Bab I Integral
Bab I Integral
1. Dinamika dan integrasi
Dinamika mengacu pada analisis yang bertujuan untuk menelusuri dan mempelajari jalur waktu spesifik dari variable untuk menentukan apakah
variable-variabel tersebut cenderung konvergen ke nilai ekuilbrium tertentu. Salah satu unsur penting dari analisis dinamis adalah penentuan tanggal
dating dari variable-variabel. Hal ini dapat dilakukan dengan 2 cara: waktu dapat dipertimbangkan baik sebagai variable yang kontinu atau sebagai variable
diskret. Dalam kasus kontinu, telah terjadi sesuatu terhadap variable pada titik waktu seperti pemajemukan bunga yang kontinu, sedangkan dalam kasus
variable diskret, variable hanya mengalami perubahan sekali dalam suatu waktu misalnya, bunga hanya ditambahkan pada akhir setiap 6 bulan.
Untuk membahas waktu yang kontinu, dimana tekhnik matematika kalkulus integral dan persamaan differensial saling berkaitan. Sedangkan pada
kasus waktu diskret menggunakan metode persamaan differens difference equation.
Salah satu contoh dinamika ekonomi adalah jumlah penduduk populasi. Berdasarkan pola prilaku variable sepanjang waktu, kita memperoleh fungsi yang
menggambarkan jalur waktu dari variable tersebut. Penyelesaiannya dapat diperoleh dengan metode kalkulus integral, yang merupakan proses pencarian
fungsi derivative tertentu kembali ke fungsi primitifnya.
a. Integral Indefinit integral tak tentu
Integrasi merupakan kebalikan dari differensiasi. Fungsi Fx merupakan integral atau antiderivatif dari fungsi fx.
Bentuk standarnya : ∫ f xdx
Aturan dasar integral :
Bahan Ajar Optimisasi Dinamis 1
Bab I Integral
1.
∫
x
n
d
x
= 1
n+1 x
n +1
+ c
Ex
:
∫
x
3
d
x
= 1
4 x
4
+ c
∫
x d
x
= 1
2 x
2
+ c
∫
1 d
x
= x +c → x
= 1
1 1
x
0 +1
= x
∫√
x
3
dx =x
3 2
dx ¿
1 3
2 +
1 x
3 2
+ 1
= 1
5 2
x
5 2
+ 1
= 2
5
√
x
5
+ c
2.
∫
e
x
dx=e
x
+ c
d dx
e
x
= e
x
dan d
dx lnx=
1 x
3.
∫
1 x
dx=lnx+c x ≠ 0, x0 ¿
∫
dx x
= ln x → c
4. a.
∫
f
x
e
f x
dx=e
f x
+ c → f x 0
b .
∫
f
x
f x dx=lnf x +c
5. Integral penjumlahan
∫
[
f x
+ g
x
]
dx=
∫
f x
dx+
∫
g x
a x
¿
∫
f x dx+
∫
g x dx=F x +G x +C
1
+ C
2
Ex :
x
3
+ x+1
dx= ¿
∫
¿ ¿
∫
x
3
dx +
∫
x dx+
∫
1 dx
Bahan Ajar Optimisasi Dinamis 2
Bab I Integral
¿ 1
4 x
4
+ C
1
+ 1
2 x
2
+ C
2
+ ¿
x+C
3
¿ x
4
4 +
x
2
2 +
x+C
Ex :
∫
2 e
2 x
+ 14 x
7 x
2
+ 5
dx=e
2 x
+ ln
7 x
2
+ 5
+ C
Dengan aturan penjumlahan, merupakan gabungan aturan 2 dan aturan 3a.
6. Aturan Perkalian
∫
kf x dx=k
∫
f x dx
Ex :
∫
2 x
2
dx=2
∫
f x
2
dx=2 1
3 x
3
+ C
¿ 2
3 x
3
+ C
Ex:
∫
5 e
x
− x
− 2
+ 3
x dy
=
contoh ini menggambarkan aturan penjumlahan dan aturan perkalian
¿ 5 e
x
+ C
1
− 1
− 2+1
x
− 2+1
+ C
+ 3 ln x +C
3
¿ 5 e
x
+ 1
1 x
− 1
+ 3 ln x+C
¿ 5 e
x
+ 1
x +
3 ln x +C
7. Aturan Substitusi
∫
f x du
dx dx=
∫
f u du=F u +C
Ex :
∫
2 x x
2
+ 1
dx=
∫
2 x
3
+ 2 x
dx ¿
2
∫
x
3
dx+2
∫
x dx ¿
2 1
4 x
4
+ c+2
1 2
x
2
+ c
¿ x
4
2 +
x
2
+ c
Bahan Ajar Optimisasi Dinamis 3
Bab I Integral
Dengan subsitusi u=x
2
+ 1 →
du dx
= 2 x dx =
du 2 x
Subsitusikan :
∫
2 x x
2
+ 1
dx=
∫
2 x u du
2 x =
∫
u du= 1
2 u
2
+ c
¿ 1
2 x
4
+ 2 x
2
+ 1
+ c
→ c=
1 2
+ c
¿ 1
2 x
4
+ x
2
+ c
Ex :
∫
6 x
2
x
3
+ 2
99
dx=
∫
2 x
3
+ 2 x
dx ¿
2
∫
x
3
dx+2
∫
x dx ¿
2 1
4 x
4
+ c+2
1 2
x
2
+ c
¿ x
4
2 +
x
2
+ c
Atau dengan substitusi :
Misal:
u
=
x
3
+ 2
,
maka du
dx = 3x
2
∫ 6 x
2
x
3
+ 2
99
dx= ¿
∫
2 dudxu
99
dx
¿
∫
2 u
99
du
¿ 2
100 u
99
+ c
¿ x
¿¿ 3+2
100
1 50
¿
+ c
8. Integrasi berdasarkan bagian-bagian
∫
v du=uv−
∫
u dv d uv =v du+u dv
uv=
∫
v du+
∫
u dv
Ex :
∫
x x +1
1 2
dx
Misal:
v =x dv=dx du= x+1
1 2
dx u= 2
3 x+1
3 2
Bahan Ajar Optimisasi Dinamis 4
Bab I Integral
∫
x x +1
1 2
dx=
∫
v du=uv−
∫
u dv ¿
2 3
x+1
3 2
x− 2
3 x+1
3 2
dx
¿ 2
3 x+1
3 2
x− 4
15 x+1
5 2
+ c
Ex :
∫
lndx x0
Ex :
v =ln x u=x dv=
1 x
dx du=dx
∫
ln x dx=
∫
v du=uv−
∫
u dv ¿
x ln x−
∫
dx=x ln x−x +c
¿ x
ln x−1 +
c
∫
xe
x
dx → u=e
x
dv =dx v=x
∫
x e
x
dx =
∫
v du=uv −
∫
u dv ¿
e
x
x −
∫
e
x
dx ¿
e
x
x −e
x
+ c
¿ e
x
x−1+c
b. Integral Definit mencari nilai luas suatu daerah di bawah kurva
