8
random. Getaran yang terjadi juga non-deterministik atau random. Contoh eksitasi random adalah kecepatan angin, kekasaran jalan, gempa bumi dan
lain-lain. Untuk eksitasi deterministik dan random bisa dilihat pada Gambar 1.6.
1.5
Prosedur Menganalisa Getaran Respon getaran pada sistem getaran biasanya tergantung pada
kondisi awal sama seperti eksitasi dari luar. Dalam praktiknya sistem getaran sangat komplek, dan tidak mungkin dikerjakan secara detail
dengan analisis matematika, tetapi yang mungkin adalah perhitungan analisis untuk memprediksikan kelakuan sistem berdasarkan kondisi input
yang spesifik. Untuk menyederhanakan sistem seringkali dibuat modelnya. Sehingga analisa sistem getaran antara lain meliputi model matematika,
membuat persamaan matematikanya, penyelesaian persamaan matematika dan interpretasi persamaan getaran. Masing-masing langkah bisa
dijelaskan sebagai berikut: Langkah
1: pemodelan
matematika. Pemodelan
matematika menggambarkan semua bagian penting dari sistem untuk diturunkan
persamanan matematika untuk analisis sesuai tingkah laku dari sistem. Model matematika harus mendetail supaya bisa menggambarkan sistem
dalam rangka pembuatan persamaan matematika tanpa membuat benda secara komplek. Model matematika bisa linier atau non-linier, tergantung
keadaan sistem itu sendiri. Contoh pemodelan matematika dapat dilihat pada Gambar 1.7. Gambar 1.7a merupakan gambar
forging hammer
secara detail. Dalam analisis getaran harus dibuat model matematika. Di sini dibuat dalam dua model matematika, yaitu Gambar 1.7b
menunjukkan perilaku getaran sistem secara keseluruhan di mana
frame
,
anvil
,
elastic pad
dan pondasi dianggap sebagai satu kesatuan, dan Gambar 1.7c menggambarkan getaran dari bagian-bagian mesin.
9
a Forging hammer
b Model matematika keseluruhan sistem c Model matematika bagian sistem
Gambar 1.7 Pemodelan untuk
forging hammer
Langkah 2: Persamaan matematika. Setelah pemodelan matematika dibuat, maka kita buat persamaan matematika dengan menggunakan prisip
dinamika. Persamaan gerakan bisa kita buat setelah dibuat diagram benda bebas
free body diagram
massa yang ada. Diagram benda bebas suatu
10
massa dengan memisahkan massa tersebut dan mengidentifikasi gaya-gaya yang bekerja, yaitu gaya-gaya luar, gaya reaksi dan gaya inersia.
Persamaan perpindahan dari sistem getaran biasanya dalam bentuk persamaan diferensial biasa untuk sistem diskrit dan persamaan diferensial
parsial untuk sistem yang kontinu. Beberapa pendekatan yang digunakan untuk menurunkan persamaan matematika, antara lain hukum kedua
σewton tentang gerak, prinsip d’Alembert dan prinsip konservasi energi. Contoh soal 1.1.
Pada Gambar 1.8a terlihat motor dan pengendaranya. Berdasarkan kekakuan elastisitas pada ban, elastisitas dan peredam
shock
arah vertikal, massa roda, massa motor serta elastisitas peredam dan massa
penumpang dan jok penumpang dan jok jadi satu. Buatlah model matematikanya
Jawab : Pertama kita tentukan sistem yang terdiri dari manusia dan kendaraan
dianggap sebagai satu kesatuan sistem. Massa yang digunakan adalah massa total pengendara dan motor disebut sebagai massa ekivalen.
Redaman dan pegas yang terjadi juga dinamakan redaman ekivalen dan konstanta pegas ekivalen. Gambar 1.8b adalah pemodelan sistem
ekivalen. Pegas dan redaman ekivalen merupakan sistem pegas dan redaman yang terdiri dari penumpang dan jok,
shock
, dan ban. Pemodelan berikutnya kita pisah-pisahkan berdasarkan massa dari setiap bagian.
Pemisahan massa ini tergantung kebutuhan yang akan dianalisa dan kondisi redaman dan pegas setiap bagian. Dalam hal ini, kita pisahkan
massa menjadi tiga bagian, yaitu massa pengendara, massa motor dan massa roda. Di antara pengendara dan motor terdapat sistem pegas dan
redaman, yaitu jok dan bodi pengendara. Di antara motor dengan roda terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu
shock
. Di antara motor dan roda terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu ban.
