Principal Component Analysis PCA Singular Value Decomposition SVD

7

2.2. Principal Component Analysis PCA

Menurut [6] PCA merupakan salah satu metode interdependent, yaitu metode di mana data yang digunakan bersifat setara atau tidak terdapat variabel dependent atau independent. Tujuan utama dari metode interdependent adalah mengetahui bagaimana hubungan antar variabel tersebut. PCA digunakan sebagai teknik untuk membentuk variabel baru yang merupakan kombinasi linear dari variabel awal dengan cara mereduksi atau meringkas variabel-variabel tersebut, sehingga jumlah variabel yang terbentuk menjelaskan sebagian besar variansi yang terdapat dalam data. Variabel baru yang terbentuk disebut dengan Principal Component PC dengan jumlah PC maksimum yang dapat dibentuk adalah kurang dari atau sama dengan variabel awal. Namun variabel-variabel baru atau PC tersebut masih memuat sebagian besar dari informasi yang terdapat dalam data. PC yang terbentuk tersebut saling tidak berkorelasi satu dengan yang lainnya. Fungsi PCA mengekspresikan hubungan antara ξ i , w ij dan x i yang dapat dituliskan dalam persamaan sebagai berikut: ξ i = w p1 x 1 + w p2 x 2 + ... + w pp x p 2.3 dengan : ξ i : PC ke-i dengan i = 1,2,3,...,p w p : Bobot untuk PC ke-i p : Banyaknya variabel 8

2.3. Singular Value Decomposition SVD

Biplot dikembangkan atas dasar penguraian nilai singular Singular Value Decomposition, SVD. Dalam hal ini SVD membantu untuk memahami struktur data matriks secara lebih baik. Menurut [6] misalkan suatu matriks data X berpangkat r berukuran n p yang berisi n pengamatan dan p peubah dikoreksi terhadap nilai rataannya, maka matriks tersebut dapat diuraikan menjadi : X=ULA′ 2.4 Dimana : X = Matriks data berukuran n p yang dikoreksi dengan nilai tengahnya U = Matriks berukuran n r yang kolom-kolomnya disebut vektor singular kolom yang merupakan landasan orthonormal kolom-kolom matriks dalam ruang dimensi n L = Matriks diagonal berukuran r r dengan unsur diagonal utamanya adalah nilai singular matriks X, yaitu akar kuadrat dari nilai eigen matriks X’X A = Martiks berukuran p ×r yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen dari matriks X’X. kolom-kolom matriks A disebut vektor singular baris yang merupakan landasan orthonormal kolom-kolom matriks X dalam ruang dimensi p Menurut [9] dengan U dan A adalah matriks orthonormal, dimana U’U=A’A=I X’X=I dan XX= I, U adalah kolom dari A’ berisi eigenvektor dari matriks X’X dan matriks 9 diagonal dari L yang berisi akar kuadrat dari nilai eigen X’X atau XX’, sehingga � 1 � 2 ⋯ � 1 . Unsur-unsur diagonal matriks L ini disebut nilai singular dari matriks X. Dan kolom-kolom matriks A adalah vektor eigen dari X’X atau XX’ yang berpadanan dengan �.

2.4. Analisis Biplot