Derivatif Definisi Spiegel 1986 :58 Integral Tak Wajar Definisi 2.3 Baisuni.1986 : 228 Ekspektasi dan Variansi

6

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan menjelaskan mengenai beberapa landasan teori untuk menerapkan regresi nonparametrik yaitu regresi nonparametrik Spline kuadratik dan Theil. 2.1 Derivatif Definisi 2.1 Spiegel 1986 :58 Misalkan x f y = adalah fungsi dan c berada pada domain f. Derivatif fungsi f pada c dinyatakan dengan c f , maka x c f x c f c f x ∆ − ∆ + = → ∆ lim 2.1 Jika nilai limitnya ada. Teorema 2.2 Aturan Rantai Fungsi f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai derivatif, maka fungsi komposisi g f  juga mempunyai derivatif. Jika u f y = dan x g u = , maka derivatif x g f x g f y = =  dx du du dy dx dy ⋅ = 2.2 Bukti : x u u y x y ∆ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ . Jika x g u = mempunyai derivatif, maka → ∆u bila → ∆x 7 . lim lim . lim lim = = ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ dx du x u x x u x u x x x x Jadi, lim lim lim x u u y x y x x x ∆ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ → ∆ → ∆ → ∆ Sehingga dx du du dy dx dy ⋅ =

2.2 Integral Tak Wajar Definisi 2.3 Baisuni.1986 : 228

Integral tak wajar adalah suatu integral yang salah satu atau kedua harga limit batas integralnya adalah tak berhingga untuk suatu harga x dalam interval [a,b] sehingga, ∫ ∫ ∞ − −∞ → = b a b a dx x f dx x f lim 2.3 ∫ ∫ ∞ ∞ → = b a a b dx x f dx x f lim 2.4 Apabila limit di ruas kanan ada dan tak berhingga, maka dikatakan integral tak wajar yang bersangkutan konvergen dan memiliki nilai yang terhingga itu. Jika 8 tidak, integral tersebut disebut divergen. Jika ∫ ∞ − dx x f dan ∫ ∞ dx x f konvergen maka dikatakan ∫ ∞ ∞ − dx x f konvergen dengan nilai : ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − + = dx x f dx x f dx x f 2.5

2.3 Ekspektasi dan Variansi

Variansi berperan penting dalam analisis regresi spline kuadratik. Oleh karena itu, akan dibahas dasar teori tentang variansi. Definisi 2.4 Bain 1992 : 67 Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas fx , maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai berikut : ∫ ∞ ∞ − = dx x xf X E 2.6 Jika nilai integral ini ada maka dikatakan konvergen absolut, jika tidak maka dikatakan nilai EX tidak ada. Jika X variabel random dengan fungsi densitas probabilitas fx , a dan b suatu konstanta, gx dan hx fungsi real dengan domain elemen dari X maka : [ ] [ ] [ ] X h bE x g aE X bh X ag E + = + Definisi 2.5 Bain 1992:73 Variansi dari variabel random didefinisikan sebagai : [ ] 2 2 2 2 2 , 2 X E X E X E X E X E X E X Var − = = + − = − = µ µ µ µ 9 Jika X variabel random, a dan b suatu konstanta, maka : [ ] X Var a X a E b aX Var 2 2 2 = − = + µ

2.4 Jenis Matriks