dengan P = vektor Poynting Wm
2
V = beda potensial volt I = arus yang masuk A
� = jarak dalam cincin kabel m
� = sudut pada kabel radian
persamaan 4.21, menunjukkan bahwa jumlah energi yang mengalir melalui suatu daerah annular dengan ketebalan h mendekati permukaan kabel yang
bertambah secara linear dengan h. Sebagian besar daya total dalam rangkaian yaitu dialirkan pada jarak
ℎ~� ln
�� dari kabel dengan jarak
� , yaitu jarak
yang lebih besar dari kabel. Vektor Poynting menurun sebagai invers kuadrat jarak dari sumbu kabel,
� = � +
ℎ, seperti terlihat pada persamaan 4.15. Berikutnya komponen lain vektor Poynting di sekitar kabel. Jika
dikombinasikan persamaan 4.5, untuk medan listrik parallel dan persamaan 4.14, untuk medan magnetik rangkain tertutup di sekitar kabel, dan menentukan
komponen vektor Poynting tegak lurus terhadap kabel, maka �
⊥
= ��
4 �
2
�� 4.22
oleh karena itu, daya per satuan panjang yang mengalir ke dalam kabel ialah �
⊥
= ��
2 ��
4.23 yang sama pada semua titik sepanjang kabel.
Hal ini daya dapat dengan mudah diperlihatkan pada persamaan 4.23, menjadi identik dengan persamaan 4.4, untuk semua titik di sekitar permukaan
kabel lurus. Jika diintegrasikan seluruh rangkaian, energi total yang mengalir per detik dalam kabel yaitu VI, sesuai dengan hasil yang diharapkan.
4.5. Medan Listrik Yang Diakibatkan Oleh Suatu Rangkaian Tertutup
Pada bagian 4.4, telah dibahas sifat vektor Poynting dan aliran energi di sekitar kabel. Berikut akan dibahas vektor Poynting secara umum, dengan menganggap
bahwa jarak R rangkaian yaitu sangat panjang jika dibandingkan dengan jarak
Universitas Sumatera Utara
kabel �
. Persamaan berikut berkaitan dengan dua pernyataan yang berbeda untuk muatan pada elemen kabel:
2 ��
��� = ��
� ln
�� �
� ∅ − ��� 4.24
Dengan menggunakan persamaan 4.12 untuk kerapatan muatan permukaan �
pada kabel. Persamaan ini mudah didefenisikan sebagai � ≡ ��
�ln�� .
Potensial elektrostatik yang sembarang pada titik � = �, �, � dalam sistem
koordinat bola gambar 6 sebagai berikut.
ɸ�, �, � = �
4 ��
� �
′
− ���
′
��
2
+ �
2
− 2������cos� − �
′ 2
�
4.25 dan dalam sistem koordinat kartesian
ɸ�, �, � = �
4 ��
� �
′
− ���
′
��
2
+ �
2
+ �
2
+ �
2
− 2��cos�
′
− 2��sin�
′ 2
�
4.26 Maka
��, �, � =
� 4
�� � ��
′
�
′
− �[� − �cos�
′
�� + � − �����
′
�� + ���] �
2
+ �
2
+ �
2
+ �
2
− 2��cos�
′
− 2��sin�
′ 32
2 �
4.27
dengan � = rapat muatan pada kabel Fm
3
� = jarak pada rangkaian listrik m �
2
= jarak panjang pada sistem koordinat kartesian m �
2
= jarak sistem koordinat kartesian pada sumbu xm �
2
= jarak sistem koordinat kartesian pada sumbu y m �
2
= jarak sistem koordinat kartesian pada sumbu z m � = permitivitas ruang hampa Fm
Medan magnetik pada setiap titik dapat diperoleh sebagai
� = � × � dari
potensial vektor sebagai berikut,
�
∅
�, �, � = �
�� 4
� � cos
�
′
��
′
�
2
+ �
2
− 2��sin�cos�
′ 12
2 �
4.28
Universitas Sumatera Utara
dengan �, �, � = fungsi pada koordinat bola
� = vektor Poynting Wm
2
� = arus yang masuk A � = jarak pada rangkaian listrik m
y
x z
P
Q A
O
Gambar 4.6, Rangkaian tertutup dengan hambatan yang sama
4.6. Vektor Poynting Pada Rangkaian Yang Lebih Besar Dari R
Untuk melakukan pengujian bahwa lengkungan kabel berperan kecil terhadap perubahan vektor Poynting untuk suatu rangkaian yang lebih besar dengan jarak
R, akan ditinjau kabel tipis tak-hingga. Dengan meletakkan suatu titik pada sumbu x pada jarak h lebih kecil dari kabel, yaitu pada jarak R + h dari daerah titik asal
sepanjang sumbu x negatif. Titik koordinat ini adalah -R-h,0,0. Berikut akan dievaluasi persamaan 4.27 dan menentukan medan listrik pada titik -R-h,0,0
yaitu parallel terhadap sumbu y diberikan oleh �
�
−� − ℎ, 0,0 =
� 4
�� �
2
