III PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode
Perhatikan persamaan integral Volterra berikut.
, ,
x a
y x f x
K x t y t dt
λ
= +
∫
, 8
dengan yx merupakan fungsi yang akan ditentukan, a suatu konstanta, fx fungsi
sembarang yang diketahui dan terdefinisi pada R, dan Kx,t,yt suatu fungsi yang bentuknya
tak linear dan bergantung pada variabel x, t, dan fungsi yt. Berdasarkan bentuk fungsi
Kx,t,yt, maka berikut ini akan dianalisis dua kasus.
3.1.1 Kasus pertama
Fungsi Kx,t,yt terdefinisi pada [ , ] a b .
Selang [ , ] a b dibagi menjadi n selang bagian,
yaitu
, 1
[
i i
x x
+
, i=0,1,2,3,...,n-1. Uraian deret Taylor fungsi Kx,t,yt di sekitar titik
, ,
n n
n
x t y dengan
n n
y x y
=
adalah sebagai berikut:
, , , ,
, , , ,
, , .
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
K x t y t K x t y
K x t y x x
x K x t y
t t t
K x t y y y
y =
∂ + −
∂ ∂
+ − ∂
∂ + −
∂
9
Jika persamaan 9 disubstitusikan ke persamaan 8 diperoleh :
, , , ,
, , , ,
n n
n n
n n
n x
n n
n n
a n
n n
n
K x t y K x t y
x x x
y x f x
dt K x t y
t t t
K x t y y y
y λ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
∂ ⎢
⎥ + −
⎢ ⎥
∂ ⎢
⎥ =
+ ∂
⎢ ⎥
+ − ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂ + −
⎢ ⎥
∂ ⎢
⎥ ⎣
⎦
∫
10 atau
.
x n
n n
n n
n n
a
K x x J
t t Q y x
f x dt
y y Z λ
+ − + −
⎡ ⎤
= + ⎢
⎥ + −
⎣ ⎦
∫
11 dengan
, ,
n n
n n
K K x
t y
=
,
, ,
n n
n n
K x t
y J
x ∂
= ∂
, ,
,
n n
n n
K x t y
Q t
∂ =
∂ , 12
, ,
.
n n
n n
K x t
y Z
y ∂
= ∂
Karena dalam integrand pada persamaan 11, t merupakan variabel bebas, y variabel tak
bebas, dan x sebuah parameter, maka persamaan 11 dapat ditulis
[ ]
.
x n
a x
n n
n n n
a x
n n
a
y x f x
Z y t dt
K x x J
Z y dt
Q t t
dt λ
λ λ
= +
+ + −
− +
−
∫ ∫
∫
13 Jika integral pada persamaan 13
disederhanakan, maka diperoleh bentuk linear persamaan integral Volterra sebagai berikut.
2 2
1
2 ;
n n
n n
n n
n n
x n
n n
a
K x
x J y x
f x x a
Z y Q
x t a t
Z y t dt
x x
x λ
λ λ
+
+ − ⎡
⎤ =
+ −
⎢ ⎥
− ⎣
⎦ ⎡
⎤ +
− − −
⎣ ⎦
+ ≤ ≤
∫
14
Kemudian, jika kedua ruas pada persamaan 14 diturunkan terhadap x, maka diperoleh
2
n n
n n
n n
n n
y x f
x K
x x
a J Z y
Q x
x Z y x
λ λ
λ λ
λ
= +
+ −
− −
+ −
+
15
atau
2 .
n n
n n
n n
n n
K x x a J
y x Z y x
f x y Z Q x x
λ λ
+ − − ⎡
⎤ −
= + ⎢
⎥ −
+ −
⎣ ⎦
16 Persamaan 16 merupakan persamaan
differensial biasa orde satu dengan penyelesaian analitik dalam bentuk.
