23
2.7 Transformasi Wavelet
Salah satu metode prapemrosesan yang direkomendasikan untuk digunakan mereduksi dimensi peubah adalah transformasi wavelet diskret TWD. Dari
kajian empiris Sunaryo 2005 dan kajian pustaka McNulty dan Mauze 1998; Shao dan Zhuang 2004; Yi-yu dan Chen 2000; Fearn 1999; Brown et al. 2001
transformasi wavelet diskret merupakan metode prapemrosesan yang menjanjikan dalam mereduksi dimensi matriks peubah bebas. Karena mampu menghasilkan
model regresi yang mempunyai ukuran kebaikan model relatif baik untuk prediksi. Wavelet
mulai digunakan dalam analisis statistika pada akhir dekade 1980- an, antara lain untuk : analisis regresi, analisis faktor, pemodelan dan peramalan
deret waktu, pendugaan fungsi kepekatan, pendugaan proses stasioner spektrum dan lain-lain Vidocovic dan Meuller 1991
;
Morettin 1997. Ada dua jenis fungsi wavelet
, yaitu : mother wavelet, yang dilambangkan dengan ψ ; serta father
wavelet , dengan lambang
φ . Suatu fungsi dikatakan wavelet jika memenuhi dua syarat, yaitu :
1.
∫ ∫
∞ ∞
− ∞
∞ −
= =
1
2
dx x
dx x
ψ φ
father wavelet 2.
∫
∞ ∞
−
= 0 dx
x ψ
. mother wavelet 14
Wavelet yang sederhana yaitu wavelet Haar yang dikenalkan oleh Alferd Harr pada
tahun 1909 Vidocovic dan Meuller 1991. Selain itu terdapat wavelet yang mulus, wavelet
yang nilainya tidak nol secara terbatas compact support, misalnya wavelet
dari keluarga Daubechies dan lain-lain. Beberapa bentuk wavelet dari keluarga Daubechies, yang termasuk wavelet compact support, dapat dilihat pada
Gambar 4 dan Gambar 5.
Wavelet Picture
Haar wavelet x
psi
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
-1 .0
-0 .5
.0 .5
1 .0
Gambar 4 Bentuk wavelet Haar
24
Wavelet Picture
Daub cmpct on ext. phase N=2 x
psi
-1 1
2 3
-1.0 -0.5
0.0 .5
1.0 1
.5
Wavelet Picture Enhanced
Daub cmpct on ext. phase N=3 x
psi
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 1.5
-1 .0
-0 .5
.0 .5
1 .0
1 .5
Wavelet Picture Enhanced
Daub cmpct on ext. phase N=4 x
psi
-1 1
2 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
Wavelet Picture Enhanced
Daub cmpct on ext. phase N=5 x
psi
-2 -1
1 2
-1 .0
-0 .5
.0 .5
1 .0
Gambar 5 Bentuk-bentuk keluarga wavelet Daubechies D-2, D-3, D-4 dan D-5 Bila dilihat dari bilangan dilatasi dan translasi, terdapat dua jenis fungsi
wavelet, yaitu : transformasi wavelet kontinu TWK bila bilangan tersebut real,
serta transformasi wavelet diskret TWD bila bilangan tersebut bulat positif. Fungsi basis diperoleh dengan dilatasi dan translasi fungsi father wavelet
dan mother wavelet Nason dan Silverman 1994. Dalam transformasi Fourier fungsi basis yang digunakan adalah fungsi sinus dan kosinus, oleh karena itu
metode wavelet dapat dipandang sebagai perluasan dari analisis Fourier. Dari fungsi wavelet
x ψ
dapat dibangkitkan fungsi basis dalam suatu ruang fungsi
2
ℜ L
dengan cara translasi dan dilatasi dari x
ψ . Bentuk umum
fungsi-fungsi basis tersebut adalah :
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
∞ −∞
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= b
a a
b x
a x
b a
, ;
1
,
ψ ψ
. 15
Pada nilai khusus
{ }
,... 1
, ,
; 2
, 2
± =
∈ =
=
− −
Z k
j k
b a
j j
maka akan diperoleh sekumpulan fungsi basis yang saling ortogonal sehingga grafiknya tidak saling
tumpang tindih. Bentuk fungsi basis ortogonal yang diperoleh dengan cara dilatasi dan
translasi dari fungsi mother wavelet t
ψ ,
25 }
, ;
2 2
{
2 ,
Z k
j k
x x
j j
k j
∈ −
= ψ
ψ .
