31
Yang pertama ut = 0, σnn = 0 mengatur arus keluar paralel dengan nol tegangan normal. Dari 52 dapat diturunkan bahwa
� = − + �
� � =
� � +
� �
Sebagai konsekuensi untuk bilangan Reynolds tinggi � kira-kira sama
dengan -p. Jadi � = berarti bahwa secara implisit � diatur sama dengan
nol.
4.3. Aliran Asimetrik
Karena dalam perhitungan aliran umum tiga-dimensi, salah satu langkahnya biasanya
mencoba untuk
mengurangi satu
dimensi dengan
mempertimbangkan simetri dalam aliran atau arus kelalaian dalam arah tertentu. Hasil kemungkinan terakhir di aliran dua dimensi, seperti aliran
saluran. Jika menggunakan silinder, simetri aliran mengurangi apa yang disebut aliran axisymmetric.
Dalam kasus seperti persamaan Navier-Stokes dan vektor kecepatan harus ditransformasikan ke sistem koordinat silinder dengan koordinat
, � � � dan kecepatan komponen , � � �. Dalam axisymmetric mengalir variasi
� − � �ℎ adalah nol dan semua turunannya � dapat diabaikan. Apakah komponen
� dapat diabaikan tergantung pada aliran. Dalam
� aliran berputar tidak sama dengan nol dan harus dalam tiga kasus diketahui kecepatan, meskipun hanya memiliki dua arah.
Dengan inkompresibel persamaan Navier-Stokes dalam silinder koordinat masih diberikan oleh ekspresi 47 dan 48. Namun, operator
divergensi dan gradien serta tensor stres mendapatkan bentuk yang berbeda
32
= �
� , �
�� , �
��
�
� � = �
�
� + �
�
�� + �
�
�� =
�
��
= − + � �
�
� , �
��
= − + �
�
+ �
�
�� , �
��
= − + � �
�
�� , �
��
= �
��
= � �
�
�
+ �
�
�� , �
��
= �
��
= � �
�
�� + �
�
�� , �
��
= �
��
= � �
�
�� + �
�
�
Perhatikan bahwa dalam ungkapan istilah sering terjadi. Sebagai
konsekuensinya harus berhati-hati dalam perhitungan numerik � � = .
Pada simetri sumbu r = 0, perlu kondisi batas ekstra, yang disebut kondisi simetri. Satu segera memverifikasi bahwa kondisi simetri ini diberikan oleh:
�
= , �
�
� = ,
�
= � � = atau diterjemahkan ke tekanan :
�
= ,
�
= � � = � � =
4.4. Formulasi Weak
Dalam bagian berikutnya akan diturunkan persamaan Galerkin standar untuk inkompresibel persamaan Navier-Stokes. Pertama akan diperoleh formulasi
yang lemah. Untuk mempertimbangkan empat kondisi batas 56b- 566d, akan dianggap bahwa batas terdiri dari empat bagian masing-masing dengan
salah satu kondisi batas 56b-56d. Selanjutnya akan dibatasi diri dalam bab ini untuk masalah stasioner.
33
Gambar 4.1. Contoh buatan dengan wilayah dan batas-batas � , � , � � � .
Selain itu batasi untuk kasus dua dimensi. Gambar 4.5 menunjukkan contoh buatan dari Ω wilayah dengan empat batas Γ1 untuk Γ4. Pada masing-
masing batas ini terdapat berbagai jenis kondisi batas. Perumusan contoh sekarang untuk
� memecahkan harus memenuhi : � � = ,
− � � + � . � = �� , � = − � +
� �� +
� �� ,
= � Γ ,
= , � = , � Γ = , � = , � Γ
� = , � =
,
� Γ
Dalam rangka untuk memperoleh formulasi yang lemah, persamaan 60 harus dikalikan dengan fungsi tes. Persamaan pertama 60 dikalikan dengan
fungsi tes mengakibatkan ∫ � � Ω =
34
Persamaan momentum 61 terdiri dari dua persamaan, yang mungkin setiap dikalikan dengan tes terpisah fungsi
� . Jika � � � � � =
, persamaan ini dapat dikombinasikan untuk :
∫− � � + � . � . Ω = ∫ � . Ω Memilih
� sama dengan nol memberi formulasi lemah asli untuk masing-masing persamaan.
Istilah pertama dapat lebih dikurangi dengan menerapkan integrasi dengan bagian Gauss teorema untuk :
∫ − � � . Ω = ∫ � . Ω − ∫ � + � Γ
Γ
dimana Γ menunjukkan batas , dalam arah normal dan
arah tangensial. Memang di semua penyelidikan teoritis berkenaan dengan bentuk lemah dari
Navier-Stokes persamaan, p dan q diambil dari ruang yang sama dan u dan v yang diambil dari ruang yang sama. Pengamatan ini memotivasi pilihan
fungsi dasar dalam metode standar Galerkin.
4.5 Metode standar Galerkin
