Barisan dan Deret Hitung

A. Barisan dan Deret Hitung

Pengantar • Deret = rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. • Suku = bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret • Pola perubahan = keteraturan rangkaian bilangan-bilangan dari sebuah deret, mulai dari satu suku ke suku berikutnya. Pengantar • Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret dibedakan menjadi: ▫Deret berhingga  deret yang jumlah sukunya tertentu ▫Deret tak berhingga  deret yang jumlah sukunya tak terbatas • Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni. Barisan Hitung Aritmatika • Barisan hitung adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan tetap. • Bilangan yang tetap tersebut disebut dengan istilah “ beda ” dan dilambangkan dengan b . • Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini: a 1, 4, 7, 9, 11, 13, ….. b 2, 8, 14, 20, …. c 30, 25, 20, 15, …. Contoh Barisan Hitung Aritmatika a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6. Contoh Barisan Hitung Aritmatika c. 30, 25, 20, 15, ...... –5 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut: Jika S n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = S n – S n – 1 . Rumus Barisan Hitung Aritmatika • Pembentuk rumusformulasi umum suku ke-n barisan aritmetika adalah: ▫suku pertama U dilambangkan dengan a ▫beda dilambangkan dengan b Barisan Hitung Aritmatika S 1 = a S 2 = S 1 + b = a + b S 3 = S 2 + b = a + b + b = a + 2b S 4 = S 3 + b = a + 2b + b = a + 3b S 5 = S 4 + b = a + 3b + b = a + 4b . . . S n = S n-1 + b = a + n – 1b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: S n = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku S n = a + n – 1b Contoh 1 • Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan: [ –3, 2, 7, 12, .... ] • Langkah 1: Suku pertama adalah a = –3 • Langkah 2: Bedanya adalah b = 2 – –3 = 5 • Langkah 3: Subtitusikan a dan b, maka akan diperoleh rumusnya  S n = –3 + n – 15. Suku ke-8 : S 8 = –3 + 8 – 15 = 32 Suku ke-20 : S 20 = –3 + 20 – 15 = 92 Contoh 2 • Diketahui barisan aritmetika [ –2, 1, 4, 7, ..., 40 ] • Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: • Langkah 1 dan 2  a = –2 dan b = 1 – –2 = 3 • Langkah 3  S n = 40 • Langkah 4  Rumus suku ke-n adalah S n = a + n – 1b, sehingga 40 = –2 + n – 13 40 = 3n – 5 3n = 45 • Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. • Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15. Deret Hitung Aritmatika • Deret hitung adalah jumlah n suku pertama dari barisan hitungnya. • Misalkan S 1 , S 2 , S 3 , ..., S n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. • Maka J n = S 1 + S 2 + S 3 + ... + S n disebut deret aritmetika • Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan sebagai J . Deret Hitung Aritmatika • Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku- sukunya, sejak suku pertama S 1 , atau bisa juga ditulis a sampai dengan suku ke-n S n dapat ditulis demikian: • Deret Hitung Aritmatika • Dengan menguraikan setiap suku maka , , dan akan menjadi seperti di bawah ini: • a + a+b + a+2b + a+3b = 4a + 6b • a + a+b + a+2b + a+3b + a+4b = 5a + 10b • a + a+b + a+2b + a+3b + a+4b + a+5b = 6a + 15b • Deret Hitung Aritmatika • Masih ingat dengan rumus  S n = a + n – 1b ?? Masing-masing J i tersebut dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagai berikut: • Rumus umum  atau  atau  atau  • Contoh Deret Hitung Aritmatika • Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret [2 + 4 + 6 + 8 +....] • Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. J 100 = {2 . 2 + 100 – 1 . 2} = 50 {4 + 198} = 50 202 = 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100 • Contoh Deret Hitung Aritmatika • Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. • Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh  a = 3, b = 3, dan S n = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; S n = a + n – 1b 99 = 3 + n – 13 3n = 99 n = 33 Contoh Deret Hitung Aritmatika • Jumlah dari deret tersebut adalah J n = a + S n J 33 = 3 + 99 = 1.683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683 • TUGAS MANDIRI 2 1. Carilah suku ke – 20 dari barisan hitung aritmatika 3, 8, 13, 18, … 2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan hitung aritmatika berikut ini : a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, … c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, … 3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan hitung aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah S 30 dan J 30 4. Carilah jumlah dari: a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama c. 60 bilangan bulat positif yang pertama

B. Barisan dan Deret Ukur