BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1. Graf
2.1.1. Definisi Graf
Teori Graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf digunakan untuk mengambarkan berbagai
macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang sering dijumpai, antara lain struktur
organisasi, bagan alir, pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain Hendardi, A. 2012.
Banyak sekali struktur yang bisa dipresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan graf. Sering kali graf digunakan untuk mempresentasikan
suatu jaringan. Misalkan jaringan jalan raya dengan kota sebagai simpul vertex dan jalan yang menghubungkan setiap kota sebagai sisi edge dan bobotnya weight adalah panjang
dari jalan tersebut. Secara matematis graf mendefinisikan sebagai pasangan himpunan V, E, ditulis
dengan notasi G= V, E, yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul- simpul vertex atau node dan E adalah himpunan sisi edge yang menghubungkan
sepasang simpul Munir, R. 2009 Simpul vertex pada graf dapat dinyatakan dengan huruf, bilangan atau gabungan
keduanya. Sedangkan sisi-sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan u, v atau dinyatakan dengan lambang
�
1
, �
2
, �
3
dan seterusnya.
2.2. Teori Dasar Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan V,E, ditulis dengan notasi G=V,E, yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul dan E adalah
himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul Munir, R. 2005. Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut loop. Dua garis
berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut garis paralel. Dua titik dikatakan berhubungan adjacent jika garis menghubungkan keduanya. Titik yang tidak memiliki
V
2
V
1
V
4
V
5
V
6
V
3
e
1
e
3
e
2
e
6
e
8
e
9
e
7
e
4
e
5
garis yang berhubungan dengannya disebut titik terasing isolating point. Graf yang tidak memiliki titik sehingga tidak mewakili garis disebut garis kosong.
Jika semua garisnya berarah, maka grafnya disebut graf berarah directed graph, atau sering disingkat digraph. Jika semua garisnya tidak berarah, maka grafnya disebut
graf tak berarah undirected graph. Sehinga dapat ditinjau dari arahnya, graf dapat dibagi menjadi dua yaitu graf berarah dan graf tidak berarah.
2.2.1. Graf Berarah Directed Graf = Digraph
Pada graf berarah, arah sisiurutan ikut diperhatikan. Dalam suatu graf, lintasan path adalah urutan simpul, atau sisi yang dibentuk untuk bergerak dari satu simpul ke simpul
yang lain. Dalam graf berarah, titik akhir dari sebuah busur akan menjadi titik awal dari busur berikutnya. Sirkuit adalah lintasan yang memiliki simpul awal dan akhir yang sama.
Panjang lintasan adalah banyaknya sisi yang dilalui lintasan tersebut. Suatu Graf berarah G terdiri dari himpunan titik-titik VG {
�
1
, �
2
, … }, himpunan
garis-garis EG { �
1
, �
2
, … }, dan suatu fungsi yang mengawankan setiap garis dalam EG ke suatu pasangan berurutan titik
�
�
, �
�
. Jika �
�
= �
�
, �
�
adalah suatu garis dalam G, maka
�
�
disebut titik awal �
�
dan �
�
disebut titik akhir �
�
. Arah garis adalah dari �
�
ke �
�
. Jumlah garis yang keluar dari titik
�
�
disebut derajat keluar out degree titik �
�
yang disimbolkan dengan �
+
�
�
, sedangkan jumlah garis yang menuju ke titik �
�
disebut derajat masuk in degree titik
�
�
, yang disimbolkan dengan �
−
�
�
. Titik terasing adalah titik dalam G dimana derajat keluar dan derajat masuknya
adalah 0. Titik pendant tergantung adalah titik dalam G dimana derajat masuk dan derajat keluarnya adalah 1. Dua garis berarah dikatakan paralel jika keduanya memiliki titik awal
dan titik akhir yang sama. Contoh:
Gambar 2.1 Graf Berarah
Tentukan: a. Himpunan titik-titik, himpunan garis-garis, dan fungsi perkawanan.
b. Derajat masuk dan derajat keluar tiap titik. c. Titik terasing dan titik pendant.
d. Garis paralel.
