5
BAB II MEDAN LISTRIK DI SEKITAR KONDUKTOR SILINDER
II. 1 Hukum Coulomb
Charles Augustin Coulomb 1736-1806, adalah orang yang pertama kali yang melakukan percobaan tentang muatan listrik statis. Dari hasil percobaannya,
Coulomb menyatakan bahwa gaya
F
antara dua muatan
Q
1
dan
Q
2
, berbanding lurus dengan besar muatan, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak
R
antara dua muatan tersebut. Secara matematis persamaannya dapat ditulis :
2 2
1
R Q
Q k
F
Newton
2.1 Dimana
k
adalah suatu nilai konstanta. Dalam Sistem Internasional SI, nilai konstanta k diberikan oleh:
4
1
k
2.2
dimana ε merupakan permitivitas medium di sekitar muatan. Satuan SI untuk
permitivitas adalah Farad per meter Fm
-1
. Permitivitas ruang hampa adalah:
1 1
12
85 .
8 10
85 .
8
pFm
Fm
1 1
9
36 1
10 36
1
nFm
Fm
Permitivitas udara nilainya mendekati permitivitas ruang hampa. Gaya merupakan besaran vektor, oleh sebab itu, gaya memiliki besar dan arah. Jika
Persamaan 2.1 ditulis sebagai persamaan vektor dengan mensubstitusikan nilai k, maka diperoleh:
Universitas Sumatera Utara
6
4 .
ˆ
2 2
1
r Q
Q r
F
2.3
Dimana :
F
= gaya
Newton
= vektor satuan yang searah dengan garis yang menghubungkan kedua muatan
Q
1
= muatan 1
Coulomb Q
2
= muatan 2
Coulomb
ε = permitivitas medium di sekitar muatan
Fm
-1
r
= jarak di antara kedua muatan
m
Rumus di atas merupakan rumus vektoris Hukum Coulomb secara lengkap dalam satuan SI. Arah gaya yang timbul pada muatan listrik mengikuti arah garis
yang menghubungkan kedua muatan tersebut dan juga di tentukan oleh kedua jenis muatan tersebut, seperti yang tergambar pada gambar 2.1. Pada gambar 2.1a, gaya
mengarah ke luar gaya tolak jika kedua muatan sejenis, gambar 2.1b, gaya mengarah ke dalam gaya tarik jika kedua muatan berbeda jenis.
a
b
Gambar 2. 1 Arah gaya pada muatan listrik yang saling berdekatan
+ F
21
+
Q
1
Q
2
R
F
12
F
21
_
Q
1
Q
2
R
+ F
12
Universitas Sumatera Utara
7
II. 2 Intensitas Medan Listrik
Misalkan sebuah muatan positif titik
Q
1
ditempatkan pada pusat sebuah sistem koordinat. Apabila sebuah muatan uji positif
Q
2
ditempatkan di daerah muatan
Q
1
, maka muatan
Q
2
ini akan mengalami gaya. Gaya ini akan semakin besar ketika muatan
Q
2
bergerak mendekati muatan
Q
1
. Dapat dikatakan bahwa
Q
1
memiliki medan disekelilingnya yang menimbulkan gaya bagi muatan lain. Jadi, medan listrik adalah suatu daerah dimana masih dipengaruhi oleh gaya.
Medan listrik pada muatan titik diilustrasikan oleh gambar 2.2 di bawah ini:
Gambar 2. 2 Vektor medan gaya suatu muatan titik
Besarnya gaya yang dialami oleh muatan
Q
2
akibat
Q
1
, diberikan oleh Persamaan 2.3, yaitu:
4 .