11
a motor dan pengendara
b pemodelan sistem sebagai satu kesatuan c pemodelan per elemen
Gambar 1.8 Motor dan pengendara - sistem fisik dan pemodelan
Keterangan indeks: ek : ekivalen
p : penumpang m : motor
s :
shock
r : roda b : ban
12
Langkah 3: Penyelesaian persamaan getaran. Persamaan matematika harus diselesaikan untuk memperoleh respon getaran. Penyelesaian ini
tergantung dari permasalahan, tetapi penyelesaian ini bisa dilakukan antara lain dengan penyelesaian persamaan diferensial, metode transformasi
laplace, metode matrik dan metode numerik. Langkah 4: Interpretasi respon getaran. Penyelesaian persamaan
getaran diperoleh simpangan, kecepatan dan percepatan dari variasi massa sistem. Respon ini harus dikerjakan dengan analisis yang tepat dan
penerapan desain yang sesesuai mungkin. 1.6
Elemen Pegas Bila suatu pegas linier dikenai gaya sebesar F di mana pegas
mempunyai kekakuan k maka pegas akan terdefleksi. Misalkan defleksi pegas sebesar x, maka akan berlaku hubungan linier seperti pada
persamaan 1.1.
F = k x 1.1
Gambar 1.9 Hubungan gaya dengan defleksi pegas
F
x
13
Jika kita plot grafik hubungan F dengan x akan terbentuk garis miring yang linier, luasan di bawah garis miring pada x yang tertentu
merupakan energi potensial pegas U, lihat Gambar 1.9.
2
kx 2
1 U
1.2 Apabila sistem getaran bukan merupakan pegas dan massa yang
diberi gaya luar, tetapi merupakan sistem lain maka bisa dibuat seperti massa ekivalen dan pegas yang mempunyai konstanta ekivalen. Gambar
1.10 dan 1.11 masing-masing batang dan
beam
yang bisa dianggap sebagai pegas dengan konstanta pegas ekivalen. Pada batang yang mempunyai luas
penampang A dan diberi gaya F akan terdefleksi sejauh
l
.
A F
σ
1.3
a Batang ditarik gaya b Pegas ekivalen
Gambar 1.10 Batang ditarik gaya sebagai pegas ekivalen
σ = ɛ E
1.4 bila persamaan 1.3 dan 1.4 disamakan diperoleh :
14
1.5 di mana :
1.6 di mana :
F = k Δ
l
sehingga :
l
AE k
1.7 Gambar 1.11 menunjukkan kantilever atau beam dengan massa merada di
ujung. Elemen elastik seperti ini bisa juga dianggap sebagai pegas. Untuk menyederhanakan masalah massa
beam,
dianggap nol bila dibandingkan dengan massa m. Dari mata kuliah kekuatan bahan kita tahu bahwa
defleksi pada ujung beam sejauh δ
st
.
1.8 di mana :
W = m g, yaitu berat dari massa m E = modulus elastisitas
I = momen inersia penampang beam
Sedangkan konstanta pegas mempunyai hubungan
3
EI 3
δ W
k
l
st
1.9
15
a sistem aktual b model
single degree of freedom
Gambar 1.11 Kantilever dengan massa di ujung
Dalam aplikasi praktis beberapa pagas linier digunakan dalam kombinasi. Pegas-pegas tersebut bisa diganti menjadi sebuah pegas dengan
indikasi yang berbeda-beda,
Kasus 1 : Pegas-pegas disusun paralel. Bila dua buah pegas atau lebih yang mempunyai konstanta tertentu disusun secara paralel dan di ujung
pegas-pegas tersebut diberi beban dengan berat W, maka pegas-pegas tersebut akan terdefleksi. Defleksi yang terjadi akan sama pada masing-
masing pegas, yaitu sebesar
st
. Susunan pegas paralel bisa dilihat pada gambar 1.12a dan 1.12b, sedangkan diagram benda bebasnya terlihat
pada gambar 1.12c. Kita lihat diagram benda bebas, di sana terjadi kesetimbangan.
W = k
1
δ
st
+ k
2
δ
st
1.10 Jika k
ek
adalah konstanta ekivalen pegas dari kombinasi dua pegas, maka untuk defleksi yang sama kita punya seperti persamaan 1.11.