Penyelesaian: a. VG = {
�
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5
, �
6
} EG = {
�
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5
, �
6
, �
7
, �
8
, �
9
} Fungsi mengawankan garis-garis dengan pasangan titik-titik berikut
�
1
dengan �
1
, �
2
�
2
dengan �
4
, �
1
�
3
dengan �
1
, �
4
�
4
dengan �
1
, �
3
�
5
dengan �
3
, �
3
�
6
dengan �
3
, �
4
�
7
dengan �
3
, �
5
�
8
dengan �
5
, �
4
�
9
dengan �
5
, �
4
b. �
+
�
1
= 3 �
−
�
1
= 1 �
+
�
2
= 0 �
−
�
2
= 1 �
+
�
3
= 3 �
−
�
3
= 2 �
+
�
4
= 1 �
−
�
4
= 4 �
+
�
5
= 2 �
−
�
5
= 1 �
+
�
6
= 0 �
−
�
6
= 0 Dapat dilihat bahwa dalam setiap graf berarah,
∑ �
+ �
�
�
= ∑ �
− �
�
�
c. Titik terasing adalah �
6
. Titik pendant
�
2
. d. Garis paralel adalah
�
8
dan �
9
, dapat dilihat bahwa �
2
dan �
3
bukanlah garis paralel karena arahnya berbeda.
2.2.1.1. Path Berarah dan Sirkuit Berarah Pengertian walk, path, dan sirkuit dalam graf berarah sama dengan walk, path dan sirkuit
dalam graf tak berarah. Hanya saja dalam graf berarah, perjalanan yang dilakukan harus
mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf tak berarah, maka walk, path berarah, dan sirkuit dalam graf berarah disebut walk berarah, path berarah, dan sirkuit
berarah. Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit berarah disebut Asiklik Siang, J.J.
2009.
Contoh: Ada 4 macam golongan darah, masing-masing A, B, AB, dan O. Darah golongan O dapat
diberikan kepada semua golongan. Darah golongan A dan B dapat diberikan ke golongannya sendiri atau ke golongan O. Darah golongan AB hanya dapat diberikan pada
pasien dengan golongan darah AB . Gambarkan graf berarah untuk menyatakan keadaan tersebut. Anggaplah garis dari
�
�
ke �
�
menyatakan bahwa darah dari �
�
dapat diberikan pada
�
�
. Apakah graf Asiklik?
Penyelesaian: Graf berarah menyatakan keadaan transfusi darah yang mungkin dilakukan. Dapat dilihat
bahwa dalam graf berarah tersebut tidak ada sirkuit berarah sehingga grafnya Asiklik.
Gambar 2.2 Path berarah
2.2.1.2. Graf Berarah Terhubung
Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika ada walk yang menghubungkan setiap dua titiknya. Pengertian itu berlaku juga bagi graf berarah. Berdasarkan arah garisnya, dalam
graf berarah dikenal dua jenis keterhubungan, yaitu terhubung kuat dan terhubung lemah. Misalkan G adalah suatu graf berarah dan v, w adalah sembarang 2 titik dalam G.
G disebut terhubung kuat jika ada path berarah dari v ke w. G disebut terhubung lemah, jika G tidak terhubung kuat, tetapi graf tak berarah yang bersesuaian dengan G terhubung.
AB
B O
A
Contoh: Manakah di antara graf-graf pada Gambar 2.3.yang terhubung kuat dan yang terhubung
lemah?
�
1
�
2
Gambar 2.3 Graf berarah terhubung
Penyelesaian: Dalam
�
1
, setiap dua titik dapat dihubungkan dengan path berarah sehingga graf berarah �
1
adalah graf terhubung kuat. Sebaliknya dalam �
2
, tidak ada path berarah yang menghubungkan
�
4
ke �
3
. Akan tetapi, jika semua arah garis dihilangkan sehingga �
2
menjadi graf tidak berarah, maka �
2
merupakan graf yang terhubung. Jadi, �
2
merupakan graf terhubung lemah.
2.2.1.3. Isomorfisma dalam Graf Berarah
Pengertian isomorfisma dalam graf berarah sama dengan isomorfisma pada graf tak berarah. Hanya saja pada isomorfisma graf berarah, korespondensi dibuat dengan
memperhatikan arah garis.
