MODUL MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II

MODUL
MATEMATIKA
KELAS X
SEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin Personal Blog
SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel
http://meetabied.wordpress.com

TRIGONOMETRI
Standar Kompetensi :
Menggunakan

perbandingan

fungsi,

persamaan,

dan

identitas

trigonometri dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :


Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang
berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan
identitas trigonometri.



Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas
trigonometri.



Menyelesaikan

model

matematika

dari

masalah

yang

berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan
identitas trigonometri, dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam

modul

ini

anda akan

mempelajari

perbandingan

trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan
trigonometri, penentuan nilai
berbagai

kuadran,

perbandingan

pengertian

trigonometri

di

konsep koordinat cartesius dan

kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus
dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan
rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga.
anda juga mempelajari

identitas

aturan
Di

cosinus,

samping

trigonometri,

itu

dan

bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat
Prasyarat

untuk

mempelajari

harus sudah mempelajari

modul

bentuk

akar

ini

adalah
dan

anda

pangkat,

persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda
lakukan adalah sebagai berikut.
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena
materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
2. Pahamilah

contoh-contoh

soal

yang

ada,

dan

kerjakanlah

semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal
anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui
kesulitan dalam

mengerjakan

soal

evaluasi,

kembalilah

mempelajari materi yang terkait.
4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat
pecahkan, catatlah, kemudian
saat

kegiatan

tatap

muka

tanyakan

lain,

anda juga

guru

pada

atau bacalah referensi lain yang

berhubungan dengan materi modul
referensi

kepada

anda

akan

ini. Dengan membaca

mendapatkan

pengetahuan

tambahan.

D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,
2. Menggunakan perbandingan trigonometri,
3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai
kuadran,
4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,
5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,
6. Menentukan luas segitiga,
7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

BAB II PEMBELAJARAN
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
A



c

b
B



a



C

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai
hubungan
c2 = a2 + b2
2. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah      180 0
3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
b

depan

a. sin  = miring =
c
samping

a

depan

b

b. cos   miring  c
c. tan   samping  a
samping

a

d. cotg   depan  b
miring

c

e. sec   samping  a
miring

c

f. csc   depan  b

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
1

Cotg   tan 
1

Sec   cos 
1

Csc   sin 
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4,
b = 3.
a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut 
B
c

4



A

C

3

Jawab :
c  a 2  b 2  4 2  3 2  25 5
a 4
sin   
c 5
b 3
cos   
c 5
a 4
tan   
b 3

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 300, 450, 600, 900)
300
450

2

2

3

1
450

600
1

1

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut
( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
Sin

00
0

300

Cos

1

1

Tan

0

1

Csc
Sec

t.t
1

Cotg

t.t

1

2.

6

 cot g


tan
3

3 3

600

900

2
3

2

3

3
2

2

3

3
3

Contoh :  180 0
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +


2
1
sec

450

3

3

3

2 2

3


3
3

=1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
Ordinat positif
A(x,y)
r
y 
Sin    positif
r 
y
x 
  positif
r 
y 
Tan     positif
x 
Cos 



x

2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
Absis negatif
Ordinat positif

A(-x,y)

y 
  positif
r 
 x 
Cos 
 negatif
r

y

Tan  
 negatif
 x 
Sin 

r

y

-x

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri
dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.
I
II
III
IV
Sin
+
+
Cos
+
+
Tan
+
+
Csc
+
+
Sec
+
+
Cotg
+
+
-

Kuadran II
Sin & Csc +

Kuadran III
Tan & Cotg +

Kuadran I
Semua +

Kuadran IV
Cos & Csc +

Contoh :
3
,
5
nilai Sec , Csc , Cotg

Diketahui Sin

 =
3
5

 dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan

Jawab : Sin   , y = 3, r = 5, x =

5 2  3 2  25  9  16 4

Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec

TUGAS I

=

5
5
 4
, Csc   , Cotg  
 4
3
3

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut
gambar berikut :
a.
b.
5

 pada tiap

2 5

12

2

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri
sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri
sudut diketahui.
a. Cos p = 0,8
b. Cotg p = 2
3. Tentukan nilai dari :
a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450
b. Tan 300 + cos 300
c. 2 sin 600 cos 450
4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari
pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut.
Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

600
Tinggi dani

Tinggi pohon
10 m

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di
semua kuadran
a. Rumus di kuadran I
Sin(90   ) cos 
Cos (90   ) sin 
Tan (90   ) Cotg

b. Rumus di kuadran II
Sin(90   ) Cos
Cos (90   )  Sin
Tan (90   )  Cotg

c. Rumus di kuadran III

atau

Sin (180   ) Sin
Cos (180   )  Cos
Tan (180   )  Tan 

Sin( 270   )  Cos
Cos ( 270   )  Sin
Tan ( 270   ) Cotg

Sin(180   )  Sin

atau

Cos(180   )  Cos
Tan (180   ) Tan 

d. Rumus di kuadran IV
Sin ( 270   )  Cos
Cos ( 270   ) Sin
Tan ( 270   )  Cotg

atau

Sin(360   )  Sin
Cos (360   ) Cos
Tan (360   )  Tan 

e Rumus sudut negatif
Sin(   )  Sin
Cos (   ) Cos
Tan (   )  Tan 

f.Rumus sudut lebih dari 3600
Sin (k .360   ) Sin
Cos ( k .360   ) Cos
Tan ( k .360   ) Tan 

