Modul INTEGRAL FUNGSI

MAT. TKF 201- 03

Fakultas Teknik UNY

Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif

INTEGRASI FUNGSI

Penyusun :

Martubi, M.Pd., M.T.

Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)

Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif

2005

Y

Y = f (X)

0 a b X A

b

A =

 f (X) dX

a

ii

Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini digunakan sebagai panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu sub-kompetensi, yaitu: “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“. Modul ini dapat digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada Program Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta.

Pada modul ini disajikan konsep dasar Integrasi Fungsi dan permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral Tertentu dan Aplikasinya.

Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep tentang Diferensiasi Fungsi.

Yogyakarta, Oktober 2005 Penyusun

iii

Halaman

HALAMAN SAMPUL ... i

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

PERISTILAHAN / GLOSSARY ... v

I . PENDAHULUAN... 1

A. Deskripsi ... 1

B. Prasyarat ... 1

C. Petunjuk Penggunaan Modul ... 2

1. Petunjuk bagi mahasiswa ... 2

2. Petunjuk bagi dosen ... ... 2

D. Tujuan Akhir ... 3

E. Kompetensi ... 3

F. Cek Kemampuan ... 4

II. PEMBELAJARAN ... 5

A. Rencana Belajar Mahasiswa ... 5

B. Kegiatan Belajar ... 5

1. Kegiatan Belajar 1 ... 5

a. Tujuan kegiatan belajar 1 ... 5

b. Uraian materi ... 6

c. Rangkuman 1 ... 11

d. Tugas 1 ... 13

e. Tes formatif 1 ... 13

iv

a. Tujuan kegiatan belajar 2 ... 14

b. Uraian materi 2 ... 14

c. Rangkuman 2 ...16

d. Tugas 2 ... 17

e. Tes formatif 2 ... 17

f. Kunci jawab tes formatif 2 ... ... 18

3. Kegiatan Belajar 3 ... 18

a. Tujuan kegiatan belajar 3 ... 18

b. Uraian materi 3 ... 18

c. Rangkuman 3 ... 25

d. Tugas 3 ... 26

e. Tes formatif 3 ... 27

f. Kunci jawab tes formatif 3 ... ... 27

4. Kegiatan Belajar 4 ... 27

a. Tujuan kegiatan belajar 4 ... 27

b. Uraian materi 4 ... 28

c. Rangkuman 4 ... 35

d. Tugas 4 ... 36

e. Tes formatif 4 ... 37

f. Kunci jawab tes formatif 4 ... ... 38

III. EVALUASI ... 39

A. Pertanyaan ... 39

B. Kunci Jawaban ... 39

C. Kriteria Kelulusan ... 40

IV. PENUTUP ... 41

v

Fungsi Baku : adalah fungsi yang sudah ada rumus integralnya.

Fungsi Majemuk Linier : adalah fungsi dari suatu fungsi lainnya yang linier ( pangkat satu ).

Integrasi Fungsi : adalah operasi balikan ( invers) dari diferensiasi yang berarti mencari fungsi induk dari suatu turunan tertentu.

Integral Parsial : adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan pembagian yang unsur-unsurnya saling asing ( unsur yang satu bukan turunan dari unsur lainnya).

Integral Perkalian/Pembagian khusus: adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan pembagian dengan unsur yang satu merupakan turunan dari unsur lainnya.

Integral Tertentu: adalah suatu proses perhitungan integral dengan batas-batas tertentu yang telah ditentukan.

1 A. Deskripsi

Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini membahas tentang konsep dasar Integrasi Fungsi serta permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier, Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus, Integral Parsial dan Integral tertentu beserta Aplikasinya.

Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral tertentu dan Aplikasinya. Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal

dan pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.

Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan mempunyai sub kompetensi “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“

B. Prasyarat

Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi

lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materi-materi dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar tentang : Diferensiasi Fungsi ( Modul MAT. TKF 201- 02 ).

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1. Petunjuk bagi Mahasiswa

Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :

a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep-konsep teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan.

b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri, hal ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.

c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.

2. Petunjuk Bagi Dosen

Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan peran untuk :

a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan

yang dijelaskan dalam tahab belajar.

c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.

d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang diperlukan.

e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.

f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.

g. Mengadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi

mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaan- nya pada setiap akhir kegiatan belajar.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“.

E. Kompetensi

Modul MAT. TKF 201-03 dengan judul Integrasi Fungsi ini disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“.

Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai berikut :

Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja Lingkup Belajar

Materi Pokok Pembelajaran Sikap Pengetahuan Ketrampilan

Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. 1.Menjelaskan pengertian/kon-sep, notasi dan sifat-sifat inte-grasi fungsi . 2. Menyelesaikan

masalah integra- si fungsi baku

1.Pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi . 22. Integrasi fungsi baku. . Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan 1.Pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi . 2. Integrasi

fungsi baku.

Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar

F. Cek Kemampuan

Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF 201 – 03 ini, isilah dengan tanda cek (  ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :

Sub

Kompetensi Pertanyaan

Jawaban _{Bila Jawaban “Ya“}

Kerjakan Ya Tidak

Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.

1. Saya mampu menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi.

Tes Formatif 1 Nomor : 1

2. Saya dapat menyelesaikan permasa-

lahan integrasi fungsi baku. Tes Formatif 1 _{Nomor : 2 a, b, f, g} 3. Saya dapat menyelesaikan permasa-

lahan integrasi fungsi majemuk linier.

Tes Formatif 1 No: 2 c, d, e, h, i, j

4. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus

Tes Formatif 2 Nomor : 1 sd. 10

5. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasil parsial

Tes Formatif 3 Nomor : 1 sd. 5

6. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integral tertentu dan aplikainya.

Tes Formatif 4 Nomor : 1 sd. 3

Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.

Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja Lingkup Belajar

Materi Pokok Pembelajaran

Sikap Pengetahuan Ketrampilan

Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. 3. Menyelesaikan masalah integra-si fungintegra-si maje-muk linier. 4. Menyelesaikan

masalah integra-si fungintegra-si perka-lian / pembagian khusus.