16 Fungsi basis tersebut merupakan fungsi basis ortonormal pada ruang
2
ℜ L
, yaitu ruang dari semua fungsi yang terintegralkan kuadrat
∞
∫
dx x
f
2
. Dengan demikian jika
2
ℜ ∈L
x f
, maka fx dapat didekomposisi atau direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari fungsi-fungsi basis yang ortonormal.
Dari fungsi father wavelet t
φ dapat dibangkitkan fungsi basis ortonormal yang menyusun ruang
2
ℜ L
. Dengan demikian bentuk umum fungsi basis dalam ruang
2
ℜ L
adalah :
{ }
Z k
j j
o k
j k
jo
∈ ≥
, ,
,
, ,
ψ φ
, 17
dengan
,
t φ
disebut fungsi skala, yang berhubungan dengan
,
t
k j
ψ .
Himpunan
{ }
Z k
k jo
∈ ,
,
φ akan membentuk anak ruang yang sama seperti
{ }
Z k
j j
o k
j
∈ ≥
, ,
,
ψ .
Contoh sederhana fungsi basis wavelet untuk
2
ℜ L
dari wavelet Haar adalah sebagai berikut :
Mother wavelet
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ≤
− ≤
= selainnya
t t
t ,
1 ,
1 ,
1
2 1
2 1
ψ 18
dengan 2
t ψ
, 1
2 −
t ψ
, 2
2 −
t ψ
dan seterusnya adalah saling ortogonal. Father wavelet
⎩ ⎨
⎧ ≤
= .
, 1
, 1
selainnya t
t φ
19 Dimana hubungannya dengan
t ψ
dapat ditunjukkan sebagai 1
2 2
− −
= t
t t
φ φ
ψ .
20 Fungsi
skala atau
father wavelet ,
φ , merupakan penyelesaian dari persamaan :
∑
− =
k k
k t
t 2
2 φ
φ l
. 21
Fungsi t
φ dapat membangkitkan suatu keluarga ortonormal pada ruang ℜ
2
L ,
26 Z
k j
k t
t
j j
k j
∈ −
= ,
, 2
2
2 ,
φ φ
. 22
selanjutnya didapatkan mother wavelet ψ dari fungsi φ melalui persamaan :
∑
− =
k k
k t
h t
2 2
φ ψ
, 23
dengan
k k
k
h
−
− =
1
1 l
Vidacovic dan Meuller 1991 dan disebut quadrature mirror filter relation
.
k
l dan
k
h merupakan koefisien-koefisien dari low pass dan
high pass filters dan disebut quadrature mirror filters dan dapat digunakan untuk
menghitung transformasi wavelet diskret Morettin 1997. Koefisien-koefisien tersebut didefinisikan sebagai berikut :
∫
∞ ∞
−
− =
dt k
t t
k
2 2
φ φ
l
∫
∞ ∞
−
− =
dt k
t t
h
k
2 2
φ ψ
. 24
Persamaan 21 dan 23 disebut persamaan dilatasi. Berdasarkan sistem persamaan ortonormal :
{ }
, ,
, ,
, ,
, k
jo j
k j
k j
Z k
j t
t
≥
∈ ψ
φ maka
2
ℜ ∈ L
t f
dapat didekomposisi menjadi :
∑ ∑∑
≥
+ =
k jo
j k
k j
k j
k jo
k jo
t d
t c
t f
, ,
, ,
ψ φ
, 25
dengan :
∫
∞ ∞
−
= dt
t t
f c
k jo
k jo
, ,
φ dan
∫
∞ ∞
−
= dt
t t
f d
k j
k j
, ,
ψ .
Transformasi Wavelet Diskret
Misalkan terdapat vektor data
T q
x x
x x
, ...
, ,
1 1
−
= dengan
M
q 2
= ,
M 0 integer. Transformasi wavelet diskret TWD didefinisikan sebagai berikut :
∑
− =
=
1 ,
, q
t k
j t
k j
t x
d ψ
ψ
26 1
,..., 2
, 1
, −
= M
j dan
1 2
,..., 1
, −
=
j
k sehingga diperoleh
1 −
q koefisien dan
satu koefisien
,
c sama dengan dimensi matriks peubah X.