Contoh Tunjukkan bahwa graf
�
1
pada Gambar 2.4 isomorfis dengan �
2
, sedangkan �
3
tidak isomorfis dengan
�
1
Gambar 2.4 Isomofisma dalam Graf Berarah
V
1
V
3
V
4
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
V
2
V
1
V
2
V
3
V
4
e
1
e
4
e
3
e
5
e
6
e
2
V
5
V
1
V
2
V
3
V
4
G
3
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
G
1
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
G
2
Penyelesaian: Untuk membuktikan bahwa
�
1
isomorfis dengan �
2
, maka harus dibuat fungsi g : V
�
1
→ V�
2
dan h : E �
1
→ E�
2
yang mempertahankan titik-titik ujung serta arah garis. Dalam
�
1
, ada 4 garis yang keluar dari �
3
. Titik yang memiliki sifat seperti itu dalam �
2
adalah titik �
1
, sehingga dibuat fungsi g sedemikian hingga g
�
3
= �
1
, g �
1
= �
2
, g �
2
= �
3
, g �
5
= �
4
, dan g �
4
= �
5
fungsi h adalah sebagai berikut: h
�
1
, �
2
= �
2
, �
3
; h �
2
, �
5
= �
3
, �
4
h �
5
, �
4
= �
4
, �
5
; h �
4
, �
1
= �
5
, �
2
h �
3
, �
1
= �
1
, �
2
; h �
3
, �
2
= �
1
, �
3
h �
3
, �
5
= �
1
, �
4
; h �
3
, �
4
= �
1
, �
5
pada fungsi g dan h dapat dilihat bahwa �
1
isomorfis dengan �
2
. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
�
3
tidak isomorfis dengan �
1
. Dalam �
3
, ada garis �
1
, �
4
dan �
4
, �
1
. Jika
�
1
isomorfis dengan �
3
, maka harus ada fungsi h �
3
→ �
1
demikian, sehingga h �
1
, �
4
dan h �
4
, �
1
merupakan garis-garis dalam �
1
dengan kata lain, ada titik �
�
dan �
�
dalam �
1
demikian, sehingga ada garis dari �
�
ke �
�
dan dari �
�
ke �
�
. Dalam �
1
tidak ada garis seperti itu sehingga
�
3
tidak isomorfis dengan �
1
.
2.2.2. Graf Tak Berarah Undirected Graph
Suatu graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan simpul-simpul tak kosong VG dan himpunan jalur-jalur EG. Jika semua jalurnya tidak berarah, maka
grafnya disebut graf tak berarah Siang, J.J. 2009.
2.2.2.1. Graf Bipartite Bipartite Graph
Suatu graf G disebut Graf Bipartite apabila VG merupakan gabungan dari dua himpunan tak kosong
�
1
dan �
2
dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam �
1
dengan titik dalam �
3
. Apabila dalam Graf Bipartite setiap titik dalam �
1
berhubungan dengan setiap titik dalam
�
2
, maka grafnya disebut Graf Bipartite lengkap. Jika �
1
terdiri dari m titik dan
�
2
terdiri dari n titik, maka Graf Bipartite lengkapnya sering diberi simbol �
�,�
.
Contoh : Tentukan mana di antara graf-graf pada Gambar 2.5 yang merupakan Graf Bipartite dan
Bipartite Lengkap.
Gambar 2.5 Graf Bipartite
Penyelesaian: a. Jelas bahwa titik-titik grafnya terbagi menjadi dua bagian, yaitu
�
1
= { �
1
, �
2
, �
3
} dan �
2
= { �
4
, �
5
}. Setiap titik dalam �
1
dihubungkan dengan setiap titik dalam �
2
sehingga grafnya merupakan
�
3,2
. b. Hanya merupakan Graf Bipartite saja karena titik-titik dalam graf terbagi menjadi dua
bagian, yaitu �
1
= { �
1
, �
3
} dan �
2
= { �
2
, �
4
}. Akan tetapi tidak semua titik dalam �
1
dihubungkan dengan semua titik dalam �
2
�
1
tidak dihubungkan dengan �
4
. c. Dengan pengaturan letak titik-titiknya, maka graf gambar c dapat digambarkan
sebagai graf.