5. Menyelesaikan masalah integral parsial

6. Menyelesaikan masalah integral tertentu dan apli-kasinya.

.3 3. Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi per-kalian/pem- bagian khusus. 5. Integral parsial 6. Integral

tertentu dan aplikasinya. Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan

. 3. Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi per-kalian/pem- bagian khusus. 5. Integral parsial 6. Integral

tertentu dan aplikasinya Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar

5 A. Rencana Belajar Mahasiswa

Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.

Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar

Alasan Perubahan

Paraf Dosen

1. Pengertian, dan notasi

integrasi fungsi.

2. Integrasi fungsi baku.

3. Integrasi fungsi majemuk

linier

4. Integrasi fungsi perkalian /

pembagian khusus.

5. Integral parsial.

6. Integral tertentu dan aplikasinya

B. Kegiatan Belajar.

1. Kegiatan Belajar 1 : Integrasi Fungsi Baku dan Majemuk Linier

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :

1). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi baku.

3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi majemuk linier.

b. Uraian Materi 1 :

1). Pengertian, dan Notasi Integrasi Fungsi:

Integrasi Sebagai Anti Diferensiasi

Di dalam matematika banyak dijumpai pasangan operasi yang saling merupakan balikan ( anti ), misalnya : penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar serta logaritma dan perhitungan logaritma. Operasi balikan lainnya yang akan dibahas pada bagian ini adalah integrasi ( hitung integral ) sebagai operasi anti dari diferensiasi ( hitung diferensial )

Pada operasi deferensial permasalahnnya yaitu menentukan fungsi turunan dari dari sebuah fungsi yang telah diketahui, maka pada integrasi permasalahannya yaitu menentukan fungsi asal ( induk ) dari suatu fungsi turunan yang telah diketahui. Misalnya turunan dari f (X) adalah f´ (X) maka:

Diferensiasi : mencari f ’ (X) jika f (X) diketahui . Integrasi : mencari f (X) jika f ‘(X) diketahui .

Selanjutnya untuk untuk memudahkan cara penulisannya, digunakan notasi Leibniz yaitu dengan lambang  f (X) dX

untuk menyatakan integral dari fungsi f (X) atau integral f (X) terhadap X . Misal diketahui f (X) = sin X maka

integrasinya terhadap X ditulis  sin X dX .

Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:

 { f (X) + g (x) } dX =  f (X) dX +  g (X) dX  { f (X) – g (x) } dX =  f (X) dX – g (X) dX  k. f (X) dX = k.  f (X) dX

Integrasi Fungsi Baku :

Berdasarkan rumus – rumus dasar diferensiasi fungs, maka dengan jalan membalik operasinya akan diperoleh rumus – rumus dasar integrasi fungsi baku sebagai berikut :

( Jika C = bilangan konstan , dan n = bilangan riil )

k

1.  kXn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ -1 ) n + 1

k

2.  dX = k. ln X + C X

3.  eX dX = eX + C 1

4.  ekX dX = e kX + C k

aX

5.  aX dX = + C ln a

6.  cos X dX = sin X + C 7.  sin X dX = – cos X + C

8.  sec2 X dX = tg X + C 9.  cosh X dX = sinh X + C

10.  sinh X dX = cosh X + C 1

11.  dX = arc. sin X + C 1 – X2

_–1

12.  dX = arc . cos X + C 1 – X2

1

13.  dX = arc. tg X + C 1 + X2

1

14.  dX = arc. sinh X + C X2 +1

1

15.  dX = arc. cosh X + C X2 –1

1

16.  dX = arc. tgh X + C 1 – X2

Rumus-rumus di atas dinamakan integral tak tentu, karena masih terdapat suatu konstanta yang belum di ketahui harganya yaitu C.

Untuk lebih jelasnya dalam memahami rumus-rumus dasar beserta sifat-sifat integrasi tersebut berikut diberikan beberapa contoh penerapannya:

1

a).  X7 dX = X8 + C 8

5

b).  dX = 5 ln X + C X

c).  3 eX dX = 3 eX + C 5

d).  5 e6X dX = e6X + C 6

5X

e).  5X dX = + C ln 5

f).  23 cos X dX = 23 sin X + C

g).  7 sin X dX = 7(– cos X) + C = – 7 cos X + C

h).  ( 4 sec2 X – 5 cos X ) dX = 4 tg X – 5 sin X + C i).  ( 9 cos X + 7 sin X ) dX = 9 sin X – 7 cos X + C

5

j).  dX = 5 arc . cos X + C 1 – X2 ₇

k).  dX = – 7 arc . cosh X + C X2– 1 12

l).  dX = 12 arc . sinh X + C 1 + X2 _{– 3}

m).  dX = 3 arc . cos X + C 1 – X2 Integral Fungsi Majemuk dari Suatu Fungsi Linier Kadang-kadang kita harus mengintegralkan suatu fungsi majemuk, yaitu fungsi yang bentuknya mirip dengan bentuk pada rumus dasar, tetapi dengan X diganti oleh fungsi linier dalam X, misalnya  (3X + 4)7 dX,  (5X– 6)½dX,  sin 6X dX,  sinh ( 4X + 3) dX,  cos (7– 3X ) dX dan sebagainya. Pada soal  (3X + 4)7 dX dimisalkan (3X + 4) = Z, maka bentuk tersebut menjadi  Z7 dX. Karena variabelnya belum sesuai maka untuk dapat diselesaikan perlu disesuaikan dahulu, yaitu dengan kaidah sebagai berikut : dX  Z 7 dX =  Z 7 dZ dZ dZ dX 1

Karena Z = 3X + 4 maka = 3  =

dX dZ 3

dX 1 1 1

 Z 7 dZ =  Z 7. dZ =  Z 7dZ = Z 8 + C dZ 3 3 3.8 1

Jadi :  (3X + 4)7 dX = ( 3X + 4 )8 + C 24

Jika diperhatikan ternyata kaidah dasar pengintegralan tetap berlaku, tetapi masih harus dibagi dengan koefisien X. Hal ini berlaku umum untuk semua fungsi baku yang terdapat pada rumus dasar di depan.