27 Dengan notasi matriks, TWD pada persamaan 26 dapat ditulis :
x d
B =
27
karena B ortogonal, maka dapat ditulis :
d x
T
B =
28 dengan
T n
d d
d d
d d
d d
c d
,... ,
... ,
, ,
, ,
, ,
,
, 1
3 ,
2 2
, 2
1 ,
2 ,
2 1
, 1
, 1
, ,
−
= dan
T
B adalah
matriks yang elemen-elemen kolomnya adalah nilai dari t
φ dan
,
t
k j
ψ untuk
berbagai t
[ ]
1 ,
∈ . Sifat-sifat khusus dari matriks
T
B adalah : ortonormal, kolom
pertama bernilai sama, serta jumlah unsur tiap kolom yang lain sama dengan nol. Vektor data x dapat dihubungkan dengan fungsi f pada interval [0,1 dan
didefinisikan sebagai :
{ }
∑
− =
+ +
≤
=
1 2
1 1
2 q
k k
k t
k k
M M
I x
t f
. 29
Fungsi ini dikenal dengan fungsi tangga dan termasuk dalam ]
1 ,
[
2
L , sehingga
dekomposisi wavelet dari ft adalah :
∑ ∑
− =
− =
+ =
1 1
2 ,
, ,
M j
k k
j k
j
j
t d
t c
t f
ψ φ
. 30
Untuk 1 =
t φ
disebut fungsi skala untuk wavelet Haar. Persamaan 30 disebut transformasi wavelet diskret, karena nilai j hanya
diambil pada bilangan bulat positif saja. Bilangan j pada persamaan 30 disebut level resolusi, dan ft dapat diperoleh secara tepat, jika diambil semua level
resolusi untuk dekomposisi, yaitu level resolusi 0 sampai dengan M-1. Koefisien c
0,0
disebut koefisien pemulusan atau bagian pendekatan dari suatu fungsi, sedang d
j,k
disebut koefisien wavelet atau juga disebut bagian detail suatu fungsi. Contoh sederhana :
Misalkan ada empat pengamatan q=4, M=2,
T
x x
x x
x ,
, ,
3 2
1
= , maka
dapat ditulis sebagai berikut :
∑ ∑
= −
=
+ =
1 1
2 ,
, ,
j k
k j
k j
j
t d
t c
t f
ψ φ
.
1 ,
1 1
, 1
, 1
, 1
, ,
,
t d
t d
t d
t c
t f
ψ ψ
ψ φ
+ +
+ =
28
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧
≤ ≤
≤ ≤
= .
1 ,
, ,
,
4 3
3 4
3 4
2 2
4 2
4 1
1 4
1
t x
t x
t x
t x
t f
Dengan TWD diperoleh : ,
[ ,
[ ,
[ ,
[ ,
[
4 1
11 11
4 1
10 10
4 1
00 00
4 1
00 4
1
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x
ψ ψ
ψ φ
, [
, [
, [
, [
, [
4 2
4 1
11 11
4 2
4 1
10 10
4 2
4 1
00 00
4 2
4 1
00 4
2 4
1 1
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x
ψ ψ
ψ φ
, [
, [
, [
, [
, [
4 3
4 2
11 11
4 3
4 2
10 10
4 3
4 2
00 00
4 3
4 2
00 4
3 4
2 2
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x
ψ ψ
ψ φ
. 1
, [
1 ,
[ 1
, [
1 ,
[ 1
, [
4 3
11 11
4 3
10 10
4 3
00 00
4 3
00 4
3 3
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x
ψ ψ
ψ φ
Dalam notasi matriks dapat ditulis :
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
= ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
11 10
00 00
4 3
11 4
3 10
4 3
00 4
3 4
3 4
2 11
4 3
4 2
10 4
3 4
2 00
4 3
4 2
4 2
4 1
11 4
2 4
1 10
4 2
4 1
00 4
2 4
1 4
1 11
4 1
10 4
1 00
4 1
3 2
1
1 ,
[ 1
, [
1 ,
[ 1
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
, [
d d
d c
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
x x
x x
ψ ψ
ψ φ
ψ ψ
ψ φ
ψ ψ
ψ φ
ψ ψ
ψ φ
atau : d
x
T
B =
B disebut matriks transformasi wavelet. Agar diperoleh matriks B
T
yang ortogonal, maka dipilih
t φ dan
,
t
k j
ψ sedemikian hingga :
1.
∫
=
1
1 dt
t φ
2.
∫
=
1
dt t
jk
ψ
3.
∫
=
1 2
1 dt
t
jk
ψ
4.
∫
=
1
dt t
t
lm jk
ψ ψ
untuk j=l dan k=m tidak terjadi secara bersamaan.
29 5.
∫
=
1
dt t
t
jk
ψ φ
.
