33
1.9 Gerak Harmonik
Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, misalnya gerak pendulum sederhana. Osilasi bisa juga bergerak tidak beraturan, contoh
gerakan tanah saat terjadi gempa bumi. Jika gerakan terulang pada interval yang sama
, maka dinamakan gerak periodik. Waktu pengulangan tersebut disebut perioda osilasi, dan kebalikannya, f = 1
, disebut frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi xt, maka setiap gerak
periodik harus memenuhi hubungan xt = xt + . Bentuk gerak periodik
yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat diperagakan pada sebuah massa yang tergantung pada sebuah pegas ringan pada
mekanis
yoke Scotch
seperti terlihat pada Gambar 1.22. Pada sistem ini
crank
mempunyai jari-jari A, dan berpusat di O. Ujung
crank
yang satunya P bergerak dibatasi slot yang bergerak vertikal dan dibatasi R. Ketika
crank
berotasi dengan kecepatan sudut , ujung S juga bergerak sesuai slot
dan massa m pada sistem massa-pegas dari posisi tengah bergerak sejauh
x
fungsi waktu yang diberikan oleh 1.31
Besaran biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi
lingkaran. Karena gerak berulang dalam 2 radian, maka didapat
hubungan π
1.32 dengan
dan
f
adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut biasanya diukur dalam detik dan siklus per detik.
Gerakan massa merupakan sinusoidal seperti terlihat pada gambar 1.22. Kecepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh
1.33
34
dan percepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh π
1.34
Gambar 1.22 Mekanis Yoke Scotch
Jadi kecepatan dan percepatan juga harmonik dengan frekuensi osilasi yang sama, tetapi mendahului simpangan, berturut-turut dengan
2 dan
radian. Gambar 1.23 menunjukkan baik perubahan terhadap waktu maupun hubungan fasa vektor antara simpangan, kecepatan dan percepatan
pada gerak harmonik.
35
Gambar 1.23 Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan
mendahului simpangan dengan dan 2
Peninjauan kembali persamaan 1.31 dan 1.34 menunjukkan bahwa
1.35 sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan
simpangan dan arahnya menuju titik asal. 1.9.1
Besaran vektor untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik
Getaran harmonik dapat direpresentasikan oleh vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan
besar A yang bergerak berputar dengan kecepatan konstan , seperti
terlihat pada Gambar 1.24.
36
Proyeksi vektor ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ pada sumbu vertikal diberikan oleh 1.36
dan untuk proyeksi terhadap sumbu horizontal diberikan oleh
1.37
Gambar 1.24 Getaran harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang
bergerak pada lingkaran
37
1.9.2 Bentuk Eksponensial dan Bilangan Kompleks untuk
Merepresentasikan Getaran Harmonik Fungsi trigonometrik sinus dan cosinus dihubungkan dengan
fungsi eksponensial oleh persamaan Euler 1.38
Suatu vektor dengan amplitudo A yang berputar dengan kecepatan sudut tetap
dapat dinyatakan sebagai besaran komplek dalam diagram Argand seperti terlihat dalam Gambar 1.25.
Gambar 1.25 Diagram Argan
1.39 1.40
1.41 dengan
, dan
y imajiner
x riil a
b A
t
38
Besaran disebut sinusoid komplek dengan a dan b adalah komponen riil
dan imajiner. Besaran juga memenuhi persamaan untuk gerak
harmonik. 1.10
Gerak Periodik
Pada getaran biasanya beberapa frekuensi yang berbeda ada secara bersama-sama. Contoh getaran dawai biola terdiri dari frekuensi dasar
f
dan semua harmoniknya 2
f
, 3
f
dan seterusnya. Getaran semacam ini menghasilkan bentuk gelombang komplek yang diulang secara periodik
seperti Gambar 1.26. Matematikawan Perancis J. Fourier 1768
– 1830 menunjukkan bahwa tiap gerak periodik dapat dinyatakan oleh deretan sinus dan cosinus
yang dihubungkan secara harmonik. Jika xt adalah fungsi periodik dengan perioda
, maka fungsi ini dinyatakan oleh deret Fourier.
