� = sudut pada kabel radian � = beda potensial volt
�= pertimitivitas ruang hampa Fm � = jari – jari pada luar lingkaran m
�
= jari – jari di dalam lingkaran m
Bentuk batasan ini sesuai dengan batas kabel tipis untuk kerapatan muatan permukaan pada suatu toroida konduktor yang membawa arus konstan.
4.4. Vektor Poynting Di Sekitar Kabel
Selanjutnya dengan menentukan syarat batas untuk vektor Poynting di sekitar kabel, pada jarak yang pendek dibandingkan terhadap keliling kabel
2 π�. Untuk
perhitungan lengkungan rangkaian bisa diabaikan, dan dengan menggunakan pendekatan aproksimasi rangkaian dengan tak - hingga sepanjang silinder
konduktor. Pada bagian sebelumnya telah dilakukan beberapa pendekatan dalam menentukan medan listrik parallel terhadap kabel untuk mendapatkan suatu
keadaan kerapatan muatan permukaan. Yang mana juuga diperlukan keadaan untuk medan listrik normal terhadap konduktor yaitu arah radial medan listrik,
dan magnetik kabel tertutup. Kombinasi medan magnetik dengan arah radial dan medan listrik longitudinal, menghasilkan kedua komponen vektor Poynting di
sekitar kabel. Untuk keadaan arah radial medan listrik di luar suatu muatan kabel silinder
yaitu �
⊥
� = �
� �
� 4.13
dengan �= jarak dari sumbu silinder m
� = jarak dari sumbu dalam inti silinder m
� = rapat muatan permukaan Cm
3
Universitas Sumatera Utara
Sama halnya, medan magnetik di luar dan di sekitar silinder yang membawa arus konstan I diberikan oleh
� = �
2 ��
�
2
� 4.14
dengan B = medan magnetik T
I = arus yang masuk A c = kelajuan cahaya ms
� = jari - jari pada silinder m � = permitivitas ruang hampa Fm
Rangkaian fluks magnetik azimuthal di sekitar silinder, disebabakan oleh pengaruh medan magnetik normal pada arah radial dan kedua medan listrik
longitudinal. Maka, vektor Poynting parallel konduktor dengan jarak r dari sumbu �
||
= �
�
2
� × � = ��
4 ��
2
� − � ln
� 2
�� ��
� 4.15
Dan total energi yang mengalir per detik dari jarak pusat �
dan di luar r, sepanjang arah arus listrik, diberikan oleh
�
||
� ,
� = �
�� �
ln �
r �
� 4.16a ��
2 ln
r� ln
�� �
� � −
1 � 4.17b
di mana persamaan 4.17b, juga digunakan persamaan 4.12, untuk kerapatan muatan permukaan.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.5, Rangkaian memotong bidang sumbu x-y pada titik A dan B
Tinjaulah, sistem koordinat di atas, pada titik A dan B di mana bidang keliling yang memotong sumbu y seperti pada gambar 5.5. Pada sudut azimuthal
� = 3�2, sehingga aliran daya yang melalui daerah sempit di sekitar kabel pada titik A diberikan oleh
�
||, �
= + ��
4 ln
r� ln
�� 4.18
Aliran arus pada titik A masuk ke dalam bidang sumbu x-y dan �
||, �
yaitu positif menyatakan aliran energi sepanjang arah arus yaitu jauh dari baterai. Pada titik B,
sesuai dengan sudut � = �2, dan aliran rata-rata energi diberikan oleh
�
||, �
= −
�� 4
��r� ����
4.19 besar vektor Poynting pada titik A dan B sama, dua-duanya simetri. Tanda negatif
pada titik B menyatakan aliran yang berlawanan terhadap arah aliran listrik, yaitu dalam bidang sumbu x-y dan jauh dari baterai pada titik A.
Selanjutnya jarak pada kabel ditetapkan �
→ 0, dan r menuju tak - hingga R. Persamaan 4.18 dan 4.19 pada
�
||, �
dan �
||, �
berperan untuk +VI4, dan aliran energi yang melalui bidang x-y sepasang lingkaran dengan jarak
� ≫ � di
pusat titik A dan B ialah �
bidangyz
= ��
2 4.20
Hasil pada persamaan 4.20 yaitu sama dengan setengah energi yang dihasilkan per detik oleh baterai, sebab bidang sumbu y-z memotong setengah pada keliling
lingkaran. Selanjutnya ambil r sembarang lebih kecil tidak sama dengan nol, sepanjang
� → 0. Sehingga ketebalan kabel dapat diabaikan, hampir semua
aliaran energi diuraikan oleh vektor Poynting yang terjadi dalam suatu silinder tipis sembarang di sekitar kabel.
Untuk meninjau perpindahan aliran energi di sekitar permukaan kabel, tinjaulah daerah berbentuk-cincin
� ≪ � ≪ �
+ ℎ, di mana 0 ≪ ℎ ≪ �
≪ �. Daya dialirkan melalui daerah annular ini menjadi
�
||
�, � =
�� 4
ℎ� ln
�� �
� � −
1 � 4.21
Universitas Sumatera Utara
dengan P = vektor Poynting Wm
2
V = beda potensial volt I = arus yang masuk A
� = jarak dalam cincin kabel m
� = sudut pada kabel radian
persamaan 4.21, menunjukkan bahwa jumlah energi yang mengalir melalui suatu daerah annular dengan ketebalan h mendekati permukaan kabel yang
bertambah secara linear dengan h. Sebagian besar daya total dalam rangkaian yaitu dialirkan pada jarak
ℎ~� ln
�� dari kabel dengan jarak
� , yaitu jarak
yang lebih besar dari kabel. Vektor Poynting menurun sebagai invers kuadrat jarak dari sumbu kabel,
� = � +
ℎ, seperti terlihat pada persamaan 4.15. Berikutnya komponen lain vektor Poynting di sekitar kabel. Jika
dikombinasikan persamaan 4.5, untuk medan listrik parallel dan persamaan 4.14, untuk medan magnetik rangkain tertutup di sekitar kabel, dan menentukan
komponen vektor Poynting tegak lurus terhadap kabel, maka �
⊥
= ��
4 �
2
�� 4.22
oleh karena itu, daya per satuan panjang yang mengalir ke dalam kabel ialah �
⊥
= ��
2 ��
4.23 yang sama pada semua titik sepanjang kabel.
Hal ini daya dapat dengan mudah diperlihatkan pada persamaan 4.23, menjadi identik dengan persamaan 4.4, untuk semua titik di sekitar permukaan
kabel lurus. Jika diintegrasikan seluruh rangkaian, energi total yang mengalir per detik dalam kabel yaitu VI, sesuai dengan hasil yang diharapkan.
4.5. Medan Listrik Yang Diakibatkan Oleh Suatu Rangkaian Tertutup
