Tujuan Sistematika Penulisan Persamaan Differensial

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak fenomena yang terjadi di alam dapat dijelaskan dengan suatu model matematika. Model matematika tersebut umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial. Bentuk persamaan differensial yang dihasilkan biasanya dalam bentuk tak linear. Secara analitik masalah tak linear ini sulit diselesaikan, bahkan secara numerik dihadapkan pada perhitungan yang rumit. Tetapi dalam beberapa fenomena, model matematika dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan integral, yaitu suatu persamaan dimana variabel yang ingin diketahui termuat dalam integrand persamaan integral tersebut. Model matematika yang dinyatakan dalam persamaan matematika sering muncul dalam permasalahan dibidang fisika, teknik, ekonomi, biologi, dan lainnya. Studi literatur seperti dalam Golberg 1978 menyebutkan beberapa contoh model matematika antara lain adalah model untuk menentukan: laju pertumbuhan penduduk, proses penyaringan asap rokok, intensitas radiasi yang ditransfer, dan lainnya. Dalam beberapa kasus persamaaan matematika yang muncul berupa suatu persamaan integral. Terdapat beberapa bentuk persamaan integral. Jerri 1985 mengklasifikasi persamaan integral ke dalam dua bentuk berdasarkan batas pengintegralan pada integral yang muncul dalam persamaan, yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm. Golberg 1978 telah memberikan beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm dan Volterra, diantaranya metode quadratur dan metode Galerkin. Pembahasan mengenai persamaan integral Volterra telah banyak dilakukan seperti dalam Babolian dan Davari 2005 yang menyelesaikan persamaan integral Volterra dengan metode dekomposisi Adomian. Saberi dan Heidari 2006 menyelesaikan persamaan integral Volterra menggunakan metode quadratik. Dalam delapan tahun terakhir, para peneliti memfokuskan pada penyelesaian persamaan integral Volterra secara numerik, seperti penggunaan metode implicitly linear collocation dan metode Hermitte-type collocation. Dalam tulisan ini akan dibahas penyelesaian persamaan integral Volterra dengan metode linearisasi. Linearisasi akan dilakukan terhadap fungsi tak linear yang muncul dalam integrand dengan menggunakan uraian deret Taylor. Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian numerik akan dilakukan terhadap suatu contoh kasus yang diberikan dalam tulisan ini.

1.2 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah: a. Melinearkan bentuk tak linear yang muncul pada persamaan integral Volterra dengan menggunakan uraian deret Taylor. b. Mengkonstruksi dan menyelesaikan suatu persamaan numerik untuk persamaan integral yang telah dilinearkan. c. Mengkaji contoh kasus dan membandingkan penyelesaian eksak dan numerik dari contoh kasus tersebut.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab pertama merupakan uraian mengenai latar belakang dan tujuan. Bab kedua berupa landasan teori, berisi beberapa istilah dan metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear yang digunakan dalam pembahasan. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang akan digunakan menyelesaikan persamaan integral Volterra tak linear. Dalam bab ini juga dibahas aplikasi berupa contoh kasus dan hasil numerik. Validitas metode ini juga diperlihatkan pada bab ini. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan. II LANDASAN TEORI Untuk memahami metode linearisasi untuk persamaan integral Volterra tak linear yang digunakan dalam karya tulis ini, diperlukan beberapa konsep berikut ini. Konsep persamaan differensial dan metode iterasi Picard disarikan dari pustaka Kreyszig 1988. Deret Taylor untuk fungsi beberapa variabel disarikan dari pustaka Handali dan Pamuntjak 1982.

2.1 Persamaan Differensial

Persamaan differensial merupakan suatu persamaan yang memuat turunan dari fungsi satu atau lebih variabel terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika turunan fungsi tersebut hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka persamaan differensial tersebut dikatakan persamaan differensial biasa. Jika turunan fungsi tersebut bergantung pada lebih dari satu variabel bebas, maka persamaan differensial tersebut dikatakan persamaan differensial parsial. Suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan differensial yang diberikan nilai awal disebut masalah nilai awal. Sedangkan suatu masalah persamaan differensial yang diberi nilai batas disebut masalah nilai batas. Terdapat tiga teknik penyelesaian persamaan differensial biasa, yaitu integrasi langsung, pemisahan variabel, dan faktor integrasi. Dalam karya ilmiah ini digunakan teknik faktor integrasi yang biasanya digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial orde satu yang tak homogen. Bentuk umum dari persamaan differensial biasa yang dapat diselesaikan dengan teknik faktor integrasi adalah sebagai berikut. . y p x y F x + = 1 Penyelesaian dari persamaan 1 dinyatakan dalam bentuk berikut. exp exp y x p x dx F x p x dx C = − + ∫ ∫ ∫ 2 2.2 Persamaan Integral Bentuk umum persamaan integral, sebagaimana diberikan oleh Jerri 1985 adalah sebagai berikut. , , b x a h x y x f x K x t y t dt = + ∫ 3 Apabila bx=x, dan hx=1, maka persamaan 3 menjadi : , , x a y x f x K x t y t dt = + ∫ 4 Persamaan 4 disebut persamaan integral Volterra tak linear. Persamaan 4 selanjutnya akan ditinjau pada tulisan ini. Untuk mengubah bentuk persamaan integral Volterra tak linear menjadi bentuk linear, maka digunakan uraian deret Taylor. Jika, bentuk linear persamaan integral Volterra 4 diturunkan terhadap x, maka diperoleh suatu persamaan differensial biasa orde satu. Jika diberikan suatu nilai awal, maka diperoleh suatu masalah nilai awal. Salah satu cara numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut adalah metode iterasi Picard.

2.3 Uraian Deret Taylor