Jenis Matriks Operasi Matriks

9 Jika X variabel random, a dan b suatu konstanta, maka : [ ] X Var a X a E b aX Var 2 2 2 = − = + µ

2.4 Jenis Matriks

1. Matriks Bujur Sangkar Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama. Pada matriks bujur sangkar, elemen-elemen nn a a a ,..., , 22 11 disebut sebagai elemen diagonal. Contoh :             = nn n n n n a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 12 11 2.7 dengan banyaknya baris = banyaknya kolom = n 2. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu dan elemen luar diagonalnya bernilai 0. 3. Matriks Simetrik Matriks simetrik adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal, dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. 4. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah adalah matriks bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya nol 10 5. Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. 6. Matriks Definit Positif Matriks A dikatakan definit positif bila matriks A merupakan matriks yang simetrik dan n i a ij ≤ ≤ ∀ 1

2.5 Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan Definisi 2.6 Harville 2008 : 3 Penjumlahan dua matriks A dan B didefinisikan sebagai jumlahan elemen seletak pada matriks A dan B. Misalkan [ ] ij A A = mempresentasikan matriks A dengan ukuran m x n dan [ ] ij B B = mempresentasikan matriks B dengan ukuran m x n , maka : [ ] ij ij B A B A + = + Definisi 2.7 Harville 2008 : 3 Pengurangan dua matriks A dan B didefinisikan sebagai pengurangan elemen seletak pada matriks A dan B. Misalkan [ ] ij A A = mempresentasikan matriks A dengan ukuran m x n dan [ ] ij B B = mempresentasikan matriks B dengan ukuran m x n , maka : [ ] [ ] ij ij ij ij B A B A B A B A − = − + = − + = − 11 Penjumlahan dan pengurangan sembarang dua buah matriks A dan B dapat terjadi jika kedua matriks itu mempunyai ordo ukuran yang sama. Jumlah matriks A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen- elemen dalam matriks A dengan elemen yang seletak dalam matriks B. Sedangkan pengurangan matriks A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangi elemen-elemen dalam matriks A dengan elemen yang seletak dalam matriks B 2. Perkalian Matriks Pada operasi perkalian matriks, jumlah kolom dari faktor pertama A harus sama dengan julah baris dari faktor kedua B agar dapat dibentuk hasil kali AB n m n r r m AB B A × × × = × Definisi 2.8 Harville 2008 : 2 tentang perkalian matriks dengan skalar Pada konteks matriks dan vektor, suatu bilangan real k disebut sebagai skalar. Misalkan [ ] ij A A = mempresentasikan matriks A dengan ukuran m x n. perkalian matriks A dan suatu skalar k didefinisikan sebagai : [ ] [ ] ij ij kA A k kA = = Definisi 2.9 Harville 2008 : 3 tentang perkalian matriks dengan matriks Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris ada matriks B. Misalkan [ ] ij A A = berukuran m x p dan [ ] ij B B = berukuran p x n maka C=AB berukuran m x n . 3. Transpose Matriks Dinamakan transpose matriks A A ′ jika baris-baris pada A ditukar menjadi kolom-kolom pada A ′dan sebaliknya. 12 Definisi 2.10 Rencer and Schaalje 2008 : 7 Transpose dari matriks [ ] ij A A = berukuran m x n didefinisikan sebagai [ ] [ ] ji ij A A A = ′ = ′ yang berukuruan n x m Beberapa sifat transpose : 1 A A = ′ ′ 2 B k A k B k A k ′ ± ′ = ′ ± 2 1 2 1 3 A k kA ′ = ′ , dengan k adalah skalar sebarang 4 A B AB ′ ′ = ′ Bukti : 1 Misalkan [ ] ij A A = berukuran m x p dan berdasarkan definisi 2.10 maka [ ] [ ] [ ] A A A A A ij ji ij = = ′ = ′     ′ = ′ ′ 2 Misalkan [ ] ij A A = berukuran m x p, [ ] ij B B = berukuran m x p . k 1 dan k 2 adalah skalar, berdasarkan Definisi 2.6 dan Definisi 2.10 diperoleh [ ] [ ] [ ] [ ] B k A k B k A k B k A k B k A k B k A k ji ji ij ij ij ij ′ ± ′ = ± = ′ ± ′ = ′ ± = ′ ± 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 Misalkan [ ] ij A A = berukuran m x p , [ ] ij B B = berukuran m x p . k adalah skalar. Berdasarkan Definisi 2.8 dan Definisi 2.10 diperoleh [ ] [ ] [ ] A k A k kA kA kA ji ji ij ′ = = = ′ = ′ 4 Misalkan [ ] ij A A = berukuran m x p , [ ] ij B B = berukuran m x p . berdasarkan sifat Definisi 2.9 dan Definisi 2.10 diperoleh 13 A B A B B A AB p k ki jk p k kj ik ′ ′ =     = ′     = ′ ∑ ∑ = = 1 1 4. Inverse Matriks Jika A adalah matriks bujur sangkar, dan jika terdapat suatu matriks B yang ukurannya sama seddmikian sehigga AB = BA = I, maka A disebut invertible dapat dibalik dan B disebut sebagai invers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular. 5. Trace Matriks Bila A suatu matriks bujur sangkar, maka jumlah unsur diagonal matriks A adalah trace dengan trA, sehingga ∑ = = + + + = n i ii nn a a a a A tr 1 22 11 ... Lambang tr adalah singkatan dari trace dalam bahasa inggris. Jadi trI n = n .

2.6 Regresi Linear Sederhana