Secara umum dapat dirumuskan bahwa : Jika Z = (aX + b) maka:

k

 k (aX + b) n dX = (aX + b ) n+1 + C a ( n+1)

Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.

Contoh :

a).  sin (5X – 7) dX = –1/5 cos (5X – 7 ) + C

1

b).  e3X – 2 dX = e3X – 2 + C 3

35X

c).  3 5Xdx = + C 5 ln 3

1 ln (4X + 3) d).  dX = + C 4X + 3 4

e).  sec 2 (10X + 8) dX = 1/10 . tg (10X + 8) + C

1 arc .sin 3X f).  dX = + C 1 – 9X2 3

5

g)  dX = 5 arc.tgh 2X + C 1 – 4X2

c. Rangkuman 1 :

1). Pengertian, Notasi dan Sifat Integrasi Fungsi.

Integrasi Fungsi : adalah sebuah operasi dari diferensiasi fungsi, yaitu sebuah proses mencari induk dari suatu fungsi turunan tertentu.

Integral dinotasikan dengan lambang : 

Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:

 { f (X) + g (x) } dX =  f (X) dX +  g (X) dX  { f (X) – g (x) } dX =  f (X) dX – g (X) dX  k. f (X) dX = k.  f (X) dX

dalam hal ini f (X) dan g(X) = fungsi X ; k = bilangan konstan

2). Integrasi Fungsi Baku

Untuk mencari integral fungsi baku digunakan rumus :

1

a.  Xn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ 1 ) n + 1

1

b.  dX = ln X + C X

c.  eX dX = eX + C 1

d.  ekX dX = e kX + C k

aX

e.  aX dX = + C ln a

f.  cos X dX = sin X + C g.  sin X dX = – cos X + C

h.  sec2 X dX = tg X + C i.  cosh X dX = sinh X + C

j.  sinh X dX = cosh X + C 1

k.  dX = arc. sin X + C 1 – X2

_–1

l.  dX = arc . cos X + C 1 – X2

1

m.  dX = arc.tg X + C 1 + X2

1

n.  dX = arc.sinh X + C X2 +1

1

o.  dX = arc.cosh X + C X2 –1

1

p.  dX = arc.tgh X + C 1 – X2

3). Integrasi Fungsi Majemuk Linier

Secara umum jika Z = (aX + b) maka:  k Z n dX dapat dihitung dengan rumus :

k

 k Z n dX = (aX + b ) n+1 + C a (n + 1)

Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.

d. Tugas 1:

Tentukanlah integral – integral berikut ini :

1).  (X3–3X2 + 4X – 5) dX 9).  7(X2– 1) –½ dX

2).  ( 3 sin X – 2 cos X) dX 10).  2 sec2 X dX 7

3).  ( eX– e2X) dX 11).  ( – X) dX X

4).  6 ( 1 – X2 )–½ dX 12).  (9X + 10X) dX

5).  (2X – 7) 4 dX 13).  cosh (1 + 4X) dX 6).  e5X – 4 dX 7 14).  dX 7).  sinh 7X dX 2X - 3

8).  5 3X+2 dX 15).  5 (1 + 4X2) – ½ dX

e. Tes formatif1 :

1). Jelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat dari integrasi fungsi ! 2). Tentukanlah integral – integral berikut ini :

4

a).  (X– 3 + X – ) dX f).  ( 4 – 3 sinh X ) dX X2

– 4 1

b).  dX g).  ( X – ) 2 dX 1 + X2 X

c).  cos (7X – 2) dX h).  sec 2 (3X + 5) dX

d).  (5X – 8)7 dX i).  cosh (3 + 7X) dX

e).  74X + 5 dX j).  3 (1 + 16X2)– ½ dX

f. Kunci Jawab Tes Formatif 1 :

1). Lihat rangkuman 1, nomor 1) halaman 11 modul ini . 4

2). a). –½ X– 2 + ½ X 2 + + C f). 4 X – 3 cosh X + C X

1

b). – 4 arc.tg X + C g). ⅓⅓ X3– 2X – + C X

c).  sin (7X – 2) + C h). ⅓⅓tg (3X + 5) + C

d).  (5X – 8)8 + C i).  sinh (3 + 7X) + C

74X + 5 j). ¾ arc. sinh 4X + C e). + C

4 ln 7

2. Kegiatan Belajar 2 : Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :

1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi perkalian khusus.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi pembagian khusus.

b. Uraian Materi 2 :

Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus

Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus pada bagian ini yaitu perkalian / pembagian antara sebuah fungsi dengan turunan (diferensiasinya).

Jika diketahui suatu fungsi f (X) dan turunanya f ‘ (X) maka bentuk integral perkalian khusus tersebut dapat ditulis :

 f (X). f ‘ (X) dX, atau jika dimisalkan Z = f (X) dan turunan

Z terhadap X adalah dZ = f ‘ (X) dX maka bentuk tersebut menjadi  Z dZ, sehingga integralnya dapat dicari dengan rumus :

Contoh :

1). Tentukan integral dari  tg X . sec2 X dX

Jawab : Misal Z = tg X  maka dZ = sec2 X dX

 tgX  sec2 X dX = ½ tg2 X + C

ln X 1

2).  dX =  ln X . dX =  ln X d (ln X ) X X

= ½ ( ln X )2 + C

3).  sinh X. cosh X dX =  sinh X d (sinh X ) = ½sinh2 X + C

4).  (3X2– 2X + 4) . (6X – 2) dX = ½( 3X2– 2X + 4 )2 + C

sin –1 X 5).  dX =  sin –1 X . d (sin –1 X)

 1 – X2

= ½ ( sin –1 X ) 2 + C

1

Selanjutnya untuk pembagian khusus, yaitu  dZ maka Z

penyelesainnya sama dengan rumus dasar nomor b, yaitu :