Contoh :
Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :
a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)
= Sin 300
1
3
2

=

Atau
Sin 1200 = Sin (1800 – 600)
= Sin 600
=

1
3
2

b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)
= -Sin 450
= 

1
2

2

Atau
Cos 2250 = Cos (1800 + 450)
= -Cos 450
= 

1
2

2

c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300)
= Sin 300
=

1
2

d. Sin (-2250) = - Sin 2250
= - Sin(1800 + 450)
= - (-sin 450)
=

1
2

2

TUGAS II
1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :
a. Cos 3300
b. Tan (-1200)
c. Sin 4500
2. Tentukan nilai dari :
a. Sin 3000 + Cos 5450
b. Cos 3900 + Sec 5700
c. Cotg 7500 + Tan (-600)
3. Sederhanakan
cos(270 
Sin(360 
cos(90 
b.
Sin(180 

a.

p)
p)
p)
p)

cos 120 0.Tan 225 0.Co sec 240 0
Cos 210 0.Sec300 0
4. Buktikan bahwa
Sin (270  p ).Sin(180  p )
1
a.
Cos (90  p ).Cos (180  p )
Cos (180  p ).Sec(360  p )
 1
b.
Cotg (180  p ).Cotg (90  p )

c.

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1. Sin x = Sin p
X1 = p + k.360
atau x1 = p + k.2 
X2 = (180 – p) + k.360
x2 = (  - p) + k.2 
2. Cos x = Cos p
X1 = p + k.360
atau
x1 = p + k.2 
X2 = -p + k.360
atau
x2 = -p + k.2 
3. Tan x = Tan p
X1 = p + k.180
atau
x1 = p + k. 

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :
a. Sin x = Sin 200 ; 0 x 360 0
x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0
x1 = 20
k=1
x2 = 20 + 360
= 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0
x2 = 160
Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x =
Cos x = 1

;

3

2

0 x 360 0

3

Cos x = Cos 30
X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0
x1 = 30
X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0
memenuhi)
K=1
x2 = 330
HP = {30, 330}

x 2 = - 30 (tidak

TUGAS III
1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0 x 360 0
a. Cos x = Cos 50
b. Sin x – ½ = 0
c. 3 tan 2x + 3 = 0
d. 2 cos x.sin x = sin x
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 x 2
a. 2 sin x = - 2
b. 2 tan 3x + 2 = 0
c. 2 cos ½ x = 1
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang
berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa
rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2x
Cotg2x = cosec2x – 1

Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3

Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
=3.1
=3
(terbukti)
D. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
C
a

b

A

B

c

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai
berikut:
a
b
c


SinA SinB SinC

Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1,  B 30 0 , C 53,10 . Hitunglah c.
Jawab :
b
c

SinB SinC



bSinC
SinB
12 Sin53,1
=
Sin30

c

12.0,8
0,5
9,6
= 0,5
= 19,2

=

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46.
B 68,2 . Hitunglah C
b
c

SinB SinC



cSinB 46Sin68,2

b
65
46x0,928
=
65
42,710
=
65

Sin C =

= 0,657

C

= 41,1

2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
C



A





B

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos





Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600.
Hitung panjang BC
Jawab :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit
diketahui
C
a

b
A

D c
L = ½ b.c. sin A

B

L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak
diantara kedua sudut yang diketahui.
L

a 2 . sin B. sin C
2 sin A

L

b 2 . sin A. sin C
2 sin B

L

c 2 . sin A. sin B
2 sin C

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
L  s.( s  a ).( s  b).( s  c)

s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)

Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C
= 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½ 2
= 10 2
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,  A 65, B 60 .
Tentukan luasnya.
Jawab :
C 180  65  60 55

L

c 2 . sin A. sin B
2 sin C

L

5 2. sin 65. sin 60
2 sin 55

25.0,425.0,87
0,82
L 11,27
L

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c
= 5 cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
L  s.( s  a ).( s  b).( s  c)
L  6.(6  3).(6  4).(6  5)

L  6.3.2.1
L  36 6

cm2

TUGAS IV
1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm,
P 46 0

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6
cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B
3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang
bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 040 0 dan
kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan
arah 1000 dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua
kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam.

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah
lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.
5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm,
BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes
untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda
dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam
modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul
berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,
Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,
Jakarta : Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA /
MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.