W = k
ek
δ
st
1.11 Dengan menyamakan persamaan 1.10 dan 1.11 kita peroleh suatu
persamaan seperti persamaan 1.12.
16
K
ek
= k
1
+ k
2
1.12
a susunan pegas paralel b susunan diberi beban c diagram benda bebas
Gambar 1.12 Susunan pegas paralel
Dari uraian di atas, maka kita bisa mengambil suatu kesimpulan bila suatu pegas disusun secara paralel maka konstata pegas ekivalen
adalah penjumlahan dari seruruh konstanta pegas penyusun, persamaannya bisa dilihat pada persamaan 1.13.
K
ek
= k
1
+ k
2
……+ k
n
1.13
Kasus 2: Pegas-pegas disusun secara seri. Gambar 1.13 menunjukkan dua buah pegas yang mempunyai konstanta pegas tertentu dan disusun
secara seri. Beban W diberikan pada ujung pegas, maka susunan pegas
akan terdefleksi sejauh
st.
Defleksi ini merupakan penjumlahan masing- masing defleksi kedua pegas. Total defleksi statik sistem adalah
st,
yang diberikan oleh persamaan 1.14.
δ
st
= δ
1
+ δ
2
1.14
17
Kedua pegas menerima beban sebesar W, bila kita lihat diagram benda bebas pada gambar 1.12c maka
W = k
1
δ
1
W = k
2
δ
2
1.15
a susunan pegas seri b susunan diberi beban c diagram benda bebas
Gambar 1.13 Susunan pegas seri yang diberi beban
Kita misalkan k
ek
adalah konstanta pegas ekivalen sistem, untuk jumlah defleksi statik yang sama, maka
W = k
ek
δ
st
1.16 Dari persamaan 1.15 dan 1.16 diperoleh
W = k
1
δ
1
= k
2
δ
2
= k
ek
δ
st
18
2 st
ek 2
k δ
k δ
1.17 Substitusi persamaan 1.17 ke dalam persamaan 1.14 diperoleh
2 1
ek
k 1
k 1
k 1
1.18 Secara umum, apabila beberapa pegas yang mempunyai konstanta
kekakuan yang berbeda-beda maka dapat disimpulkan seperti persamaan 1.19.
n 2
1 ek
k 1
.... k
1 k
1 k
1
1.19 Contoh soal 1.2
Batang AB pada
crane
terlihat pada gambar 1.14a adalah batang seragam yang panjangnya 10 m dan luas penampangnya adalah 2500 mm
2
. Kabel CDEBF terbuat dari baja dan mempunyai luas penampang 100 mm
2
. Efek kabel CDEB diabaikan. Hitung konstanta kekauan pegas ekivalen dalam
arah vertikal. Jawab :
Selama landasan
Crane
kaku, kabel dan batang akan tetap berada pada posisi F dan A. Juga bila efek kabel CDEB diabaikan, maka berat W
bekerja di titik B seperti terlihat pada Gambar 1.14b. Simpangan vertikal x menyebabkan batang dengan kekakuan pegas k
2
akan terdeformasi
19
sejauh x
2
= x cos 45 dan kabel dengan kekakuan k
1
akan terdeformasi sejauh x
1
= x cos90 - θ. Panjang kabel FB,
l
1
pada Gambar 1.14b adalah
l
1 2
= 3
2
+ 10
2
– 2310cos 135 = 151.426, sehingga
l
1
= 12.3055 m Sudut
θ diberikan oleh hubungan
l
1 2
+ 3
2
– 2
l
1
3cos θ = 10
2
, sehingga cos θ = 0.8184, dan θ = 35.0736
a Crane
b pemodelan getaran c pegas ekivalen
Gambar 1.14
Crane
dengan beban
20
Energi potensial total U disebabkan oleh k
1
dan k
2
seperti diberikan oleh persamaan 1.2 di atas adalah
U = ½ k
1
x cos 45
2
+ ½ k
2
[x cos 90 - θ]
2
di mana
Bila pegas ekivalen arah vertikal terdeformasi sejauh x, Energi potensal pegas ekivalen U
ek
diberikan
Dengan mengambil U = U
ek
maka akan diperoleh konstanta pegas ekivalen sistem
k
ek
= 26.4304 x 10
6
Nm
1.7 Massa atau Inersia Elemen