ˆ
2 2
1
r Q
Q r
F
Dari persamaan di atas, diperoleh gaya per satuan muatan yang didefinisikan sebagai intensitas medan listrik, yaitu:
4
ˆ
2 1
2
r Q
r Q
F E
2.4
+
Q
1
Q
2
+
F E
Universitas Sumatera Utara
8
Dimana
Q
2
merupakan muatan uji positif. Satuan SI untuk intensitas medan listrik adalah Newton per Coulomb NC
-1
. Satuan lain yang sering digunakan untuk menyatakan intensitas medan listrik adalah
Volt per meter Vm
-1
. Berdasarkan Persamaan 2.4, muatan titik
Q
1
dikelilingi oleh suatu medan listrik dengan intensitas sebesar
E
yang sebanding dengan besar
Q
1
dan berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak
r
2
. Intensitas medan listrik
E
merupakan sebuah vektor yang memiliki arah yang sama dengan arah gaya
F
tetapi berbeda dimensi dan besarnya
magnitude
.
II. 3 Prinsip Superposisi Medan Listrik
Untuk mencari intensitas medan listrik
E
yang dihasilkan oleh sekumpulan muatan titik: a Hitunglah
E
n
yang dihasilkan oleh setiap muatan pada titik yang diberikan dengan menganggap seakan-akan tiap muatan tersebut adalah satu-satunya
muatan yang hadir. b Tambahkanlah secara vektor medan-medan yang dihitung secara terpisah ini untuk mencari resultan medan
E
pada titik tersebut. Di dalam bentuk persamaan:
n
E E
E E
E
...
3 2
1
2.5 Dimana n = 1, 2, 3, ...
Persamaan di atas merupakan rumusan aplikasi prinsip superposisi dalam medan listrik yang dapat dinyatakan sebagai berikut: total atau resultan medan pada
suatu titik adalah penjumlahan vektoris dari tiap-tiap komponen medan pada titik tersebut. Maka, berdasarkan Gambar 2. 3, intensitas medan listrik pada titik P akibat
muatan
Q
1
adalah
E
1
dan akibat muatan
Q
2
adalah
E
2
. Total medan listrik pada titik P akibat kedua muatan titik merupakan penjumlahan vektoris dari
E
1
dan
E
2
, atau
E
.
Universitas Sumatera Utara
9
Gambar 2. 3 Prinsip superposisi pada medan listrik
Jika distribusi muatan tersebut adalah suatu distribusi yang kontinu, maka medan yang ditimbulkannya pada titik P dapat dihitung dengan membagi muatan menjadi
elemen-elemen yang sangat kecil
dq
. Medan
dE
yang ditimbulkan oleh setiap elemen pada titik di mana akan dicari kemudian dihitung, dengan memperlakukan
elemen-elemen sebagai muatan-muatan titik. Besarnya
dE
diberikan oleh:
4
2
r dq
E d
2.6 dimana r adalah jarak dari elemen muatan
dq
ke titik P. Resultan medan pada P kemudian dicari dari prinsip-prinsip superposisi dengan menambahkan yakni,
dengan mengintegralkan kontribusi-kontribusi medan yang ditimbulkan oleh semua elemen muatan, atau:
E
d E
2.7 Integrasi tersebut adalah sebuah operasi vektor.
Q
2
_ E
1
E
2
P
Q
1
+
E
Universitas Sumatera Utara
10
II. 4 Potensial Listrik
Apabila sebuah muatan uji
Q
di tempatkan pada suatu medan listrik
E
, maka muatan uji tersebut akan mengalami gaya sebesar
F
. Jika muatan uji
Q
tersebut di gerakkan melawan arah medan listrik
E
, maka diperlukan usaha
W
untuk menggerakkannya.
Gambar 2. 4 Lintasan muatan Q sejajar terhadap medan listrik E yang uniform
Jika arah medan listrik
E
kearah +
x
dan
uniform
, dan muatan uji
Q
di gerakkan sejauh
∆
x
melawan arah
E
, maka usaha per satuan muatan adalah :
x E
Q x
F Q
W
. .
2.8
Dimensinya adalah :
tan tan
tan mua
energi panjang
mua gaya
mua panjang
gaya
Q T
ML Q
L T
ML
2 2
2
Atau dalam satuan SI:
Coulomb Joule
meter Coulomb
Newton
Dimensi dari energi per satuan muatan sama dengan dimensi dari potensial listrik. Jadi usaha per satuan muatan yang diperlukan untuk memindahkan muatan uji
Q
sejauh ∆
x
disebut beda potensial listrik ∆
V
diantara dua titik sejauh ∆
x
. Satuan dari
Q
E
∆
x
∆
V + x
Universitas Sumatera Utara
11
potensial listrik adalah volt V dan setara dengan 1 joulecoulomb. Jadi potensial listrik V dapat dinyatakan dalam joulecoulomb atau dalam volt.