1

 dX = ln X + C X

Jadi untuk bentuk pembagian khusus ini berlaku rumus yang sama , yaitu :

dZ



= ln Z + C

Z

Contoh:

6X + 4

1).  dX Z = 3X 2 + 4X – 5 3X 2 + 4X – 5

dZ = ( 6X + 4) dX 6X + 4

 dX = ln ( 3X2 + 4X – 5) + C

3X 2 + 4X – 5

cos X 2).  cotg X dX =  dX sin X

d (sin X)

=  = ln sin X + C sin X

sec 2 X d ( tg X)

3).  dX =  = ln tg X + C

tg X tg X

cos θ d ( 1+ sin θ )

4).  d θ =  = ln ( 1 + sin θ ) + C 1 + sin θ 1 + sin θ

sec X . tg X d ( sec X ) 5).  tg X dX =  dX =  .

sec X sec X = ln sec X + C

c. Rangkuman 2 :

Integral Perkalian/Pembagian Khusus :

Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus adalah

perkalian / pembagian antara sebuah fungsi dengan turunannya.

Rumus Integral Perkalian Khusus :  Z dZ = ½ Z 2 + C dZ

Rumus Integral Perkalian Khusus :



= ln Z + C

Z

d. Tugas 2 :

Tentukan integral-integral berikut ini : 4X2

1).  3 sin X cos X dX 6).  dX

X3 + 10

ln X sin X

2).  dX 7).  dX 4X 1 – cos 2X 10 X – 15 3).  (X3 – 4X) (6X2– 8) dX 8).  - dX X2– 3X + 4

3 arc . tgh X sin 2X 4).  dX 9).  dX

1 – X2 cos 2X 5 cos–1 X 3 sec2 X 5).  dX 10).  dX

 1 – X2 3 – tg X

e. Tes Formatif 2 :

6X2

1).  cos 3X sin 3X dX 6).  dX

10X3 – 7

ln 3X 8 cos 4X 2).  dX 7).  dX 7X 3 – sin 4X 18 X + 6 3).  (2X3 + 4X) (9X2 + 6) dX 8).  - dX 3X2 + 2X – 5

7 arc . tg 2X 4 sin 5X 4).  dX 9).  dX

1 + 4X2 cos 5X 2 cos–1 3X 4 sec2 6X 5).  dX 10).  dX

f. Kunci Jawab Tes Formatif 2 :

1

1). 1/6 cos2 3X + C 6). ln (10X3 – 7) + C

5

1

2). ( ln 3X) 2 + C 7). – 2 ln (3 – sin 4X) + C

14

3). ¾ (2X3 + 4X) 2 + C 8). 3 ln (3X2 + 2X – 5) + C

7 – 4

4). ( arc. tg2X) 2 + C 9). ln (cos 5X ) + C 4 5

5) –⅓⅓ (cos–1 3X)2 + C 10). – ln (7 – tg 6X ) + C

3. Kegiatan Belajar 3 : Integral Parsial a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 :

1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi perkalian parsial.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi pembagian parsial.

b. Uraian Materi 3 : Integrasi Parsial

Integrasi Perkalian Parsial :

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari integrasi bentuk khusus perkalian antara dua unsur yang terdiri dari sebuah fungsi dan fungsi turunannya. Kaidah pengintegralan pada bagian tersebut hanya berlaku khusus perkalian–perkalian yang sejenis, sehingga dapat digunakan pada bentuk perkalian lain yang terdiri atas dua unsur secara bebas, artinya unsur yang satu bukan merupakan turunan dari yang lain.

Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian bebas ini digunakan suatu cara yang biasa disebut integral parsial. Dinamakan demikian karena hasil pengintegralan pertama masih

memuat permasalahan integral atau masih mengandung bagian yang harus diintegralkan lagi .

Adapun caranya adalah sebagai berikut :

Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X , maka :  U. dV = U.V ─ V . dU

Pada cara ini dituntut untuk dapat memilih dengan tepat, fungsi mana yang harus diambil ( dimisalkan ) sebagai U dan mana yang dimisalkan V karena kesalahan pemilihan kedua bentuk tersebut akan mengakibatkan penyelesaian yang berlarut-larut atau bahkan tidak dapat diperoleh penyelesaian yang semestinya.

Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk yang dimisalkan U adalah :

1). Fungsi logaritma ( ln X )

2). Fungsi perpangkatan dari X ( Xn ) 3). Fungsi eksponensial ( eX )

4). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya.

Contoh : Tentukan integral – integral berikut : 1).  X2 .ln X dX

2).  X2 e3X dX 3).  e3X sin X dX Jawab :

1).  X2 ln X dX =  U dV

Misal : U = ln X dV = X2 dX 1

dU = dX V =  X2 dX = ⅓ X

X

1 X ln X dX = ln X . ⅓ X3_{– ⅓X}3 _{. dX}

= ⅓⅓ X3 ln X – ⅓ X2 dX 1

= ⅓ X3 _{ln X – –– X}3 _{+ C}

9 2).  X 2 e 3X dX =  U. dX

misal U = X 2 dV = e 3X dX

dU = 2 X dX V =  e 3X dX = ⅓ e3X

 X2 e3XdX = X2. ⅓ e3X –⅓ e3X 2X dX = ⅓ X2 e3X–  X e3X dX

Karena hasilnya masih mengandung integral dari bentuk perkalian dua fungsi lagi, maka dilakkukan pemisalan lagi dengan memilih U dan dV sesuai kaidah, akhirnya diperoleh hasil :

 X2 e3X dX = ⅓ X2 e3X– ( X.⅓ e3X–⅓  e3X dX ) = ⅓ X2 e3X– ( ⅓ X e3X– 1/9 e3X ) + C = e3X ( X2 – X –2/9 ) + C

3).  e3X sin X dX =  U dV

Misal U = e3X dV = sin X dX

dU = 3 e3X dX V =  sin X dX = – cos X  e3X x sin X dX = e3X– cos X – (– cos X ) 3e3XdX = – e3Xcos X +  3 e3X cos X dX