∑ 1.42
di mana = 2 dan a
, a
1
, a
2
….a
n
, b
1
, b
2
,….b
n
adalah koefisien konstan. Untuk menghitung koefisien a
n
dan b
n
, dengan mengalikan cos n t dan sin
n t kedua ruas persamaan 1.42, serta mengintegrasikan dengan satu
perioda = 2. Dengan mengingat hubungan berikut
∫ {
}
∫ {
} 1.43
39
∫ maka semua suku kecuali satu pada ruas kanan persamaan adalah nol, dan
diperoleh hasil,
∫ ∫
∫ ∫
1.44 ∫
∫
Gambar 1.26 Gerak periodik dengan perioda
Contoh soal 1.5 Jika yt diketahui seperti Gambar 1.27, maka cari persamaan getaran
untuk xt.
40
Gambar 1.27 Sistem
Cam-follower
Jawab :
E.1 Dari Gambar 1.27b diperoleh yt = Y t
; 0 t , di mana Y = amplitudo maksimum y.
41
Dari dimensi
rocker arm
, diperoleh hubungan E.2
dan xt = X t ; 0 t , di mana X adalah amplitudo maksimum x.
dengan menggunakan persamaan 1.44 diperoleh ∫
∫ E.3
∫ ∫
∫ Rumus integral
∫
E.4
∫ ∫
2 2
2
sin sin
sin
tdt n
t X
tdt n
t X
tdt n
dt t
x b
n
42
∫
Rumus integral ∫
E.5 Jadi
∑ ∑
∑
di mana
sehingga
43
BAB II
GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN
Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa rangsangan luar.
Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi natural getarannya. Sasaran kita di sini adalah belajar menulis persamaan
geraknya dan menghitung frekuensi naturalnya yang merupakan fungsi massa dan kekakuan sistem.
Redaman dalam jumlah sedang mempunyai pengaruh yang sangat kecil pada frekuensi natural dan dapat diabaikan dalam perhitungannya.
Kemudian sistem dapat dianggap sebagai sistem yang konservatif dan prinsip kekekalan energi memberikan pendekatan lain untuk menghitung
frekuensi natural. Pengaruh redaman sangat terlihat pada berkurangnya amplitudo getaran terhadap waktu. Walaupun terdapat banyak model
redaman namun hanya model yang menghasilkan cara analitik yang mudah dibahas dalam bab ini.
2.1
Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi Sistem berosilasi yang paling sederhana adalah sistem yang terdiri
dari massa dan pegas seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1. Pegas penunjang massa dianggap mempunyai massa yang dapat diabaikan dan
kekakuan k Newton per meter simpangan. Sistem mempunyai satu derajat kebebasan karena geraknya digambarkan oleh koordinat tunggal x.
44
Gambar 2.1 Sistem pegas-massa dan diagram benda bebas
Bila digerakkan, osilasi akan terjadi pada frekuensi natural f
n
, yang merupakan milik sistem. Kita sekarang mengamati beberapa konsep dasar
yang dihubungkan dengan getaran bebas sistem dengan satu derajat kebebasan.
Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak sistem. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1, perubahan bentuk pegas
pada posisi kesetimbangan statik adalah ∆ dan gaya pegas adalah k∆
adalah sama dengan gaya gravitasi W yang bekerja pada massa m. k∆ = W = mg
2.1 Dengan mengukur simpangan x dari posisi kesetimbangan statik, maka
gaya-gaya yang bekerja pada massa m adalah k∆+x atau W. Dengan x
yang dipilih positif dalam arah ke bawah. Sekarang hukum Newton kedua untuk gerak diterapkan pada massa m.
