Pengertian Separable Programming Separable Programming

menjadi interval-interval yang lebih kecil, dengan titik partisi grid point � = � 1 , � 2 , … , � � = � seperti pada Gambar 3. Titik- titik partisi ini tidak harus berjarak sama. Untuk itu, berikut diberikan definisi ruas garis untuk menjelaskan hubungan antara dua titik partisi. Definisi 2.3. Ruas Garis Winston, 2004 Diberikan � � 1 , � � 2 ∈ �. � = {�̅|�̅ = ��̅ 1 + 1 − ��̅ 2 , ������ 0 ≤ � ≤ 1} disebut ruas garis yang menghubungkan � � 1 dan � � 2 . Gambar 3 Fungsi Linear Sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinear � pada interval [� � , � �+1 ] dengan sedikit titik partisi. Misalkan � merupakan titik partisi pada ruas garis yang menghubungkan � � dengan � �+1 , berdasarkan Definisi 2.3 � dapat dituliskan sebagai berikut � = � � � + 1 − � � �+1 untuk � ∈ [0,1]. 2.14 � �� � Gambar 3. Fungsi Linear Sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinear dengan sedikit titik partisi � �+1 � � � = � � � = � 1 Berdasarkan persamaan 2.14, fungsi �� dapat dihampiri oleh �� � pada interval �� � dan �� �+1 dengan cara berikut �� � = � �� � + 1 − � �� �+1 2.15 Titik-titik partisi tidak harus berjarak sama, semakin banyak titik partisi, maka akan diperoleh hampiran yang lebih baik. Secara umum hampiran linear dari fungsi � � untuk titik-titik partisi � 1 , � 2 , … , � � didefinisikan sebagai berikut �� � = ∑ � � �� � � �=1 , ∑ � � = 1 � �=1 , � � ≥ 0 2.16 dengan � yang diperoleh berdasarkan pada persamaan 2.14 yaitu � = ∑ � � � � � �=1 , untuk � = 1,2, … , � . 2.17 Secara umum, untuk setiap dua titik partisi akan diperoleh satu hampiran sehingga total dari semua hampiran tersebut merupakan hampiran untuk fungsi nonlinear tersebut. Masalah pengoptimuman yang � �� � Gambar 4. Fungsi Linear Sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinear dengan formulasi lamda � �+1 � � � = � � � � = � 1 menghampiri Masalah P dapat dilakukan dengan mengganti fungsi � � dan � �� yang nonlinear dengan fungsi linear sepotong-sepotong. Didefinisikan � = { � | � � dan � �� adalah fungsi linear untuk � = 1,2, … , � }. Didefinisikan titik-titik partisi � �� untuk � = 1,2, … , � � pada interval [ � � , � � ] dengan � � , � � ≥ 0 untuk setiap � ∉ �. Berdasarkan persamaan 2.16 dengan titik-titik partisi � �� fungsi � � dan � �� untuk � = 1,2, … , � ; � ∉ �, maka diperoleh hampiran-hampiran linearnya yaitu � � � � � � � = ∑ � �� � � � �� � � �=1 untuk � ∉ � 2.18 � � �� � � � � = ∑ � �� � �� � �� � � �=1 � = 1,2, … , � ; � ∉ � 2.19a dengan ∑ � �� = 1 � � �=1 untuk � ∉ � 2.19b � �� ≥ 0 untuk � = 1,2, … , � � ; � ∉ � 2.19c dengan � � yang diperoleh berdasarkan pada persamaan 2.17 yaitu � � = ∑ � �� � �� � � �=1 2.20 Untuk mempermudah penulisan, Hampiran Masalah P ditulis dengan Masalah AP. Berdasarkan persamaan 2.18, Masalah AP dapat didefinisikan sebagai berikut M. S. Bazaraa, 2006: 686