exp exp
2 1
1 exp
2 1
1
n
x n
n n
n x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
y x y x
f x Z
Z x f t
Z t dt K
x x
x a J
Z Z
x t Q
Z Z x
x K
x a
J Z
Z x
t Z
λ λ
λ λ
λ λ
λ =
+ +
− ⎧
⎫ ⎡
⎤ +
− + − +
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎦
− ⎨
⎬ ⎪
⎪ + − +
⎪ ⎪
⎩ ⎭
+ −
+ − +
+ − +
∫
n n
n
f x Q
⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎢ ⎥ −
⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎦
⎩ ⎭
17 Dengan demikian untuk x=x
n+1
diperoleh :
1
1 1
1 1
1 1
exp exp
2 1
1 exp
n n
n n
n x
n n n
n x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
y x y x
f x Z
Z x f t
Z t dt K
x x
x a
J Z
Z x
t Q
Z Z x
λ λ
λ λ
λ λ
+
+ +
+ +
+ +
= +
+ −
⎧ ⎫
⎡ ⎤
+ −
+ − +
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎦
− ⎨
⎬ ⎪
⎪ +
− + ⎪
⎪ ⎩
⎭ +
∫
1
2 1
1
n n
n n
n n
n n
n n
n
x K
x a
J Z
f x Z
x t
Q Z
λ
+
− ⎧
⎫ ⎡
⎤ +
− + ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎢
⎥ − ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ +
− + ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎣
⎦ ⎩
⎭
18 atau
1
1 1
1 1
1 1
1
exp exp
2 1
1 exp
1 2
n n
x n
n n
n n n
n x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
y y
f Z
Z x f t
Z t dt K
x x
x a
J Z
Z x
t Q
Z Z x
x K
x a
J Z
Z λ
λ λ
λ λ
λ λ
+
+ +
+ +
+ +
+
= + +
− ⎧
⎫ ⎡
⎤ +
− + − +
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎦
− ⎨ ⎬
⎪ ⎪
+ − +
⎪ ⎪
⎩ ⎭
+ −
+ − +
∫
1
n n
n n
n n
x t
Q f x
Z ⎧
⎫ ⎡
⎤ ⎪
⎪ + − +
− ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎣
⎦ ⎩
⎭
19 dengan
n n
y y x
= , dan
n n
f f x
= .
Persamaan 19 merupakan pendekatan penyelesaian persamaan integral Volterra 8.
Untuk memudahkan dalam perhitungan, misalkan
x a
= ,
n n
t x
= dan selang [ , ] a b
dibagi n dengan panjang selang bagian
1 n
n
x x
x
+
∆ = − . Jadi persamaan 19 dapat
ditulis :
1
1 1
1 1
exp exp
2 1
1 2
1 exp
1
n n
x n
n n
n n n
n x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
y y
f Z
Z x f t
Z t dt K
x x
x J
Z Z
x Q
Z K
x x
J Z
Z x f
Z Q
Z λ
λ λ
λ λ
λ λ
+
+ +
+ +
= + +
− ⎧
⎫ ⎡
⎤ + ∆ +
− +
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎦
− ⎨ ⎬
⎪ ⎪
+ ∆ + ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎡
⎤ +
− + ⎢
⎥ ⎢
⎥ +
∆ −
⎢ ⎥
+ ⎢
⎥ ⎣
⎦
∫
n
x ⎧
⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎭
20 Jika diasumsikan selang [ , ]
a b dibagi n sama panjang dengan panjang selang bagian
n
x h
∆ = , maka
n
x x
nh =
+ , sehingga
persamaan 20 menjadi seperti berikut.
1
1 1
1
exp exp
1 2
1 2
2 1
exp 1
n n
x n
n n
n n n
n x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
y y
f Z
Z x f t
Z t dt K
n h
J h
Q Z
Z Z
K nh
J Z
Z h f x
Z Q
Z
λ λ
λ λ
λ λ
λ
+
+ +
+
= +
+ −
⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
− +
+ +
+ + ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎣
⎦ ⎩
⎭ ⎧
⎫ ⎡
⎤ +
+ ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎢
⎥ +
− ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ +
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎦
⎩ ⎭
∫
21 Aplikasi ke dalam perhitungan numerik
membutuhkan nilai fx, λ
,
n
K
,
n
J
,
n
Q
,
n
Z dan h. Hasilnya berupa fungsi y=yx.
3.1.2 Kasus kedua