9 diagonal dari L yang berisi akar kuadrat dari nilai eigen
X’X atau XX’, sehingga �
1
�
2
⋯ �
1
. Unsur-unsur diagonal matriks L ini disebut nilai singular dari matriks X. Dan kolom-kolom matriks A adalah vektor eigen dari
X’X atau XX’ yang berpadanan dengan
�.
2.4. Analisis Biplot
Menurut [3] analisis biplot adalah suatu metode multivariat yang menggunakan baris dan kolom dalam suatu grafik. Metode ini digunakan untuk menampilkan objek
dan variabel-variabel di grafik yang sama dengan menumpangtindihkan antara plot variabel-variabel dengan objek yang diteliti. Biplot merupakan teknik statistik
deskriptif dimensi ganda yang dapat menyajikan secara simultan segugus objek pengamatan dan peubah dalam suatu grafik pada suatu bidang datar sehingga ciri-ciri
peubah dan objek pengamatan serta posisi relatif antara objek pengamatan dengan peubah dapat dianalisis.
2.4.1. Informasi Pada Biplot
Menurut [9] informasi yang diberikan oleh biplot mencakup objek dan peubah dalam satu gambar, sehingga disebut biplot. Dari tampilan biplot tersebut ada
beberapa informasi yang dapat diperoleh, yaitu:
10 1. Kedekatan antar objek atau kedekatan letak posisi dua buah objek
diinterpretasikan sebagai kemiripan sifat dua objek. Semakin dekat letak dua buah
objek maka sifat yang ditunjukkan olehm nilai-nilai peubahnya semakin mirip.
2. Panjang vektor peubah sebanding dengan keragaman peubah tersebut. Semakin panjang vektor peubah maka keragaman peubah tersebut semakin tinggi.
3. Nilai sudut antara dua vektor peubah menggambarkan korelasi kedua peubah. Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua peubah maka semakin tinggi
korelasinya. Jika sudut yang dibuat tegak lurus maka korelasi keduanya rendah. Sedangkan jika sudutnya tumpul berlawanan arah maka korelasinya negatif.
4. Nilai peubah pada suatu objek dapat menginformasikan keunggulan dari setiap objek. Objek yang terletak searah dengan arah dari suatu peubah maka nilai
peubah objek tersebut diatas nilai rata-rata, dan sebaliknya.
2.4.2.Faktorisasi Matriks
Menurut [9] suatu biplot dapat dibangun dari suatu matriks data, dimana masing-masing kolom mewakili suatu variabel, dan masing-masing baris mewakili
objek penelitian. Matriks X memuat variabel-variabel yang akan diteliti sebanyak p dan objek
penelitian sebanyak n. Dari matiks X akan dibentuk matriks F dan G sebagai berikut : Maka unsur ke-i,j matriks X dapat dituliskan sebagai berikut :
� = ′ 2.5
11 Dimana
′=1,2,3,…n dan = 1,2,3,…,p masing-masing merupakan baris-baris
matriks F dan G. Jika X berpangkat dua, maka vektor pengaruh baris dan vektor
pengaruh lajur dapat digambarkan secara pasti dalam ruang berdimensi dua.
′ dan ′ keduanya mempunyai r buah elemen dan jika X mempunyai rank dua r
=2, maka F dan G masing-masing berukuran × 2 dan p×2, sehingga F dan G
semuanya dapat diplot dalam ruang dimensi dua secara bersamaan. Dengan penjabaran Persamaan 2.4 menjadi:
� =
� 1−�
A 2.6
Jika didefinisikan F =
��
�
berukuran n ×r dan
�
′
= �
�−�
�′ berukuran rxp, r adalah
rank matriks data X dan α 1 Persamaan 2.6 dapat ditulis :
X =
′ 2.7
Dengan X=
pr r
r p
p
nr n
n r
r
np n
n p
p
g g
g g
g g
g g
g
f f
f f
f f
f f
f
x x
x x
x x
x x
x
2 1
2 22
12 1
21 11
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
Matriks F adalah titik-titik koordinat dari n objek dan matriks G adalah titik-titik koordinat dari p variabel.
Menurut [8] dalam pendeskripsian biplot nilai scalar � yang muncul dalam
pendefinisian F dan G dapat mengambil nilai sembarang antara 0 dan 1{0 � 1 },
dan tetap memakai faktorisasi pada Persamaan 2.6. Dua nilai
� , � = 0 dan � = 1 memiliki interpretasi tertentu yang berguna bagi biplot. Pemilihan
� = 0 adalah untuk memudahkan melihat keragaman variabel dan
12 kedekatan antar objek. Secara matematis keragaman variabel dan kedekatan antar
objek diuraikan sebagai berikut: Jika
� = 0 maka F=U dan G=AL ini berarti X’X = FG’’FG’
= GF’FG’ = GU’UG’
= GG ’
U adalah orthogonal, sementara XX ’ = GG’ = n-1S, S adalah matriks variansi
kovariansi sampel. maka hasil kali
′ akan sama dengan n-1 kali kovariansi S
jk
dan ′
menggambarkan kovariansi peubah ke-k. Oleh karena itu korelasi antara peubah ke-j dan ke-k ditunjukan oleh nilai kosinus sudut antara vektor dan .
. =
cos � cos
� =
.
=
′
= =
= Dimana:
S
jk
: adalah kovariansi peubah ke-k : korelasi peubah ke-k
pada saat � = 0 juga memenuhi sifat bahwa jarak Euclid antara objek pengamatan
ke-h dan ke-i dalam biplot. Jika
� = 1, maka F=UL dan G=A sehingga diperoleh hubungan: XX’ = FG’FG’’
= FG’GF
13 = FA’AF’
= FF’ Pada keadaan ini jarak Euclid antara objek pengamatan ke-h dan ke-i, selain itu
vektor pengaruh baris ke-i sama dengan skor komponen utama. Jika
� = 0.5, maka F=UL
12
dan G=L
12
A sehingga diperoleh hubungan : X=FG’
X=UL
12
L
12
A’=ULA’ Menyatakan bahwa hasil kali vektor pengaruh baris objek dan vektor pengaruh lajur
peubah sama dengan unsur-unsur matriks X. Biplot dengan � = 0.5 dapat
digunakan sebagai pilihan untuk menggambarkan tebaran gabungan vektor-vektor objek dan peubah.
14
BAB III METODELOGI PENELITIAN
3.1. Metode Pengumpulan Data