Volt Coulomb
Joule meter
Coulomb Newton
Jika persamaan di atas dibagi dengan satuan meter, diperoleh:
meter Volt
Coulomb Newton
Intensitas Medan Listrik
Jadi, intensitas medan listrik
E
dapat dinyatakan baik dalam satuan Newton per Coulomb maupun Volt per meter.
Pada kasus diatas, lintasan muatan
Q
adalah sejajar dengan arah medan listrik
E
. Apabila lintasan muatan
Q
berpotongan dengan arah medan listrik
E
dan membentuk sudut sebesar
θ gambar 2.5, maka besar beda potensial antara dua titik
pada lintasan ∆
x
adalah sebesar
cos .E
x V
.
Gambar 2. 5 Lintasan muatan Q berpotongan dengan medan listrik E yang uniform dan membentuk
sudut θ
Jika muatan uji digerakkan tegak lurus terhadap arah medan θ=90
, tidak ada energi yang diperlukan sehingga jalur perpindahan ini disebut garis ekipotensial.
Salah satu sifat penting dari medan adalah bahwa garis medan dan garis ekipotensial saling tegak lurus.
Kasus berikutnya adalah jika lintasan perpindahan dari muatan uji
Q
berbentuk kurva dan berada di medan listrik
E
yang
uniform
gambar 2.6. Misalkan
θ ∆
x E
Universitas Sumatera Utara
12
titik awal dan titik akhir kurva adalah a dan b, maka lintasan kurva tersebut dapat dibagi menjadi elemen lintasan terkecil
dL
. Beda potensial antara kedua titik dengan jarak
dL
adalah
dV
. Maka besar
dV
adalah :
dL E
dV dL
E dV
. .
cos
2.9
dimana θ merupakan sudut antara elemen jalur dengan medan. Kenaikan tegangan
beda potensial
dV
bernilai positif mengharuskan komponen perpindahan yang paralel dengan
E
haruslah berlawanan arah dengan medan. Maka Persamaan 2. 9 di atas memiliki tanda negatif.
Gambar 2. 6 Lintasan perpindahan berbentuk kurva dalam medan listrik yang uniform
Untuk mencari beda potensial pada lintasan kurva antara titik a dan b, maka persamaan 2.9 diintegrasikan dengan batas integrasi titik a dan b, dan akan
diperoleh kenaikan tegangan V
ab
antara titik a dengan b.
b a
b a
a b
a b
a b
dL E
dL E
V V
dV V
. .
cos
2.10 E
a
b
dL
θ
Universitas Sumatera Utara
13
Integral yang melibatkan unsur dl seperti pada Persamaan 2. 10 di atas disebut integral garis. Maka, dapat disimpulkan bahwa kenaikan tegangan antara a dan b
sama dengan integral garis dari
E
sepanjang jalur melengkung dari a menuju b.
II. 5 Perhitungan Medan Listrik Di Sekitar Konduktor Silinder
Untuk menghitung besar kuat medan listrik yang timbul di sekitar konduktor, terlebih dahulu diperhitungkan kuat medan yang dihasilkan oleh suatu
muatan garis. Misalkan suatu muatan sebesar
Q
terdistribusi secara merata di garis tipis sepanjang 2a dengan titik tengahnya berada di titik pusat, seperti tergambar
pada Gambar 2. 7.
Gambar 2. 7 Muatan garis sepanjang 2a
θ θ
r l
P
dE
r
dE
z
dE dz
+a
-a muatan garis
sumbu r sumbu z
Universitas Sumatera Utara
14
Kerapatan muatan ρ
L
muatan per satuan panjang dirumuskan dengan:
a Q
L
2
2.11
dimana ρ
L
dalam satuan Coulomb per meter ketika
Q
dalam Coulomb dan a dalam meter.