∑Fy = 0 dan karena k∆ = W, diperoleh
2.2
45
Jelaslah bahwa pemilihan posisi kesetimbangan statik sebagai acuan untuk x mengeliminasi W, yaitu gaya yang disebabkan gravitasi. Gaya pegas
statik k ∆ dari persamaan gerak hingga resultan pada massa m adalah gaya
pegas karena simpangan x saja. Dengan mendefinisikan frekuensi lingkaran ωn menggunakan
persamaan 2.3
Persamaan 2.2 dapat ditulis sebagai 2.4
Solusi persamaan 2.2 dengan mengasumsikan
dan di mana A dan s adalah konstata, setelah dimasukan ke persamaan 2.2,
diperoleh
+ = 0
+ = 0
+ = 0
2.5 =
di mana =
dan sehingga
46
jadi +
di mana A
1
dan A
2
adalah konstata. Dengan menggunakan
= maka
+ 2.6
Di mana A dan B adalah konstata yang baru dan dapat dicari dengan menggunakan kondisi awal, yaitu
= =
2.7 Dengan memasukkan kondisi awal persamaan 2.7 ke dalam persamaan
2.6 termasuk dengan menurunkam dulu persamaan 2.6 maka diperoleh
= +
= dan
Jadi 2.8
Periode natural osilasi dibentuk dari π , atau
π√ 2.9
47
dan frekuensi naturalnya adalah √
2.10 Besaran-besaran ini dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik
dengan melihat persamaan 2.1, = �. Jadi persamaan 2.10 dapat
dinyatakan dalam penyimpangan statik sebagai √
2.11
Contoh soal 2.1 Sebuah massa ¼ kg digantungkan pada pegas yang mempunyai kekakuan
0,1533 Nmm. Tentukan frekuensi naturalnya dalam siklus per sekon. Tentukan juga penyimpangan statiknya.
Jawab : Konstanta kekakuan
= 153.3 Nm Substitusi ke dalam persamaan 2.10, menghasilkan frekuensi natural
√ √
E.1 Penyimpangan statik pegas yang digantungi massa
⁄ kg diperoleh dari mg
E.2
48
Contoh soal 2.2 Tentukan frekuensi natural massa M yang diletakkan pada ujung
kantilever beam
yang massanya dapat diabaikan seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Massa m pada ujung kantilever
Jawab: Penyimpangan
kantilever beam
yang disebabkan gaya yang terkonsentrasi P adalah
E.1 Dengan EI adalah ketegaran lentur. Jadi kekuatan balok adalah k
dan frekuensi natural sistem menjadi √
E.2 Contoh soal 2.3
Hitung frekuensi natural dari sistem seperti pada Gambar 2.3. Asumsi gesekan dan massa puli diabaikan.
49
Gambar 2.3 Sistem puli, massa dan pegas Jawab:
Pada diagram benda bebas 1 dbb 1 pada dbb 2
2W = k1 x1 2W = k2 x2
Sehingga gerakan total massa adalah X = 2
X = 2 = 4W
= 4W E.2
a b diagram benda bebas
50
Hukum Newton kedua menyatakan F =
=
= 4W E.3
Persamaan getaran m
+ k
ek
x= 0 E.4
m +
x = 0 jadi
n
= E.5
E.6
Contoh soal 2.4 Massa batang PQ diabaikan, tentukan persamaan diferensial getaran dan
frekuensi diri dari sistem pada gambar 2.4
51
Jawab :
Gambar 2.4 sistem pegas dan batang yang diberi beban pada ujung.
Pada kondisi statis terjadi kesetimbangan momen, yaitu mg
l
3
cos α = k
2
l
2
sinα
l
2
cos α + k
1
l
1
sinα
l
1
cosα E1
sehingga dalam keadaan dinamis sudah tidak perlu diperhitungkan ∑Mp = 0
E.2 Untuk θ kecil maka sin θ = θ dan cos θ = 1, jadi
E.3
52
E.4 dan frekuensi naturalnya adalah
√ E.5
2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman
Kategori