�2�� � �
ℎ� − � + 3
��4 − ℎ
� + 3
ℎ � �� �
ℎ ��
+ � �
ℎ
2
�
2
�� 4.29a
= �
2 ��
�
2
�� � 8
� �
�2
ℎ � �1 + � �
ℎ ���
4.30b
Universitas Sumatera Utara
Dengan melakukan perhitungan yang sama untuk titik pada jarak h dari pusat kabel tipis lurus tak - hingga dengan panjang
2 ��, diperoleh:
�
||
= �
′
4 ��
�
2
�2�� � �
ℎ� + 2 ln2
� − 2 + � � ℎ
2
�
2
�� 4.31a
= �
′
2 ��
�
2
�� � 2
�� �ℎ � �
1 + � �
ℎ
2
�
2
ln �ℎ��
4.32b dengan
�
||
= medan listrik sejajar voltm � = rapat muatan permukaan Cm
3
� = jarak dari titik asal kabel m ℎ = jarak dari titik asal kabel m
� = muatan elektron C
Jika dibandingkan persamaan 4.30b dan 4.32b, harus disamakan syarat batas utama, sebabkabeldiasumsikan tipis tertutup dan lurus yaitu dihubungkan
terhadap baterai dengan tegangan V yang sama. Bahwa perubahan lingkaran dinotasikan OhR, terdapat bahwa kabel tipis tertutup tak - hingga dan tidak
terdapat pada kabel tipis lurus tak - hingga. Perubahan lingkaran ini dianalogi dengan
�� � proses perubahan untuk sebuah toroida dengan jarak �
. Juga diketahui bahwa
� = [1 + �1ln�ℎ]�
′
, yaitu kerapatan muatan diperlukan untuk menghasilkan suatu tegangan V yang berkurang sepanjang kabel tertutup
dengan panjang 2
�� yaitu sama dengan kerapatan muatan yang diperlukan untuk menghasilkan tegangan V berkurang sepanjang kabel lurus, yang panjangnya
sama dengan � → ∞.
Selanjutnya, meninjau peristiwa apa yang terjadi di pusat lingkaran, yaitu pada titik asal 0,0,0, berikut
� = �
′
2 ��
�
2
�� =
� 2
��� �� �
� �� 4.33
Dan untuk medan magnetik diberikan oleh
Universitas Sumatera Utara
� = − �
� 2
� � � 4.34
Demikian juga vektor Poynting di pusat rangkaian yaitu diarahkan sepanjang diameter utama dari baterai dan besarnya
S = ��
4 �
2
�� 4.35
Bahwa �
→ 0, ruas sisi kanan persamaan 4.35 mendekati nol. Perilaku ini sesuai dengan hasil sebelumnya untuk kabel yang sangat kecil, dan aliran energi
tetap di sekitar kabel, berkurang dengan cepat menuju nol jauh dari kabel. Sekarang akan ditinjau karakteristik vektor Poynting dari yang jauh dari
daerah asal. Pada jarak � ≫ � medan listrik menurun 1 �
3
� , dan diperlukan bentuk asimtotik.
�� = ���� ∙ �� − �
4 ��
�
3
4.36 dengan
p = momen dipol listrik pada rangkaian
E = medan listrik voltm
� = permitivitas ruang hampa Fm �� = arah momen dipol listrik
� = jarak pada kabel m
Dari persamaan 4.27, maka diperoleh � = −
2 πV�
�
2
ln ��
�� 4.37 Di mana tanda negatif menunjukkan bahwa momen diarahkan sepanjang sumbu y
negatif. Sehingga medan listrik dapat diketahui keadaannya �� =
V �
2
ln ��
� �
r �� − 3y��
2 �
4
4.38
persamaan 4.38, dapat juga diperoleh secara langsung dari potensial skalar dalam momen dipol dengan kerapatan muatan yang diberikan oleh persamaan
4.9. Medan magnetik untuk � ≫ �
menurun dengan cara yang sama invers kubik jarak, sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
�� = μ
�
2
���� − 3z�� 4
�
4
4.39
Dengan mengkombinasikan persamaan 4.38 dan 4.39 maka diperoleh persamaan
� = � �
2
� x � = V
�
2
ln ��
� �
r �� − 3y��
2 �
4
x μ
�
2
�r�� − 3z�� 4
�
4
� = � �
2
� × � ���
4
8 �
6
ln ��
� �
��1 − 3 �
2
�
2
− 3 �
2
�
2
� �� + � 3
�� �
2
� �� + � 3
�� �
2
� ��� 4.40
atau sama halnya � =
���
4
8 �
6
ln ��
� �
[1 − 3sin
2
�sin
2
� − 3cos
2
��� + 3sin
2
�sin�cos���]
+3sin �cos�cos��� 4.41
dengan
S = vektor Poynting Wm
2
V = beda potensial volt R = jarak pada daerah asal kabel m
r = jarak pada daerah dalam inti kabel m � = sudut pada kabel radian
� = medan magnetik T
Telah diperoleh hasil bahwa jarak yang cukup panjang dari rangkaian, vektor Poynting berkurang sebagai invers seper - enam daya jarak. Dengan mengamati
setiap titik pada sistem sumbu koordinat tiga - dimensi S yaitu diarahkan
sepanjang atau sejajar terhadap sumbu x.