Karena masih ada tanda integral, maka dimisalkan lagi sehingga :

 e3X sin X dX = – e3Xcos X+3(e3X sin X – 3  sin X.e3XdX) = – e3X cos X + 3e3X sin X – 9  e3Xsin X dX

Hasil di atas ternyata masih terdapat lagi bentuk yang mengandung integral, namun jika diperhatikan bentuk tersebut adalah bentuk yang sejenis dengan soal semula. Jika terdapat kejadian seperti ini maka tidak

perlu lagi diadakan pemisalan U dan dV, tetapi cukup mengumpulkan bentuk sejenis tersebut kedalam bentuk satu ruas yaitu ruas kiri, sehingga untuk soal diatas menjadi:



e3X sin X dX + 9



e3X sin X dX = – e3X cos X + 3e3X sin X 10



e3X sin X dX = e3X ( 3 sin X – cos X ) + C

e 3X ( 3 sin X – cos X )



e3X sin X dX = + C 10

Integrasi Permbagian / Pecahan Parsial

Yang dimaksud integrasi pembagian/pecahan parsial pada bagian ini adalah integrasi dari suatu bentuk pembagian/pecahan yang tidak termasuk kedalam bentuk baku yang sudah dikenal sebelumnya dan juga pembilang pecahan tersebut bukan merupakan turunan (derivative) dari penyebutnya. Pecahan-pecahan yang dimaksud disini adalah khusus Pecahan-pecahan-Pecahan-pecahan aljabar, misalnya :

X+1 X2

 dX ,  dX dan sebagainya. X2–3X+2 ( X–2 )( X2+1 )

Untuk menyelesaikan persoalan semacam ini, maka bentuk pecahan tersebut terlebih dahulu harus diubah dengan cara menyatakannya ke dalam pecahan parsialnya, yaitu sejumlah pecahan aljabar yang lebih sederhana sehingga memungkinkan untuk dapat diintegralkan dengan lebih mudah.

Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu :

1). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya. 2). Faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya.

3). Faktor linier ( aX + b ) akan memberi pecahan parsial yang A

berbentuk : - aX + b

4). Faktor (aX+b)2 akan memberi pecahan parsial yang berbentuk: A B

+ - aX + b ( aX + b )2

5). Faktor (aX+b)3 akan memberi pecahan parsial berbentuk : A B C

+ + - aX + b ( aX + b )2 ( aX + b )3

6). Faktor kuadrad ( aX2 + bX + c ) memberi pecahan parsial yang berbentuk :

AX + B -

aX2 + bX + c

Contoh Soal :

Tentukan integral-integral di bawah ini :

X + 1 4X²

1) .  dX 3).  dX X² – 3X+2 X.(2X – 1)²

X²

2).  dX (X–2) (X² +1)

Jawab:

X+1 X+1

1).  dX =  dX X²–3X+2 (X – 2) (X – 1)

X+1 A B = +

(X–2) (X–1) X – 2 X – 1

Bentuk ini adalah identitas yang berlaku untuk setiap harga X, namun akan lebih sederhana jika dipilih X yang dapat membuat salah satu sukunya berharga nol (0).

Ambil (X – 1) = 0 artinya X = 1, sehingga: 1 + 1 = A(1 – 1) + B(1 – 2)

2 = 0 – B  Jadi B = – 2

Selanjutnya ambil (X – 2) = 0 artinya X = 2 2 + 1 = A(2 – 1) + B(2 – 2)

3 = A + 0  Jadi A = 3

Dengan demikian bentuk integral tersebut dapat di tulis menjadi:

X+1 3 2  dX =  dX =  dX X2 – 3X + 2 X – 2 X – 1

= 3 ln (X – 2) – 2 ln (X – 1) + C ====================== X2 A BX + C 2).  dX =  ( + dX (X – 2) (X2 + 1) X – 2 X2 + 1

X2 A BX + C

= +

(X - 2) (X2 + 1) X – 2 X2 + 1

X2 = A(X2 + 1) + (X – 2) (BX + C) Untuk X = 2  22 = A(22 + 1) = 0 4 = 5A  Jadi A = 4/5

Selanjutnya untuk mencari harga B dan C samakanlah koefisien-koefisien X pangkat tertinggi, dalam hal ini adalah X2: (X2)  1 = A + B

B = 1 – A

Untuk X = 0  0 = A – 2C C = ½ A = ½ . 4/5 = 2/5

X2 4/5 1/5 X + 2/5

Jadi  dX =  + dX (X - 2)(X2 + 1) X – 2 (X2 + 1)

4 1 1 X 2 1

=  + + dX 5 X – 2 5 X2 + 1 5 X2 + 1 4 1 2

= ln (X – 2) + ln (X2 + 1) + arc.tg X + C 5 10 5

X2 4 1 2

 dX = ln (X –2) + ln (X2+1) + arc.tg X + C (X– )(X2+1) 5 10 5

4X2 + 1 A B C

3).  dX =  ( + + ) dX X ( 2X – 1)2 X 2X (2X – 1)2

4X2 + 1 A B C = + + . X ( 2X – 1) 2 X 2X – 1 (2X – 1) 2 4X2– 1 = A(2X – 1)2 + BX (2X – 1) + CX Ambil 2X1 = 0 yaitu untuk X =½

4 .½ 2 + 1 = A(2. ½ 1)2 + B. ½ (2. ½ 1) + C. ½

2 = ½ C  C = 4

Samakan koefisien x untuk pangkat tertinggi : [ X2 ] 4 = 4A + 2B

2A + B = 2

Untuk X = 0 maka A = 1 sehingga didapat B = 0 4X2 + 1 1 4

--- = --- + --- X( 2X 1) 2 X ( 2X  1 ) 2

4X2 + 1 1 4

 --- dX =  --- dX +  --- --- dX X( 2X1 ) 2 X 2X –1) 2

₁

=  ---- dX + 4  (2X–1) –2 dX X

4( 2X–1) –1 = ln X + --- + C –1.2

2

= ln X  + C 2X–1

==================

c. Rangkuman 3 :

Integral Perkalian / Pembagian Parsial : adalah integral

perkalian / pembagian dua buah fungsi yang saling asing ( yang satu bukan turunan lainnya) dan juga bukan bentuk baku yang sudah ada rumusnya.

