari matriks P
n
p
n kj
1 −
dan p
ik
dan anggota dari
matriks P. Persamaan diatas memperlihatkan peluang peralihan n langkah dapat diperoleh dari peluang beralih satu langkah. Misalkan untuk n = 2
∑ ∑ ∑
∈ ∈
∈
= =
E k
E k
kj ik
E k
kj ik
ij
p p
p p
p
2
Karena
2 ij
p
merupakan elemen dari matriks
2
P ,
ik
p dan
1 −
n kj
p
elemen dari matriks P, maka p
2
= P.P yaitu perkalian matriks peralihan satu langkah dengan matriks itu sendiri. Untuk n langkah secara umum dapat diperoleh:
P
n
= P.P…..P = P
n
= P.P
n-1
= P
n-1
.P = P
n
Sehingga dapat dikatakan bahwa peluang peralihan n langkah dapat diperoleh dengan memangkatkan n, matriks beralih satu langkah.
Universitas Sumatera Utara
2.9 Peluang State n Langkah
Definisi 2.9.1 Andaikan ,........,
,
1 n
n n
p p
p =
adalah vektor peluang state setelah n langkah maka
n j
p , vektor peluang statenya adalah
n j
p yaitu vektor peluang berada pada state j setelah n langkah dengan
E j
, n
∈ ≥ 1
∑ ∑
∑
∈ ∈
∈
= =
= =
= =
= =
= =
E i
n ij
i E
i n
E i
n n
n j
p p
j x
j x
p i
x p
i x
j x
p j
x p
p \
, 2.13
Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah n langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan 2.13 dapat
dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk n = 1 P
1
= p
∑ ∑
∑
∈ −
∈ −
− ∈
−
= =
= =
= =
= =
= =
E i
ij n
i E
i n
n n
E i
n n
n n
j
p p
j x
j x
p i
x p
i x
j x
p j
x p
p
1 1
1 1
\ ,
P atau
2.14
Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah n langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan 2.14 dapat
dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk n =1
P p
P P
p P
p p
P p
p
2 1
2 1
= =
= =
Dapat disimpulkan vektor peluang state dalam n langkah diperoleh dengan mengalikan state awal p
1 ,
1
≥ =
=
−
n
P p
p p
p
n n
n n
dengan matriks satu langkah pangkat n.
Universitas Sumatera Utara
2.10 Peluang Steady State Definisi 2.10.1 Sebuah matriks peralihan adalah bujur sangkar reguler jika suatu
pangkat bulat dari matriks itu mempunyai entri yang semuanya positif.
{ }
= =
n ir
n i
n i
n r
n n
n r
n n
n ij
n
p p
p p
p p
p p
p p
P
1 1
11 10
01 00
Jika P adalah matriks bujur sangkar maka: 1. Untuk
∞ →
n
. P
n
=
n n
n
π π
π π
π π
π π
π π
2 2
2 1
1 1
akan menuju suatu matriks
2.
=
n
π π
π π
2 1
Setiap kolom merupakan bilangan-bilangan positif dan
1
3 2
1
= +
+ +
+
π π
π π
n
3. Jika
=
x x
x x
x
n
3 2
1
adalah sebarang vektor peluang. Karena
π →
n
P
untuk
∞ →
n
,
maka
x x
P
n
π →
sehingga
Universitas Sumatera Utara
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
=
n n
n n
n n
n n
n n
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
π π
π π
π π
π π
π
π π
π π
π π
π π
π π
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
2 1
2 2
2 1
1 1
π π
π π
π
= =
+ +
+ =
1 ....
2 1
2 1
n n
x x
x Px
Dimana p
i
adalah peluang sistem saat berada pada state i, i= 1, 2, 3, ……, n
4. Jika π
→
n
p , maka
n n
n
PP P
P =
→
+ +
1 1
π Jadi
π P
P
n
→
+1
karena π
π
= P
Peluang peralihan pada tingkat keadaan mantap peluang steady state adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap
perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan mantap didefenisikan sebagai berikut:
n ij
n j
p
∞ →
= lim π
2.15 dengan:
j
π = batas distribusi peluang peralihan tingkat keadaan mantap dalam keadaan j.
Dengan makin besar nilai n, maka peluang peralihan akan mendekati suatu nilai tertentu, tanpa dipengaruhi oleh state mana yang ditempati pada n = 0. dalam sebagian
besar kasus, hubungan atau relevansi antara keadaan awal dengan peluang peralihan tahap ke n akan mengecil dengan bertambahnya n.
{ }
{ }
j x
P i
x j
x P
n n
n n
= =
= =
∞ →
∞ →
lim \
lim sehingga
Universitas Sumatera Utara
n j
n j
p
∞ →
= lim π
Dengan demikian akan diperoleh suatu distribusi untuk n menuju tak hingga berada dalam keadaan mantap, karenanya informasi mengenai kedudukan awal dari proses
tidak diperlukan lagi, atau dengan kata lain nilai dari peluang peralihan tingkat keadaan mantap independen terhadap kondisi awal proses, dan konvergen ke sebuah
matriks π untuk n menuju tak berhingga. Untuk setiap baris vektor distribusi steady
state sebagai berikut:
Karena π
→
n
P , maka
π →
+1 n
P sehingga
n n
PP P
=
+1
n n
n n
P P
P
∞ →
+ ∞
→
= lim lim
1
n n
n n
n n
P π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π
2 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
=
π π
P =
2.16
Persamaan tersebut merupakan persamaan-persamaan linier dengan beberapa harga yang tidak diketahui dan merupakan kumpulan dependen, sehingga menghasilkan
banyak solusi dan hanya ada sebuah persamaan diantara persamaan tersebut yang pantas sebagai suatu distribusi peluang supaya diperoleh suatu solusi tunggal dan nilai
total seluruh
j
π sama dengan satu, secara matematika sebagai berikut:
1 =
j
π 2.17
Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan normalizing. Dengan memasukan persamaan tersebut dalam kumpulan persamaan-persamaan linier yang ada akan
diperoleh suatu solusi tunggal, yang memenuhi suatu distribusi peluang.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMBAHASAN
Kategori