Vektor Poynting S dalam bidang x-y yang terdapat kabel melingkar, di mana S dapat ditulis
� = � �
2
��
�
�
�
�� − �
�
�
�
��� 4.42
Di mana E dalam bidang sumbu x-y oleh persamaan 4.27 dengan z=0,
Universitas Sumatera Utara
��, � = ��
4 � ln ��
� �
� ��
′
�
′
− �[������
′
�� + y − �����
′
��] [
�
2
+ �
2
+ �
2
− 2������
′
+ �����
′
]
32 2
�
4.43
Dan B oleh curl persamaan 4.28,
��, � = − �
�
���
�
�� �
�� = − �
� 4
�� � � � ��
′ 2
π
cos �
′
1 − �� ����
′
�1 + �
2
�
2
− 2 �� cos�
′
�
32
4.44
dengan
B = medan magnetik T
� = permeabilitas ruang hampa Hm
I = arus yang masuk A R = jarak pada daerah asal kabel m
� = sudut pada kabel radian � = jarak pada daerah dalam inti kabel m
Gambar 4.7, Plot logaritma vektor Poynting pada bidang rangkaian tertutup
Pada Gambar 4.7, menunjukkan vektor Poynting untuk rangkaian tertutup dengan hambatan yang sama. Baterai pada sumbu x. Dari persamaan
4.15 perhatikan bahwa komponen vektor Poynting parallel dengan kabel pada jarak r dari sumbu kabel yaitu sebanding dengan 1r
2
. Di sekitar permukaan kabel,
Universitas Sumatera Utara
� ~ � , komponen sejajar
�
||
diberikan pada persamaan 4.15 akan lebih besar jika dibandingkan dengan komponen tegak lurus yang diberikan oleh persamaan
4.22, sepanjang kabel tipis �
≪ �. Sehingga hampir semua tanda panah pada gambar 4.7 yaitu sejajar dengan rangkaian. Persamaan 4.15, menunjukkan
bahwa �
||
juga sebanding dengan kerapatan muatan �, yang bervariasi ∅ − �.
Sehingga dalam daerah secara langsung berlawanan dengan baterai, ∅ ≈ � ,
komponen sejajar �
||
, lebih kecil dibandingkan dengan komponen tegak lurus �
⊥
, yang memiliki nilai yang sama di semua titik sepanjang rangkaian persamaan
4.22, bahwa point mendekati titik tengah, arah panah tegak lurus dengan kabel, sebagaimana yang diatur oleh simetri rangkaian.
Gambar 4.8, Menunjukkan bidang garis - garis ekipotensial pada rangkaian toroida Himpunan Fisikawan Amerika, Hak Cipta, 2003. Baterai berada di
sebelah kiri, dan garis - garis ekipotensial bersamaan dengan arah medan vektor Poynting, menuju keluar dari baterai. Di dalam badan toroida aliran – aliran
energi menuju ke dalam permukaan luar dan keluar dari permukaan inti, energi makin berkurang menuju - nol dibagian inti.
Gambar 4.8, menunjukkan garis - garis ekipotensial dalam toroida. Gambar 4.8 torus menunjukkan rangkaian dengan suatu baterai di sebelah kiri,
dan resistansi sama per satuan panjang. Garis - garis ekipotensial bersamaan dengan arah vektor Poynting pada setiap titik daerah bidang x-y, sebab kedua
normal terhadap medan listrik dalam bidang x-y yang melewati titik itu. Dengan
Universitas Sumatera Utara
demikian gambar 4.8, arah besar tidak sesuai dengan vektor Poynting di dalam dan di luar rangkaian. Di sekitar ruang kosong toroida, vektor Poynting yaitu
diarahkan langsung dari baterai ke titik - titik permukaan toroida. Di dalam badan kabel toroida, anggaplah bahwa arus tidak nol di dalam ruang kabel, titik - daerah
vektor Poynting dari permukaan kabel ke ruang kabel. Secara khusus, titik – titik vektor Poynting dalam dari permukaan luar pada jarak R + r
dari pusat rangkaian dan keluar dari permukaan inti pada jarak R-r
, vektor Poynting konstan menurun ketika berpindah ke dalam ruang kabel dan menuju nol di dalam kabel. Sifat aliran
energi elektromagnetik suatu rangkaian toroida dapat dibandingkan dengan hasil yang diperoleh padakabel tipis gambar 4.7.
4.7. Integral Umum