1). Rumus Integrasi Perkalian Parsial :

Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X , maka :  U. dV = U.V ─ V . dU

Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk yang dimisalkan U adalah :

a). Fungsi logaritma ( ln X )

b). Fungsi perpangkatan dari X ( Xn ) c). Fungsi eksponensial ( eX )

d). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya.

2). Integrasi Pembagian / Pecahan Parsial : ubahlah pecahan aljabar itu menjadi pecahan parsialnya yang sudah ada rumus integralnya. Pecahan parsial di sini khusus untuk pecahan aljabar.

Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu :

a). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya. b). Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya. c). Faktor linier ( aX + b ) akan memberi pecahan parsial A

yang berbentuk : - aX + b

d). Faktor (aX+b)2 akan memberi pecahan parsial yang berbentuk:

A B

+ - aX + b ( aX + b )2

e). Faktor (aX+b)3 akan memberi pecahan parsial berbentuk: A B C

+ + - aX + b ( aX + b )2 ( aX + b )3

6). Faktor kuadrad ( aX2 + bX + c ) memberi pecahan parsial yang berbentuk : AX + B

-

aX2 + bX + c

d. Tugas 3 :

Tentukan integral - integral berikut ini :

1).  X2 cos 5X dX 6).  X 3 ln ( X + 7 ) dX 2).  2X3 e3X dX 7).  e5X sin 3X dX

2X2 + X +1 X3 + X + 1 4).  dX 9).  dX (X –1)(X2 +1) X4 + X2 dX 3X + 2

5).  10).  dX X2 (1 + X2) (X –2)(X2 – 4)

e. Tes formatif3 :

Tentukan integral - integral berikut ini :

1).  X2 sin 7X dX 4).  4 X 2 ln 3 X dX 2).  4X3 e2X dX

2X – 1 8 – X 3).  dX 5).  dX

X2– 8X + 15 (X – 2)2 (X+1)

f. Kunci Jawab Tes Formatif 3 :

1). –1/7 X2 cos 7X + 2/49 X sin 7X + 2/343 cos 7X + C

2). e2X (2X3– 3X2 + 3 X + 1 ½ ) + C

3). 4½ ln ( X – 5 ) – 2½ ln ( X – 3 ) + C

4). 1⅓ X3 ( ln 3 X –⅓ ) + C

2

5). – ln ( X – 2 ) – + ln ( X + 1 ) + C X – 2

4. Kegiatan Belajar 4 : Integral Tertentu dan Aplikasinya a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 :

1). Mahasiswa dapat menyelesaikan integral tertentu sebuah

fungsi jika diketahui batas-batasnya.

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. 3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi

fungsi untuk menghitung luas daerah antar dua kurva. 4). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi

fungsi untuk menghitung volume benda putar.

b. Uraian Materi 4 : Integrasi Tertentu dan Aplikasinya

Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu

Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :

b disebut integral tertentu (integral Riemann)



f (X) dX

dari f (X) mulai X = a sampai X = b a

Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar sebagai berikut :

Jika diketahui anti turunan dari f (X) adalah F (X) maka :

b b



f (X) d(X) = F(X)

]

= F ( b )

–

F ( a )

a a

Selanjutnya juga perlu diketahui bahwa integral tertentu mempunyai sifat-sifat yang sama dengan integral tak tentu dalam hal operasi aljabar, baik penjumlahan, pengurangan dua fungsi atau lebih maupun perkalian antara suatu fungsi dengan bilangan konstan.

Contoh Soal : Hitunglah :

2 1/4

1).



( 4X – 9X2 ) dX 2).



sin3 (2X) . cos (2X) dX 1 0

Jawab :

2 2 1).



( 4X – 9X2 ) dX = 2X2– 3X3



1 1

= 2 ( 22 – 12 ) – 3( 23 –13 ) = 2.3 – 3.7

¼ 

2).



sin3 (2X) . cos (2X) dX 0

Misal U = sin 2X  dU = 2 cos 2X dX  ½ dU = cos 2X dX Sehingga soal tersebut dapat diganti :

¼  sin4 2X ¼ 



½ (sin3 2X) ( 2 cos 2X ) dX = ½

]

0 4 0

¼ 

= 1/8 sin4 2X ]

=

1/8 ( sin4 ½– sin4 0 ) 0

= 1/8 (1 – 0 ) = 1/8

Luas Daerah di Bawah Kurva :

Y Luas daerah di bawah suatu kurva Y= f(X) Y = f ( X ) di atas sumbu X dari

X = a sampai X = b sebagaimana tampak pada gambar di samping, yaitu daerah yang diarsir dapat A dihitung dengan rumus :

0 a b X

satuan luas

Contoh Soal :

1). Y Y=X2 +1 Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di

sebelah ini !

-2 -1 0 1 2

b b A =  Y dX atau A =  f (X) dX a a

Jawab : Luas daerah yang diarsir ( A ) : 2

A =  ( X2 +1 ) dX

–2

2

= X 3 + X  = ( 23 – (–2 )3 ) + ( 2 – (–2) )

–2

= . 16 + 4 = 9 satuan luas

2). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 + X dan sumbu X dari X = 1 sampai X = 4

4

Jawab : A =  ( 2 + X ) dX 1

1½ 4 = 2X + X  = 2 (4 – 1) + ( 41½–11½ )

1

= 2 . 3 + . 7

= 10 satuan luas

Luas Daerah Antara Dua Kurva :

Jika diketahui kurva-kurva Y = f (X)

dan Y = g (X) dengan f (X)  g (X)

Y dan keduanya kontinyu pada selang Y=f (X) a  X  b. Maka luas daerah antara

kedua kurva tersebut dari X = a

Y=g (X) sampai X = b dapat ditentukan dengan rumus:

0 a b b

A =



[ f (X) – g (X) ] dX satuan a luas

Harga batas a dan b dalam hal ini tidak selalu telah diketahui secara eksplisit, namun dapat ditentukan, yaitu dengan jalan mencari titik potong antara kedua kurva (tergantung masalahnya).