Gambar 2.6 Graf Bipartite
Tampak bahwa titik-titiknya terbagi menjadi dua bagian, yaitu �
1
= { �
1
, �
3
, �
5
} dan �
2
= { �
2
, �
4
, �
6
}. Setiap menghubungkan sebuah titik dalam �
1
dengan sebuah titik dalam
�
2
sehingga grafnya merupakan Graf Bipartite. d. Bila dilihat bahwa meskipun tampil berbeda, sebenarnya graf pada Gambar 2.5 bagian
d sama dengan graf pada Gambar 2.5 bagian a sehingga graf pada Gambar 2.5 bagian d adalah
�
3,2
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
5
e
1
e
2
e
3
e
4
e
6
a
v
1
v
2
v
3
v
4
e
1
e
2
e
3
b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
c
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
6
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
d
v
1
v
2
v
3
v
4
e
1
e
2
e
3
v
6
v
5
e
4
e
5
e
6
Posisi titik-titik dalam penggambaran graf kadang-kadang mempengaruhi pandangan, seperti halnya pada Gambar 2.5 bagian c dan d. Dalam kedua graf tersebut,
semua titik tampaknya terhubung dan tidak dapat dipisahkan walaupun kenyataannya tidaklah demikian. Oleh karena itu harus jeli dalam menentukan apakah suatu graf
merupakan Graf Bipartite. 2.2.2.2. SubGraf
Konsep subgraf sama dengan konsep himpunan bagian. Dalam teori himpunan, himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian B bila hanya setiap anggota A merupakan B.
Oleh karena graf merupakan himpunan yang terdiri dari titik dan garis, maka H dikatakan subgraf G, jika semua titik dan garis H juga merupakan titik dan garis dalam G. Secara
formal, subgraf dapat didefinisikan sebagai berikut. Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakn subgraf G bila dan hanya bila
a. VH ⊆ VG
b. EH ⊆ EG
c. Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang sama dengan garis tersebut dalam G.
Dari definisi tersebut ada beberapa hal yang dapat diturunkan 1. Sebuah titik dalam G merupakan subgraf G.
2. Sebuah garis dalam G bersama-sama dengan titik-titik ujungnya merupakan subgraf G.
3. Dalam subgraf berlaku sifat transitif, jika H adalah subgraf G dan G adalah subgraf K, maka K adalah subgraf K.
Contoh: Gambarlah semua Subgraf yang mungkin dibentuk dari graf G pada Gambar 2.7.
Gambar 2.7 Sub Graf
Penyelesaian: G terdiri dari dua titik dan dua garis. Subgraf G yang mungkin dibentuk terdiri dari satu
atau dua titik dan 0, satu atau dua garis. Semua Subgraf G yang mungkin dibuat dapat digambarkan sebagai berikut:
v
1
v
2
e
2
e
1
Jumlah garis = 0
Jumlah garis = 1
Jumlah garis = 2
Gambar 2.8 Sub-Graf dari Gambar 2.7
2.2.2.3. Derajat Degree
Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. derajat titik v simbol dv adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G
adalah jumlah derajat semua titik dalam G.
Contoh: Tentukan derajat tiap-tiap titik dalam graf pada Gambar 2.9. Berapa derajat totalnya
Gambar 2.9 Derajat Degree
Penyelesaian: d
�
1
= 4 garis yang berhubungan dengan �
1
adalah �
2
, �
3
dan loop �
1
yang dihitung dua kali.
v
1
v
2
v
1
v
2
v
1
v
2
v
1
e
1
e
2
v
1
v
2
e
1
v
1
v
2
e
1
e
2
e
1
e
2
e
3
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
e
4
e
5
d �
2
= 2 garis yang berhubungan dengan �
2
adalah �
2
dan �
3
. d
�
3
dan d �
5
= 1 karena garis yang berhubungan dengan �
3
dan �
5
adalah �
4
. d
�
4
= 2 garis yang berhubungan dengan �
4
adalah loop �
5
yang dihitung dua kali. d
�
6
= 0 karena tidak ada garis yang berhubungan dengan �
6
. Derajat total =
∑ � �
� 6
�=1
= 4 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 = 10.
2.2.2.4. Path dan Sirkuit
Misalkan G adalah suatu graf. Misalkan pula v dan w adalah dua titik dalam G. Suatu Walk dari v dan w adalah barisan titik-titik berhubungan dan garis secara berselang-selang,
diawali dari titik v dan diakhiri pada titik w. Walk dengan panjang n dan v ke w dituliskan sebagai berikut
� �
1
�
1
�
2
�
2
… �
�−1
�
�
�
�
dengan �
= v, �
�
= w, �
� −1
, dan �
�
adalah titik-titik ujung garis �
� .
Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua garisnya berbeda. Path dari v ke w
dituliskan sebagai v = �
�
1
�
1
�
2
�
2
… �
�−1
�
�
�
�
= w dengan �
�
≠ w untuk i ≠ j.
