II LANDASAN TEORI
Untuk memahami metode linearisasi untuk persamaan integral Volterra tak linear yang
digunakan dalam karya tulis ini, diperlukan beberapa konsep berikut ini. Konsep
persamaan differensial dan metode iterasi Picard disarikan dari pustaka Kreyszig 1988.
Deret Taylor untuk fungsi beberapa variabel disarikan dari pustaka Handali dan Pamuntjak
1982.
2.1 Persamaan Differensial
Persamaan differensial merupakan suatu persamaan yang memuat turunan dari fungsi
satu atau lebih variabel terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika turunan fungsi
tersebut hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka persamaan differensial tersebut
dikatakan persamaan differensial biasa. Jika turunan fungsi tersebut bergantung pada lebih
dari satu variabel bebas, maka persamaan differensial tersebut dikatakan persamaan
differensial parsial.
Suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan differensial yang diberikan nilai
awal disebut masalah nilai awal. Sedangkan suatu masalah persamaan differensial yang
diberi nilai batas disebut masalah nilai batas. Terdapat tiga teknik penyelesaian persamaan
differensial biasa, yaitu integrasi langsung, pemisahan variabel, dan faktor integrasi.
Dalam karya ilmiah ini digunakan teknik faktor integrasi yang biasanya digunakan
untuk menyelesaikan persamaan differensial orde satu yang tak homogen.
Bentuk umum dari persamaan differensial biasa yang dapat diselesaikan dengan teknik
faktor integrasi adalah sebagai berikut. .
y p x y
F x +
= 1
Penyelesaian dari persamaan 1 dinyatakan dalam bentuk berikut.
exp exp
y x p x dx
F x p x dx C
= −
+
∫ ∫
∫
2 2.2 Persamaan Integral
Bentuk umum persamaan integral, sebagaimana diberikan oleh Jerri 1985
adalah sebagai berikut.
, ,
b x a
h x y x f x
K x t y t dt =
+
∫
3 Apabila bx=x, dan hx=1, maka persamaan
3 menjadi :
, ,
x a
y x f x
K x t y t dt =
+
∫
4 Persamaan 4 disebut persamaan integral
Volterra tak linear. Persamaan 4 selanjutnya akan ditinjau pada tulisan ini.
Untuk mengubah bentuk persamaan integral Volterra tak linear menjadi bentuk
linear, maka digunakan uraian deret Taylor. Jika, bentuk linear persamaan integral Volterra
4 diturunkan terhadap x, maka diperoleh suatu persamaan differensial biasa orde satu.
Jika diberikan suatu nilai awal, maka diperoleh suatu masalah nilai awal. Salah satu
cara numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut
adalah metode iterasi Picard.
2.3 Uraian Deret Taylor
Deret Taylor merupakan penyajian khusus deret pangkat dari suatu fungsi. Deret pangkat
dapat digunakan untuk mengintegralkan fungsi yang tidak mempunyai antiturunan elementer,
menyelesaikan persamaan differensial, dan
menghampiri fungsi dengan polinom. Bentuk umum uraian deret Taylor dari
suatu fungsi fx di sekitar x=a adalah .
n n
n
f a
f x x
a n
∞ =
= −
∑
Untuk fungsi tiga peubah Fx,y,z yang mempunyai turunan parsial sampai pada orde
ke n+1 dan kontinu pada daerah asalnya. Bentuk umum uraian deret Taylor fungsi
Fx,y,z di sekitar titik a,b,c adalah :
, , , , , ,
, , , ,
, , , ,
1 , ,
.....
n n
n n
n
F a b c F x y z
F a b c x a
x F a b c
F a b c y b
z c F a b c
y z
F a b c x a
x F a b c
y b n
y ∂
= + −
∂ ∂
∂ + −
+ − ∂
∂ ∂
− ∂
∂ + +
+ − ∂
, ,
n n
n n
F a b c z c
z ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
+ − ⎢
⎥ ∂
⎣ ⎦
Dalam tulisan ini akan digunakan bentuk linear fungsi Fx,y,z dengan menggunakan
dua suku dari deret Taylor fungsi Fx,y,z.
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
hampiran eksak
2.4 Metode iterasi Picard
Metode iterasi Picard merupakan suatu metode untuk menghasilkan suatu
penyelesaian secara numerik pada suatu masalah nilai awal. Misalkan diberikan
masalah nilai awal berikut.
, d y
f x y d x
=
, 5
dengan syarat awal
0 .
y x y
=
Penyelesaian hampiran dari masalah nilai awal 5 adalah:
1
,
x n
n x
y x y
f s y s ds
−
= +
∫
Untuk n bilangan asli, maka diperoleh barisan penyelesaian hampiran
1
y x
,
2
y x
,
3
y x
,…,
n
y x
,… Barisan penyelesaian hampiran tersebut akan
konvergen ke suatu fungsi yang menunjukkan penyelesaian dari masalah nilai awal 5.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 1 berikut.
Contoh 1.
Perhatikan masalah nilai awal
berikut.
2
, = 1 + y , f x y
6 dengan nilai awal 0
y = .
Penyelesaian eksak persamaan 6 adalah
t a n y x
x =
. Penyelesaian masalah nilai awal persamaan
6 dengan menggunakan metode iterasi Picard adalah sebagai berikut.
2 1
2 1
1 y
s ,
x n
n x
n
y s
ds x
y ds
− −
= +
= +
∫ ∫
7 Persamaan 7 dengan nilai awal yang
diberikan akan diperoleh iterasi Picard dari persamaan 6 sebagai berikut.
0, y
=
2 1
,
x
y x
ds x
= +
=
∫
2 3
2
1 s
, 3
x
y x
ds x
x =
+ = +
∫
2 3
3 3
5 7
1 3
1 2
1 ,
3 15
63
x
y x
s s
ds x
x x
x ⎛
⎞ =
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
+ +
∫
2 3
5 7
4 2
4 6
8 10
12 14
1 2
1 ,
3 15
63 2
17 342
3 45
2835 1206
4 1
, 42525
945 3969
x
y x
s s
s s
ds x
x x
x x
x x
x ⎛
⎞ =
+ +
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
+ +
+ +
+ +
∫
dan seterusnya. Perbandingan grafik penyelesaian eksak
dan hampiran dengan metode iterasi Picard pada masalah nilai awal 6 diberikan pada
Gambar 1.
Gambar 1. Grafik penyelesaian eksak dan hampiran metode iterasi Picard.
Gambar 1 menunjukkan bahwa penyelesaian hampiran dengan metode iterasi
Picard sangat dekat dengan penyelesaian eksak. Dalam tulisan ini akan digunakan
metode iterasi Picard untuk menentukan penyelesaian numerik dari masalah yang
dibahas.
III PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode
