TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL
Memahami konsep dasar statistik dan probabilitas Memahami metodemetode Pengendalian Mutu Statistik.
2.1 Konsep Dasar Statistik Dan Probabilitas
Dalam mempelajari statistika, pada dasarnya berkepentingan dengan penyajian dan penafsiran kejadian yang bersifat peluang yang terjadi dalam suatu penyelidikan yang terencana ataupun penelitian ilmiah. Metoda statistik adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data. Metoda-metoda tersebut secara garis besarnya dapat dikelom-pokkan menjadi 2 (dua) kelompok, yaitu : statistik deskriptif dan statistik inferensia. Statistik deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan
penyajiaan suatu gugus data sehingga memberikan informasi, tetapi tidak menarik kesimpulan apapun tentang gugus data induknya yang lebih besar (populasi).
Statistik inferensia adalah mencakup semua metode yang berhu-bungan dengan analisis sebagian data (sampel) untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data induknya.
Generalisasi yang berhubungan dengan inferensia statistik selalu mempunyai sifat tidak pasti, karena kita mendasarkan pada informasi parsial yang diperoleh dari sebagaian data. Untuk memperhitungkan ketidakpastian ini, maka diperlukan pengeta-huan tentang peluang (probabilitas).
1. Distribusi Frekuensi
Ciri-ciri penting sejumlah data dengan segera dapat diketahui melalui pengelompokan data tersebut ke dalam beberapa kelas, dan kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Susunan demikian ini, dalam bentuk tabel disebut distribusi frekuensi.
Langkah-langkah dalam menyusun distribusi frekuensi: Banyak Kelas (K) Banyak kelas yang ideal antara 1 s/d 15 Pendekatan yang cukup baik dan sering digunakan adalah: K = 1 + 3.3 log n, dimana n menyatakan banyaknya data.
Range (R), yaitu selisih antara data tertinggi dengan data terendah. R = data terbesar – data terkecil Lebar Interval (I) : I = R / K Limit Kelas
Limit kelas ditentukan sedemikian hingga mempunyai lebar yang sesuai dengan lebar interval.
Membuat kolom untuk interval kelas, titik tengah, frekuensi, frekuensi kumulatif, frekuensi relative, dll. (lihat table 1). Batas Kelas : didefinisikan sebagai jumlah limit kelas atas dan limit kelas bawah dari kelas berikutnya dibagi dua.
Untuk lebih jelasnya diberikan contoh tentang nilaI ujian statistik dari 65 mahasiswa. Contoh 1.1 :
Langkah-langkah dalam menyusun distribusi frekuensi untuk contoh 1.2 : R = 83 – 37 = 46 K = 1 + 3.3 log 65 = 6.98 ~7
I = 46 : 7 = 6.671 ~7 Limit Kelasnya diperoleh :
Tabel 1 : Distribusi frekuensi dari contoh diatas
Interval
Frekuensi Frekuensi Kelas
Relatif Kuml-Relf
Batas kelas untuk contoh diatas : 36.5 ; 43.5 ; 50.5 ; 57.5 ; 64.5 ; 71.5 ; 78.5 ; 85.5
Ukuran Statistik Bagi Data
Ukuran statistik bagi sekumpulan data meliputi: Ukuran pemusatan data Ukuran penyebaran data
2a. Ukuran Pemusatan Data
Adalah suatu nilai yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diranking yang meliputi: Mean; Median; Modus. Mean / Rata-rata ( )
Untuk data tunggal :
Apabila terdapat n data yang dinyatakan dengan X1, X2, …, Xn. Maka rata-ratanya adalah:
Contoh 1.2 Umur dari 11 mahasiswa ITN adalah sebagai berikut:
Maka rata-rata dari umur 11 mahasiswa ITN adalah : ( )= =50.64
Untuk data yang dikelompokkan :
Xi : adalah titik tengah kelas ke-i Fi : adalah frekuensi kelas ke-i
i = 1, 2, 3, ..., k Untuk contoh 1.1 didapat :
Median Median membagi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama. Frekuensi data yang dibawah median sama dengan frekuensi data yang diatas median. Untuk data tunggal :
Jika n ganjil, median =
dimana k = (n+1)/2
Jika n genap, median = (
)/2 dimana k = n/2
Dari contoh 1.2 diatas mediannya adalah 50
Untuk data yang dikelompokkan, maka mediannya adalah:
Med = Lmed + Dimana : Lmed
= batas bawah kelas median L
= lebar kelas interval N = banyaknya pengamatan fj = jumlah frekuensi semua kelas interval sebelum kelas median
F med = frekuensi kelas median Median dari tabel 1 adalah: Lmed = 57.5; i = 65; fj = 29; f med = 15 Median = 57.5 + 7 (32.5 – 29) / 15
Modus dari n data dengan X1, X2, . . . , Xn adalah nilai Xi yang paling sering muncul. Dari contoh 1.2 diatas Modusnya = 49 Modus dari n data yang telah dikelompokkan ialah:
Mo = Lmo + L Dimana Lmo : batas bawah kelas modus d1 : selisih frek. Kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 : selisih frek. Kelas modus denmgan kelas sesudahnya L : Lebar kelas interval Dari tabel 1 diperoleh: Lmo = 50.5 ; d1 = 6 ; d2 = 1 Sehingga modusnya: Mo = 50.5 + 7 [ 6 / (6+1) ] = 56.5
2b. Ukuran Penyebaran Data
Range Range adalah selisih dari data yang paling besar dengan data yang paling kecil.
Mean Deviasi (Simpangan rata-rata)
MD =
Bial datanya dikelompokkan,
MD =
Varian (dari sample) Varian dari data sample X1, X2, … , Xn didefinisikan sebagai :
Dari data pada contoh 1.2 variannya adalah:
Untuk data yang telah dikelompokkan dalam interval kelas maka variannya Untuk data yang telah dikelompokkan dalam interval kelas maka variannya
Dari data pada tabel 1 diperoleh :
2c. Beberapa Ukuran Penyebaran Lain
Kuartil (Q) Kuartil adalah titik atau nilai yang membagi sekelompok data menjadi empat bagian yang sam,a setelah data diurutkan sehingga didapatkan tiga buah kuartil yaitu kuartil
bawah ( ), kuartil tengah ( ) dan kuartil atas ( ). Apabila data dikelompokkan dalam interval kelas maka rumus median berlaku pula
untuk dan
sehingga :
Persentil Apabila terdapat n data X1, X2, … , Xn maka persentil ke-p adalah nilai X dimana p
persen data mempunyai nilai lebih kecil dari pada p, sedangkan (100 – p) persen lebih besar.
Apabila data dikelompokkan dalam interval kelas maka rumus median juga masih berlaku pula untuk persentil ke-p sehingga : P = Lp + (pn - fj) / fp
3. DISTRIBUSI PROBABILITAS
Variabel Random
Variabel random adalah suatu fungsi yang memasangkan suatu hasil yang mungkin terjadi dari sutu eksperimen dengan bilangan real. Ada dua macam variable random yaitu: Variabel random Diskrit, yaitu variable random yang nilainya bilangan bulat. Variabel random Kontinu, yaitu variable random yang nilainya bilangan real. Contoh 4.1
Pada pertandingan sepak bola, jumlah gol yang dicetak adalah variable random diskrit, sedangkan waktu yang diperlukan untuk mencetak gol adalah variable random kontinu.
Fungsi Probabilitas Variabel Random
Jika x suatu variable random, maka fungsi probabilitas dari x ditulis p(x) jika x diskrit, atau f(x) jukai x kontinu, yaitu fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut:
p(x) ≥ 0
, x kontinu
f(x) ≥ 0
, x kontinu
∑p(x) = 1
, x kontinu
∫f(x)dx = 1
, x kontinu
Funsi distribusi F(x) = P (X ≤ x) = ∑p(x)
, x diskrit
F(x) = P (X ≤ x) =
, x kontinu
Contoh 3.2 Sebuah uang logam dibebani sehingga prob. Muncul muka dua kali lebih besar dari pada belakang. Bila uang logam tersebut dilemparkan tiga kali. Carilah distribusi probabilitas banyaknya muka yang muncul. Jawab: Misal P(B) = a , maka P(M) = 2a S = {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB}
P(3M)
= (2a)
P(2M1B)
= 3 (2a) a
P(1M2B)
= 3 (2a) a
P(3B)
Karena p(x) = 1, maka 8
Jika menyatakan banyaknya muka yang muncul, maka data dihitung besarnya probabilitas masing-masing nilai x, yaitu:
P(X=x)
Distribusi Probabilitas Diskrit
3.3.a. Distribusi Bernouli
Percobaan bernouli adalah suatu percobaan yang hasilnya dapat digolongkan atas dua golongan : sukses dan gagal. Fungsi probabilitas bernouli mempunyai bentuk:
P (X=x) =
, x = 0.1
Dimana:
1 menyatakan sukses
0 menyatakan gagal p adalah probabilitas sukses q adalah probabilitas gagal
4.3.b. Distribusi Binomial
Jika percobaan bernouli dilakukan sebanyak n kali yang saling independent maka dikatakan sebagai percobaan Binomial. Ciri-ciri percobaan binomial: Percobaannya terdiri atas n ulangan/dilakukan sebanyak n kali Hasil setiap percobaan dapat digolongkan atas dua hal, misalnya sukses dan gagal Probabilitas sukses (p) dan probabilitas gaga (q), adalah konstan pada setiap
percobaan Antar percobaan bersifat saling independent Dan fungsi probabilitas Binomial adalah:
P (X=x) = n Cx Dimana : x = 0,1,2, . . . , n n = banyaknya percobaan p = prob. Sukses q = prob. Gagal x = banyaknya sukses p+q=1
Contoh 3.3 Tentukan probabilitas mendapatkan angka 2, sebanyak 3 kali, bila sebuah dadu dilemparkan 5 kali. Jawab: p = 1/6 q = 5/6 n=5 x=3 P (X=5) = 5C3 (1/6)3 . (5/6)2 = 0.032 Jadi probabilitas mendapatkan angka 2 sebanyak 3 kali adalah : 0.032
4.3.c. Distribusi Geometrik
Adalah distribusi yang dipergunakan untuk menghitung besarnya probabilitas keberhasilan untuk pertama kalinya pada ulangan yang ke-k dari percbaan bernouli. Dan diberikan menurut rumus:
G (k,p) = p . q k-1
; k = 1, 2, …, n
Contoh 3.4 Hitung probabilitas bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang logam membutuhkan 4 kali lemparan untuk mendapatkan hasil sisi gambar.
Jawab: p=½ q=½ k = 4 (dalam hal ini n = k) Jadi probabilitasnya = (1/2) (1/2)3 = 1/16
4.3.d. Distribusi Poisson
Percobaan poisson adalah suatu percobaan yang menghasilkan variable random x yang menyatakan banyaknya kejadian dalam suatu interval waktu tertentu atau dalam daerah tertentu. Sifat-sifat percobaan-percobaan poisson yaitu: Banyaknya kejadian dalam interval yang satu dengan interval yang lain saling bebas.
Probabilitas terjadinya satu kejadian dalam interval yang sangat pendek sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada kejadian diluar interval juga tidak
tergantung pd banyaknya kejadian diluar interval tersebut. Probabilitas terjadinya dua atau lebih kejadian dalam interval yang pendek dianggap sama dengan nol. artinya tidak mungkin terdapat 2 kejadian secara bersama-sama. Fungsi probabilitas poisson mempunyai bentuk sbb:
P (x; ) =
; dimana = n . p
Contoh 3.5 Rata-rata banyaknya tikus diluasan 5 meter persegi ialah 10 ekor. Hitung bahwa didalam suatu luasan 5 meter persegi tertentu ada lebih dari 15 ekor tikus. Jawab:
Daftar Pustaka :
Ronald E. Walpole, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Penerbit ITB, Bandung, 1995.
Grant E., Leavenworth R.S., Statistik Quality Control, Mc. Graw Hill, 1996. Douglas C. Montgomery; Introduction to Statistical Quality Control; John Willey & Sons,
Besterfield, D.H.; Quality Control; Prentice Hall, 1998.