Pada titik P di sumbu r, medan listrik
dE
akibat sebagian kecil dari muatan garis
dz
dirumuskan dengan:
4 .
ˆ
2
l dz
I dE
L
2.12
dimana dan Î merupakan vektor satuan ke arah l.
Karena sumbu z pada Gambar 2. 7 merupakan sumbu simetri, medan hanya memiliki komponen z dan r. Sehingga:
l r
dE dE
dE
r
cos
2.13 dan
l z
dE dE
dE
z
sin
2.14 Resultan atau total komponen
E
r
pada sumbu r diperoleh dengan cara mengintegrasikan Persamaan 2. 13 sepanjang keseluruhan garis. Yaitu:
a a
L a
a L
r
z r
dz r
l dz
r E
3 2
2 3
4 4
2.15
dan hasilnya adalah:
Universitas Sumatera Utara
15
2 2
. 2
a r
r a
E
L r
2.16
Secara simetri, resultan dari komponen
E
z
pada suatu titik di sumbu r nilainya nol. Maka, total medan
E
pada titik di sumbu r arahnya radial dan besarnya:
2 2
. 2
a r
r a
E E
L r
2.17
Persamaan ini menyatakan medan sebagai fungsi r pada suatu titik di sumbu r untuk muatan garis sepanjang 2a dan kerapatan medan
ρ
L
yang uniform. Kasus berikutnya adalah jika muatan garis pada Gambar 2. 7 diperpanjang
sampai tak terhingga ke arah positif dan negatif dari sumbu z. Jika pembilang dan penyebut dibagi dengan a dan nilai tak berhingga disubstitusikan ke a, maka
diperoleh intensitas medan listrik akibat muatan garis yang panjangnya tak berhingga, yaitu:
r E
E
L r
. 2
2.18 Beda potensial V
21
antara dua titik pada jarak r
2
dan r
1
dari muatan garis tak berhingga ini merupakan energi yang diperlukan per satuan muatan untuk
memindahkan sebuah muatan uji dari r
2
menuju r
1
. Misalkan r
2
r
1
, maka beda potensial ini merupakan integral garis
E
r
dari r
2
menuju r
1
. Potensial di r
1
akan lebih tinggi daripada potensial di r
2
, jika muatan garisnya positif. Maka:
2 1
1 2
2 .
21
r r
L r
r r
r dr
dr E
V
Atau:
1 2
21
ln 2
ln 2
2 1
r r
r V
L r
r L
2.19
Universitas Sumatera Utara
16
Selanjutnya, jika muatan terdistribusi secara merata di sepanjang silinder dengan radius r
1
seperti terlihat pada Gambar 2. 8 misalkan pada konduktor silinder, maka medan listrik di luar silinder diberikan oleh Persamaan 2. 18 untuk
r
2
r
1
.
Gambar 2. 8 Medan listrik pada konduktor silinder
Beda potensial antara silinder dengan sebuah titik di luar silinder dapat dihitung menggunakan Persamaan 2.19, dimana r
2
r
1
dan ρ
L
adalah muatan per satuan panjang dari silinder. Di dalam silinder, potensialnya sama dengan potensial pada
permukaan r = r
1
. Untuk memperoleh persamaan yang menyatakan hubungan antara kuat
medan listrik dengan tegangan pada konduktor silinder, maka Persamaan 2.18 dan 2.19 disubstitusikan. Persamaan 2.18 menyatakan bahwa:
2 .
r E
L r
Universitas Sumatera Utara
17
maka:
r E
r L
. 2
Misalkan titik uji berada pada jarak x dari pusat lingkaran, maka persamaan di atas menjadi:
x E
x L
. 2
2.20 Persamaan 2.20 ini kemudian disubstitusikan ke Persamaan 2.19, sehingga
diperoleh:
1 2
21
ln .
r r
x E
V
x
1 2
21
ln
r r
x V
E
x
2.21
Persamaan 2.21 inilah yang akan digunakan untuk menghitung kuat medan listrik di sekitar konduktor silinder.
Universitas Sumatera Utara
18
BAB III MEDAN LISTRIK DI BAWAH SALURAN TRANSMISI
Kategori