Gambar 2.10 Bagan Alur Path dan Sirkuit
Path sederhana dengan panjang n dan v ke w adalah path dari v ke w berbentuk v = �
�
1
�
1
�
2
�
2
… �
�−1
�
�
�
�
= w dengan �
�
≠ w untuk i ≠ j dan �
�
≠ �
�
untuk k ≠ m.
Sirkuit dengan panjang n adalah path yang dimulai dan diakhiri pada titik yang sama. Sirkuit adalah path yang berbentuk v =
� �
1
�
1
�
2
�
2
… �
�−1
�
�
�
�
= w dengan �
= �
�
. Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah Sirkuit yang semua titiknya berbeda. Sirkuit
sederhana berbentuk v = �
�
1
�
1
�
2
�
2
… �
�−1
�
�
�
�
= w dengan �
�
≠ �
�
untuk i ≠ j dan
�
�
≠ �
�
untuk k ≠ m, kecuali �
= �
�
.
Walk v w v =
v v
1
e
2
v
2 …
v
n
-
1
e
n
v
n =
w
v
j-1 dan
v
i
adalah titik-titik ujung garis
e
i
Path v w
Path sederhana v w Sirkuit
Semua garis berbeda
Semua titik berbeda
Titik awal dan akhir Sama
v
0 =
v
n
Sirkuit sederhana
Titik awal dan akhir Sama
v
0 =
v
n Semua titik berbeda
Kecuali
v
0 =
v
n
2.2.2.5. Sirkuit Euler Sirkuit Euler adalah Sirkuit yang melalui tiap sisi dalam graf tepat satu kali Siang, J.J.
2009 Untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler yang berhasil memperkenalkan graf untuk memecahkan masalah tujuh jembatan Koningsberg pada tahun 1736.
Kota Koningberg dibangun pada pertemuan dua cabang sungai Pregel. Kota tersebut terdiri dari sebuah pulau di tengah-tengah dan tujuh jembatan yang
mengelilinginya.
Gambar 2.11 Jembatan Konigsberg
2.2.2.6. Graf Terhubung dan Tidak Terhubung
Misalkan G adalah suatu Graf. Dua titik v dan w dalam G dikatakan terhubung hanya ada walk dari v ke w. Graf G dikatakan terhubung bila hanya setiap dua titik dalam G
terhubung. Graf G dikatakan tidak terhubung bila ada dua titik dalam G yang tidak terhubung.
Contoh Tentukan mana di antara graf pada Gambar 2.12 yang merupakan Sirkuit Euler. carilah
rute perjalanan kelilingnya
Gambar 2.12 Graf terhubung dan Graf tak terhubung
v
1
v
10
e
10
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
9
e
9
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
14
e
11
e
12
e
13
a
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
b
v
1
v
3
v
4
v
5
e
5
e
1
e
2
e
3
e
4
e
6
e
7
e
8
c
Penyelesaian: a. d
�
2
= d �
3
= d �
4
= d �
6
= d �
10
= 2 d
�
5
= 4 d
�
7
= d �
8
= d �
9
= 3 d
�
1
= 5 karena ada titik yang berderajat ganjil, maka a bukanlah Sirkuit Euler.
b. Meskipun semua titiknya berderajat dua genap, tetapi grafnya tidak terhubung. Jadi, b bukanlah Sirkuit Euler.
c. d �
1
= d �
3
= 2 d
�
2
= d �
4
= d �
5
= 4 karna graf c terhubung dan semua titiknya berderajat genap, maka c merupakan
Sirkuit Euler.
2.2.2.7. Sirkuit Hamilton
Suatu graf terhubung G disebut Sirkuit Hamilton bila ada sirkuit yang mengunjungi setiap titiknya tepat satu kali kecuali titik awal yang sama dengan titik akhirnya.
Perhatikan perbedaaan Sirkuit Euler dan Sirkuit Hamilton. Dalam Sirkuit Euler, semua garis harus dilalui tepat satu kali, sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih
dari satu kali. Sebaliknya, dalam Sirkuit Hamilton semua titik harus dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melalui semua garis. Dalam Sirkuit Euler, yang dipentingkan adalah
garisnya. Sebaliknya dalam Sirkuit Hamilton, yang dipentingkan adalah kunjungan pada titiknyaMunir, R. 2009.
2.3. Representasi Graf dalam Matriks