Contoh Soal :

1). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 – X2 dan kurva Y = X seperti yang ditunjukkan dalam gambar dibawah ini !

Y Jawab :

Y = X Pertama-tama cari dahulu batas

integrasinya, yaitu titik potong kedua kurva.

0 X 2 – X2 = X

2 – X2– X = 0

Y = 2 – X2 X2 + X – 2 = 0

( X + 2 ) ( X – 1) = 0

X + 2 = 0 atau X – 1 = 0 X = – 2 X = 1

Jadi, batas integrasi untuk menghitung luas daerah yang dimaksud adalah X = – 2 sampai X = 1, sehingga :

1 1

A =  ( 2–X2 ) – X  dX =  (–X2– X + 2 ) dX –2 –2

–1 1 = ( ---- X3– ---- X2 + 2X )



1

3 2 –2

–1 1

= ----  13 – (–2)3 – ----  12– (–2) 2 = 2  1– (–2) 

3 2

= 4 ½ satuan luas

2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabol Y2 = 4X dan garis yang persamaannya 4X – 3Y = 4

Jawab : Kedua kurva Y2 = 4X dan 4X – 3Y = 4 dipotongkan sehingga diperoleh :

Y2 – 3Y = 4 Y2 – 3Y – 4 = 0 (Y– 4) (Y+1) = 0

Y – 4 = 0 Y = 4 Y + 1 = 0 Y = –1

Untuk Y = 4 diperoleh X = 4

Y = –1 diperoleh X = ¼

Jadi titik potong kedua kurva ( 4, 4 ) dan (¼ , –1 )

Daerah yang dicari luasnya tampak seperti gambar dibawah :

Dalam hal ini luasnya dihitung dengan rumus : b

A =  { f (Y) – g (Y) } dY a

Bila ditulis dalam fungsi Y di dapat :

X 0

Y

Y2 =4X 4X –3Y=4

Y2 = 4X X = ¼ Y2 4X – 3Y = 4 X = ¾ Y +1

Jadi luas daerah tersebut :

4 3 Y2 1 4

A = ∫ ( Y + 1 – ) dY = ∫ (3Y + 4 –Y2 ) dY

_{–1 4 4 4 –1}

1 3 1 4

= ( Y2 + 4Y – Y3 ) ] 4 2 3 –1

1 3 1 3 1

= ( 42 + 4.4 – 43) – { (–1 )2 + 4 (–1) (–1)3 } 4 2 3 2 3

125

= - - = 5,21 satuan luas 24

Menghitung Volume Benda Putar :

Y Y Y = f ( X )

f (X )

0 a b X 0 V X

Jika suatu daerah di bawah kurva Y= f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu

putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :

satuan volume b b

V =  { f (X )}2 dX atau V =  Y2 dX a a

Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran maka volume benda putarnya :

satuan volume

Contoh :

1). Daerah yang di batasi oleh kurva Y = X2, sumbu X dan garis X = 3 di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360  Hitunglah

volume benda putar yang terbentuk ! Jawab :

Isi ( Volume ) benda putar yang terjadi : 3 3 3

V =  Y2 dX =  (X2 )2 dX =  X4 dX 0 0 0

1 3 1

=  X5 ] =  ( 35– 05 ) 5 0 5

= 48,6  satuan volume

2). Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X3, sumbu Y dan garis Y = 3 diputar satu putaran mengelilingi sumbu Y !

Jawab: Dalam masalah ini akan lebih mudah jika digunakan perubah integral dalam Y, sehingga volume benda putar yang terbentuk dihitung dengan rumus :

b

V =   X2 dY a

karena Y = X3 maka X = Y 1/ 3 sehingga didapat: b

V =  X 2 dY a

3

V =  ( Y1/3 )2 dY

0

3 3

V =  Y2/3 dY = . 3/5 . Y5/3 ]

0 0

= 3/5 .  . (3 ) 5/3

= 11,76 satuan isi

c. Rangkuman 4 :

Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu

Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :

b disebut integral tertentu (integral Riemann)



f (X) dX

dari f (X) mulai X = a sampai X = b a

Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar : ( Jika F (X) adalah anti turunan dari f (X) )

b b



f (X) d(X) = F(X)

]

= F ( b )

–

F ( a )

a a

Luas Daerah di Bawah Kurva :

Luas daerah di bawah suatu kurva Y = f ( X ) di atas sumbu X dari X = a sampai X = b dapat dihitung dengan rumus : satuan luas

b b A =  Y dX atau A =  f (X) dX a a

Luas Daerah Antara Dua Kurva :

Luas daerah antaradua kurva f (X) dan g (X) dari X = a sampai

X = b dapat ditentukan dengan rumus:

b

A =



[ f (X) – g (X) ] dX satuan luas

a

Volume Benda Putar :

Jika suatu daerah di bawah kurva Y = f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu

putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :

satuan volume

Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran

maka volume benda putarnya :

satuan volume

d. Tugas 4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !

3 

a).



(3X2– 2X+ 4 ) dX c).



X2 . sin X dX

2 0 –2 ½ 

b).



(X2 + 1/X3 ) dX d).



cos2 X. sin X dX

– 4 0

b b V =  {f (X )} 2 dX atau V =  Y2 dX a a

b V =  X 2 dY a

2). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y= ( X+2 ) ( X –4 ) dan sumbu X.

3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva Y = 3 e2X dan Y = 3e –X dan ordinat pada X = 1 dan X = 2

4). Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini

a. b. Y

Y Y = X3

Y = 2X – X2 Y = 4

O X X

5). Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X, sumbu X dan garis X = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu X.