Kemudian matriks B
T
diperoleh dengan mengalikan semua komponen t
φ dan
,
t
k j
ψ dengan
p 1
untuk 1
, [
∈ t
. Misal
untuk wavelet
Haar :
⎩ ⎨
⎧ ≤
= selainnya
, 1
, 1
t t
φ
⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎨ ⎧
+ ≤
+ −
+ ≤
=
+ +
. selainnya
, 2
1 2
1 2
, 2
2 1
2 2
, 2
1 2
1 2
j j
j j
j j
jk
k t
k k
t k
t
ψ
Pada kasus p = 4 maka untuk wavelet Haar adalah :
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
=
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
T
.
Contoh lain untuk M=3 p= 8
2 =
M
:
T
x x
x x
x x
x x
x ,
, ,
, ,
, ,
7 6
5 4
3 2
1
=
∑ ∑
= −
=
+ =
2 1
2 ,
, ,
j k
k j
k j
j
t d
t c
t f
ψ φ
.
+ +
+ +
+ =
, 2
, 2
1 ,
1 1
, 1
, 1
, 1
, ,
,
t d
t d
t d
t d
t c
t f
ψ ψ
ψ ψ
φ
3 ,
2 3
, 2
2 ,
2 2
, 2
1 ,
2 1
, 2
t d
t d
t d
ψ ψ
ψ
+ +
30
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎧
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
=
1 t
; t
; t
; t
; t
; t
; t
; t
;
8 7
7 8
7 8
6 6
8 6
8 5
5 8
5 8
4 4
8 4
8 3
3 8
3 8
2 2
8 2
8 1
1 8
1
x x
x x
x x
x x
t f
serta bentuk matriks
T
B
dari wavelet Haar adalah :
- -
- -
- -
- -
- -
2,3 2,2
2,1 2,0
1,1 1,0
0,0 0,0
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
7 6
5 4
3 2
1 o
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
d d
d d
d d
d c
x x
x x
x x
x x
.
yang memenuhi
I BB
B B
= =
T T
. Karena
B ortogonal maka koefisien wavelet dapat dihitung dengan
x d
B =
. Bila x berdimensi besar, perhitungan koefisien wavelet dengan cara matriks tidak
efisien, sehingga digunakan algoritma piramida. Dari contoh sederhana terlihat
jumlah elemen tiap kolom dari matriks B
T
sama dengan nol kecuali kolom pertama yang berhubungan dengan fungsi skala father wavelet. Hal ini karena elemen-
elemen selain kolom pertama dari matriks B
T
diperoleh dari fungsi mother wavelet yang mempunyai sifat umum
∫
∞ ∞
−
= 0 dt
t ψ
. Jika
matriks
T p
nxp
x x
x ]
, ...
, ,
[
2 1
= Χ
dengan
M
q p
2 =
= M=bilangan bulat
positif maka TWD dapat ditulis :
T pxp
nxp nxp
B X
D =
. 31
31
Karena dimensi dari B sangat besar p
, maka dipilih level-level resolusi tertentu sedemikian hingga banyaknya koefisien wavelet yang terpilih
sebesar p
dengan p
n p
− 1
akibatnya akan diperoleh
T pxp
nxp nxp
B X
D =
32 yang mereduksi pengamatan dari p titik tiap-tiap contoh menjadi
p titik koefisien wavelet
yang terpilih.
Adapun sifat-sifat dari matriks koefisien wavelet D adalah :
1.
Koragam antar kolom pada matriks D secara umum tidak sama dengan nol, sehingga antar kolom D masih dimungkinkan terjadi korelasi.
2.
Jumlah akar ciri dari D
T
D akan sama dengan jumlah akar ciri X
T
X , yang
berarti pada reduksi dimensi dengan TWD
T pxp
nxp nxp
B X
D =
proporsi
keragaman peubah asal X yang dapat diterangkan oleh D
tergantung pada kemampuan memperoleh jumlah akar ciri yang tidak nol yang proporsinya
masih besar dibanding dengan jumlah akar ciri yang diperoleh oleh D
T
D atau
X
T
X Sunaryo 2005.
Dari sifat-sifat tersebut maka transformasi wavelet diskret mempunyai keunggulan dibandingkan transformasi Fourier atau analisis komponen utama
dalam hal banyaknya alternatif memilih berbagai fungsi wavelet yang jumlah akar ciri
T
D D
masih besar, sehingga hasil reduksi dimensi masih cukup mendekati peubah asal. Sedangkan kelemahannya, ternyata tidak ada jaminan secara
matematis bahwa korelasi antar koefesien wavelet menjadi relatif kecil semua, sehingga masih dimungkinkan terjadi kasus kolinearitas ganda. Akibatnya
transformasi wavelet diskret sebaiknya digabung dengan metode lainnya dalam pemodelan regresi.
2.8 Validasi