I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak fenomena yang terjadi di alam dapat dijelaskan dengan suatu model
matematika. Model matematika tersebut umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan
differensial. Bentuk persamaan differensial yang dihasilkan biasanya dalam bentuk tak
linear. Secara analitik masalah tak linear ini sulit diselesaikan, bahkan secara numerik
dihadapkan pada perhitungan yang rumit. Tetapi dalam beberapa fenomena, model
matematika dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan integral, yaitu suatu persamaan
dimana variabel yang ingin diketahui termuat dalam integrand persamaan integral tersebut.
Model matematika yang dinyatakan dalam persamaan matematika sering muncul dalam
permasalahan dibidang fisika, teknik, ekonomi, biologi, dan lainnya. Studi literatur
seperti dalam Golberg 1978 menyebutkan beberapa contoh model matematika antara lain
adalah model untuk menentukan: laju pertumbuhan penduduk, proses penyaringan
asap rokok, intensitas radiasi yang ditransfer, dan lainnya. Dalam beberapa kasus
persamaaan matematika yang muncul berupa suatu persamaan integral.
Terdapat beberapa bentuk persamaan integral. Jerri 1985 mengklasifikasi
persamaan integral ke dalam dua bentuk berdasarkan batas pengintegralan pada integral
yang muncul dalam persamaan, yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan
integral Fredholm. Golberg 1978 telah memberikan beberapa metode numerik untuk
menyelesaikan persamaan integral Fredholm dan Volterra, diantaranya metode quadratur
dan metode Galerkin.
Pembahasan mengenai persamaan integral Volterra telah banyak dilakukan seperti dalam
Babolian dan Davari 2005 yang menyelesaikan persamaan integral Volterra
dengan metode dekomposisi Adomian. Saberi dan Heidari 2006 menyelesaikan persamaan
integral Volterra menggunakan metode quadratik.
Dalam delapan tahun terakhir, para peneliti memfokuskan pada penyelesaian persamaan
integral Volterra secara numerik, seperti penggunaan metode implicitly linear
collocation dan metode Hermitte-type collocation.
Dalam tulisan ini akan dibahas penyelesaian persamaan integral Volterra
dengan metode linearisasi. Linearisasi akan dilakukan terhadap fungsi tak linear yang
muncul dalam integrand dengan menggunakan uraian deret Taylor. Perbandingan
penyelesaian eksak dan penyelesaian numerik akan dilakukan terhadap suatu contoh kasus
yang diberikan dalam tulisan ini.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
a. Melinearkan bentuk tak linear yang muncul pada persamaan integral Volterra dengan
menggunakan uraian deret Taylor. b. Mengkonstruksi dan menyelesaikan suatu
persamaan numerik untuk persamaan integral yang telah dilinearkan.
c. Mengkaji contoh kasus dan membandingkan penyelesaian eksak dan
numerik dari contoh kasus tersebut.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab pertama merupakan uraian mengenai latar
belakang dan tujuan. Bab kedua berupa landasan teori, berisi beberapa istilah dan
metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear yang digunakan
dalam pembahasan. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang
akan digunakan menyelesaikan persamaan integral Volterra tak linear. Dalam bab ini juga
dibahas aplikasi berupa contoh kasus dan hasil numerik. Validitas metode ini juga
diperlihatkan pada bab ini. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan.
II LANDASAN TEORI
Untuk memahami metode linearisasi untuk persamaan integral Volterra tak linear yang
digunakan dalam karya tulis ini, diperlukan beberapa konsep berikut ini. Konsep
persamaan differensial dan metode iterasi Picard disarikan dari pustaka Kreyszig 1988.
Deret Taylor untuk fungsi beberapa variabel disarikan dari pustaka Handali dan Pamuntjak
1982.
2.1 Persamaan Differensial
Persamaan differensial merupakan suatu persamaan yang memuat turunan dari fungsi
satu atau lebih variabel terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika turunan fungsi
tersebut hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka persamaan differensial tersebut
dikatakan persamaan differensial biasa. Jika turunan fungsi tersebut bergantung pada lebih
dari satu variabel bebas, maka persamaan differensial tersebut dikatakan persamaan
differensial parsial.
Suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan differensial yang diberikan nilai
awal disebut masalah nilai awal. Sedangkan suatu masalah persamaan differensial yang
diberi nilai batas disebut masalah nilai batas. Terdapat tiga teknik penyelesaian persamaan
differensial biasa, yaitu integrasi langsung, pemisahan variabel, dan faktor integrasi.
Dalam karya ilmiah ini digunakan teknik faktor integrasi yang biasanya digunakan
untuk menyelesaikan persamaan differensial orde satu yang tak homogen.
Bentuk umum dari persamaan differensial biasa yang dapat diselesaikan dengan teknik
faktor integrasi adalah sebagai berikut. .
y p x y
F x +
= 1
Penyelesaian dari persamaan 1 dinyatakan dalam bentuk berikut.
exp exp
y x p x dx
F x p x dx C
= −
+
∫ ∫
∫
2 2.2 Persamaan Integral
Bentuk umum persamaan integral, sebagaimana diberikan oleh Jerri 1985
adalah sebagai berikut.
, ,
b x a
h x y x f x
K x t y t dt =
+
∫
3 Apabila bx=x, dan hx=1, maka persamaan
3 menjadi :
, ,
x a
y x f x
K x t y t dt =
+
∫
4 Persamaan 4 disebut persamaan integral
Volterra tak linear. Persamaan 4 selanjutnya akan ditinjau pada tulisan ini.
Untuk mengubah bentuk persamaan integral Volterra tak linear menjadi bentuk
linear, maka digunakan uraian deret Taylor. Jika, bentuk linear persamaan integral Volterra
4 diturunkan terhadap x, maka diperoleh suatu persamaan differensial biasa orde satu.
Jika diberikan suatu nilai awal, maka diperoleh suatu masalah nilai awal. Salah satu
cara numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut
adalah metode iterasi Picard.
2.3 Uraian Deret Taylor