6). Carilah volume benda yang terjadi bila bidang yang dibatasi oleh kurva Y = X2 + 5, sumbu X dan ordinat pada X = 1 dan X = 3 diputar satu putaran penuh mengelilingi

sumbu Y.

e. Tes formatif4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !

3 ½  3 sin 2X a).



( t + 2 ) –2 dt b).



dX

– 1 0 1 + cos2 X

2). Carilah luas daerah antara kurva Y= ( X+ 2 )2 dengan kurva Y = 10 –X2

3). Hitunglah besarnya isi benda yang terbentuk jika bidang yang dibatasi kurva Y = 3 cos X, sumbu X, dan ordinat pada X = 0 dan X = ¼ ฀ diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu X.

f. Kunci Jawab Tes Formatif 4 :

1). a). 4/5 b). 2, 079

2). 21 satuan luas. 3). 18,172 satuan volume

39 A. Pertanyaan

1.Tentukanlah integral-integral berikut ini ! a. Y =  (5X4 – 4X2– 3X +7+ 2 X )

b. Y =  7 ( 3X2– 9X + 2 ) ( 10 X – 15 ) dX c. Y =  ( X3 – 1 ) .sin ( 5X – 7 ) dX

5 cos 3X

d. Y =



-dX X - 4 – sin 3X

2. Hitunglah !

3 a.  5X2 e 2X dX

1 

b.



4 cos 3. sin3 d ¼ 

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 6X – X2 dan Y = X2– 2X.

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva Y = X + 3 , sumbu X, garis X = 2 dan garis X = 5 diputar satu putaran mengelilingi sumbu X !

B. Kunci Jawaban

4 3 4

1. a. Y = X5– X3– X2 + 7 X + X  X + C 3 2 3

35

b. Y = ( 3X2– 9 X + 2 ) 2 + C

1 6 3 6

c. Y = { – (X3 – 1) + X } .cos (5X – 7) + ( X2 – ) cos (5X – 7) + C

5 125 25 625

5 b. Y = – ln ( 4 – sin 3X ) + C

3

2. a. 6546,48 b. –

⅓

3. 21

⅓

satuan luas

4. 129  satuan volume = 405,165 satuan volume

C. Kriteria Kelulusan

Kriteria Skor

(1 – 10) Bobot Nilai Keterangan

Kognitif ( soal nomor 1 sd. 4 ) 5

Syarat lulus nilai minimal

56

Ketelitian menulis notasi 1

Ketepatan prosedur 2

Ketepatan formula jawaban 1

Ketepatan waktu 1

41

BAB IV

PENUTUP

Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 03 dengan judul Integrasi

Fungsi ini telah selesai disusun dengan dilengkapi beberapa

latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum.

Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya ( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.

42

DAFTAR PUSTAKA

Frank Ayres, Jr., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga

Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga Stroud, K.A. 1986. Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta:

2). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y= ( X+2 ) ( X – 4 ) dan sumbu X.

3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva Y = 3 e2X dan Y = 3e –X dan ordinat pada X = 1 dan X = 2

4). Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini a. b. Y

Y Y = X3

Y = 2X – X2 Y = 4

O X X

5). Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X, sumbu X dan garis X = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu X.

6). Carilah volume benda yang terjadi bila bidang yang dibatasi oleh kurva Y = X2 + 5, sumbu X dan ordinat pada X = 1 dan X = 3 diputar satu putaran penuh mengelilingi

sumbu Y.

e. Tes formatif 4 :

1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !

3 ½  _{3 sin 2X} a).  ( t + 2 ) –2 dt b).  dX

– 1 0 1 + cos2 X 2). Carilah luas daerah antara kurva Y= ( X+ 2 )2 dengan kurva Y = 10 – X2

38

3). Hitunglah besarnya isi benda yang terbentuk jika bidang yang dibatasi kurva Y = 3 cos X, sumbu X, dan ordinat pada X = 0 dan X = ¼ ฀ diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu

X.

f. Kunci Jawab Tes Formatif 4 : 1). a). 4/5 b). 2, 079

2). 21 satuan luas. 3). 18,172 satuan volume

39 A. Pertanyaan

1. Tentukanlah integral-integral berikut ini ! a. Y =  (5X4 – 4X2– 3X +7+ 2 X )

b. Y =  7 ( 3X2– 9X + 2 ) ( 10 X – 15 ) dX c. Y =  ( X3 – 1 ) .sin ( 5X – 7 ) dX

5 cos 3X

d. Y =



-dX X - 4 – sin 3X

2. Hitunglah !

3 a.  5X2 e 2X dX

1 

b.



4 cos 3. sin3 d ¼ 

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 6X – X2 dan Y = X2– 2X.

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva Y = X + 3 , sumbu X, garis X = 2 dan garis X = 5 diputar satu putaran mengelilingi sumbu X !

B. Kunci Jawaban

4 3 4

1. a. Y = X5– X3– X2 + 7 X + X  X + C 3 2 3

35

b. Y = ( 3X2– 9 X + 2 ) 2 + C

40

1 6 3 6

c. Y = { – (X3 – 1) + X } .cos (5X – 7) + ( X2 – ) cos (5X – 7) + C

5 125 25 625

5 b. Y = – ln ( 4 – sin 3X ) + C

3

2. a. 6546,48 b. –

⅓

3. 21

⅓

satuan luas

4. 129  satuan volume = 405,165 satuan volume

C. Kriteria Kelulusan

Kriteria Skor

(1 – 10) Bobot Nilai Keterangan

Kognitif ( soal nomor 1 sd. 4 ) 5

Syarat lulus nilai minimal

56

Ketelitian menulis notasi 1

Ketepatan prosedur 2

Ketepatan formula jawaban 1

Ketepatan waktu 1

41

BAB IV

PENUTUP

Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 03 dengan judul Integrasi Fungsi ini telah selesai disusun dengan dilengkapi beberapa latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum.

Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya ( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.

42

DAFTAR PUSTAKA

Frank Ayres, Jr., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga

Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga

Stroud, K.A. 1986. Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.