52
E.4 dan frekuensi naturalnya adalah
√ E.5
2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman
Jika benda kaku diberi simpangan sudut dengan sumbu referensi khusus, maka akan menyebabkan gerak yang disebut getaran torsional.
Dalam masalah getaran torsional menggunakan kesetimbangan momen torsional. Gambar 2.5 ditunjukkan piringan dengan massa inersia polar J
, berada di ujung poros dan ujung poros yang lain ditumpu dengan tumpuan
jepit. Simpangan sudut piringan dan poros sebesar θ.
Gambar 2.5 Getaran torsional dari piringan
kekakuan poros k
t
Di mana : G = modulus elastisitas
J
o
= momen inersia luas penampang poros
l
= panjang poros
53
J
o
=
Sehingga
=
Untuk poros maka torsinya 2.13
Di mana: = kekakuan poros
= simpangan sudut poros Hukum Newton yang kedua untuk gerakan sudut
+ = 0
2.14 Di mana:
momen inersia massa disk =
densitas massa W = berat disk
Persamaan 2.14 bisa diselesaikan seperti pada getaran linier seperti pada persamaan 2.2, yaitu
cos t +
cos t
2.15 Dengan A
1
dan A
2
adalah konstanta dan bisa diselesaikan dari kondisi awal. Bila
= =
= cos
0 + cos
= =
sin 0 +
cos
54
= =
sehingga t =
cos t+
sin t
2.16 Frekuensi natural dan priode natural bisa dihitung berdasarkan persamaan
diferensial getaran pada persamaan 2.14
=
= 2 π
= 2.17
Contoh soal 2.5 Sebuah roda dan ban mobil digantungkan pada batang baja yang
diameternya 0.5 cm dan panjangnya 2 m seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6. Bila roda diberi simpangan sudut kemudian lepas, maka ia membuat
10 osilasi dalam 30.2 detik. Tentukan momen inersia polar roda dan ban.
Gambar 2.6 Ban mobil yang digantung pada baja
55
Jawab : Persamaan rotasional untuk gerak sesuai hukum Newton kedua
E.1 Frekuensi natural osilasi
= π = 2π
= 2.081 rad s E.2
= =
0.5 = 0.006136
= 80 =
= = 2.455 Nm rad
E.3 maka
= =
= 0.567 kg
2.3 Metode Energi Metode Lagrange
Dalam suatu konservatif energi totalnya adalah konstan dan persamaan diferensial gerak juga dapat dibentuk dari prinsip kekekalan
energi. Untuk getaran bebas suatu sistem yang tak teredam, energinya sebagian adalah energi kinetik dan sebagian potensial. Energi kinetik T
sebagian disimpan dalam massanya karena kecepatannya, sedang energi potensial U disimpan dalam bentuk energi regangan dalam perubahan
bentuk elastik atau kerja yang dilakukan dalam suatu medan gaya seperti gravitasi. Karena energi total adalah konstan, maka laju perubahan energi
adalah nol seperti oleh persamaan 2.18.
56
T + U = konstan 2.18
Bila perhatian hanya tertuju pada frekuensi natural sistem, maka frekuensi itu dapat ditentukan dari pertimbangan prinsip kekekalan energi
pada persamaan 2.19 .
2.19 dengan indeks 1 dan 2 menyatakan saat yang berbeda. Ambil indeks 1 saat
ketika massa sedang melewati posisi kesetimbangan statik dan pilih U
1
= 0 sebagai acuan untuk energi potensial. Ambil indeks 2 saat yang sesuai
dengan simpangan maksimum dari massa. Pada potensial ini, kecepatan massa adalah nol, hingga T
2
= 0, jadi diperoleh T
1
+ 0 = 0 + U
2
2.20 Namun, bila sistem mangalami gerak hermorik, maka T
1
dan U
2
merupakan nilai maksimum, jadi T
maks
= U
maks
2.21 Persamaan 2.21 langsung menghasilkan frekuensi natural.
Contoh soal 2.6 Tentukan frekuensi natural sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.7.
57
Gambar 2.7
Jawab: Anggap bahwa sistem secara harmonik dengan amplitudo
dari posisi kesetimbangan statik. Energi kinetiknya adalah
E.1 Energi potensial adalah energi yang disimpan dalam pegas yaitu
U = k ²
E.2 Sebelumnya diketahui
T + U = konstan, atau dT + dU = 0
r
2
r
1
J
θ
m
58
+ = 0
J
2 +
+ 2θ =0
J
+ m + k
θ=0 J+m
+ k θ=0
E.3 Dengan melihat persamaan
dan persamaan maka diperoleh ω
n
= √
dalam hal ini dan
maka ω
n
= √
E.4
f
n
= √
E.5
Contoh Soal 2.7 Sebuah silinder seberat W dan jari-jari r menggelinding tanpa tergelincir
slip pada permukaan silindris yang berjari-jari R lihat Gambar 2.8. Tentukan persamaan diferensial geraknya untuk osilasi kecil pada titik
terendah. Untuk keadaan tanpa tergelincir r = R .
59
Gambar 2.8 Jawab:
Kecepatan translasi pusat silinder adalah
E.1 Sedang kecepatan rotasinya adalah
E.2 Karena tanpa tergelincir maka
E.3 Energi kinetiknya adalah
T [ ]
+ T
R E.4
R r
60
Energi potensialnya adalah E.5
Perubahan energi akan menjadi energi lain, sehingga
T + U E.6
R +
W R - r1- +
W
+W E.7 Untuk sudut θ yang kecil maka sin = θ, dan dengan mencoret kedua suku
diperoleh
+
Dengan melihat persamaan dan persamaan maka diperoleh
√ E.8
2.4 Kondisi Stablilitas
Kategori