modul integral OD bab 1.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Bab I
Integral
1. Dinamika dan integrasi
Dinamika
mengacu pada analisis yang bertujuan untuk menelusuri dan
mempelajari jalur waktu spesifik dari variable untuk menentukan apakah
variable-variabel tersebut cenderung
konvergen
ke nilai ekuilbrium tertentu.
Salah satu unsur penting dari analisis dinamis adalah
penentuan tanggal
(dating)
dari variable-variabel. Hal ini dapat dilakukan dengan 2 cara: waktu
dapat dipertimbangkan baik sebagai variable yang
kontinu
atau sebagai variable
diskret
. Dalam kasus
kontinu
, telah terjadi sesuatu terhadap variable pada
titik
waktu (seperti pemajemukan bunga yang kontinu), sedangkan dalam kasus
variable
diskret
, variable hanya mengalami perubahan
sekali
dalam suatu waktu
(misalnya, bunga hanya ditambahkan pada akhir setiap 6 bulan).
Untuk membahas waktu yang kontinu, dimana tekhnik matematika
kalkulus integral dan persamaan differensial
saling berkaitan. Sedangkan pada
kasus waktu diskret menggunakan metode
persamaan differens
(difference
equation).
Salah satu contoh dinamika ekonomi adalah jumlah penduduk (populasi).
Berdasarkan pola prilaku variable sepanjang waktu, kita memperoleh fungsi yang
menggambarkan jalur waktu dari variable tersebut. Penyelesaiannya dapat
diperoleh dengan metode kalkulus integral, yang merupakan proses pencarian
fungsi derivative
tertentu kembali ke
fungsi primitif
nya.
a. Integral Indefinit (integral tak tentu)
Integrasi merupakan kebalikan dari differensiasi. Fungsi
F(x)
merupakan
integral (atau antiderivatif) dari fungsi
f(x)
.
Bentuk standarnya :
∫ f
(
x)
dx
(2)
1.
∫
x
nd
x=
1
n+1
x
n+1
+
c
Ex
:
∫
x
3d
x=
1
4
x
4+c
∫
x d
x=
1
2
x
2
+
c
∫
1
d
x=x
+c → x
0=1
1
1
x
0+1=x
∫
√
x
3dx
=
x
3 2
dx
¿
3
1
2
+
1
x
3 2+1=
1
5
2
x
5 2+1=
2
5
√
x
5+c
2.
∫
e
xdx=
e
x+
c
d
dx
e
x=e
xdan
d
dx
lnx=
1
x
3.
∫
1
x
dx=lnx
+
c x ≠
0,
x>
0
¿
∫
dx
x
=
ln
x → c
4.
a.
∫
f
'(x)e
f(x)dx=e
f(x)+
c → f
(
x
)>
0
b .
∫
f
'(x)f
(
x
)
dx=lnf
(
x
)+
c
5.
Integral penjumlahan
∫
[
(
f(
x)
+g(
x)
)
]
dx=∫
f(
x)
dx+∫
g(
x)
a(
x)
¿
∫
f
(
x
)
dx+
∫
g
(
x
)
dx=
F
(
x
)+G
(
x
)+C
1+C
2Ex :
(
x
3
+
x+1
)
dx=
¿
∫
¿
(3)
¿
(
1
4
x
4
+C
1)
+
(
1
2
x
2
+C
2)
+¿
(
x+C3)
¿
x
4
4
+
x
22
+
x+
C
Ex :
∫
(
2
e
2x+
14
x
7
x
2+
5
)
dx=e
2x+
ln
(
7
x
2+5
)
+
C
Dengan aturan penjumlahan, merupakan gabungan aturan 2 dan aturan 3a.
6.
Aturan Perkalian
∫
kf
(
x
)
dx=k
∫
f
(
x
)
dx
Ex :
∫
2
x
2dx=2
∫
f
(
x
2)
dx=2
(
1
3
x
3
+
C
)
¿
2
3
x
3+C
Ex:
∫
(
5
e
x−
x
−2+
3
x
)
dy
=
(contoh ini menggambarkan aturan
penjumlahan dan aturan perkalian)
¿
(
5
e
x+C
1)
−
(
1
−2+1
x
−2+1
+C
)
+
(
3 ln
x
+
C
3)
¿
5
e
x+
1
1
x
−1
+
3 ln
x+C
¿
5
e
x+
1
x
+
3 ln
x
+C
7.
Aturan Substitusi
∫
f
(
x
)
du
dx
dx=
∫
f
(u)
du=
F
(u
)+
C
Ex :
∫
2
x
(
x
2+1
)
dx=
∫
(
2
x
3+2
x
)
dx
¿
2
∫
x
3dx+
2
∫
x dx
¿
2
1
4
x
4+
c+2
1
2
x
2
+
c
¿
x
4
2
+
x
2
+
c
(4)
Dengan subsitusi
u=x
2+1
→
du
dx
=2
x dx
=
du
2
x
Subsitusikan :
∫
2
x
(
x
2+1
)
dx=
∫
2
x u
du
2
x
=
∫
u du=
1
2
u
2
+
c
¿
1
2
(
x
4+2
x
2+
1
)
+
c
→
(
c=
1
2
+
c
)
¿
1
2
x
4+
x
2+
c
Ex :
∫
6
x
2(
x
3+2
)
99dx=
∫
(
2
x
3+
2
x
)
dx
¿
2
∫
x
3dx+
2
∫
x dx
¿
2
1
4
x
4+
c+2
1
2
x
2
+
c
¿
x
4
2
+
x
2
+
c
Atau dengan substitusi :
Misal:
u
=
x3+2,
maka
du
/dx = 3x
2∫
6
x
2(
x
3+2
)
99dx=¿
∫
(2
du/dx)
u
99dx
¿
∫
2
u
99du
¿
2
100
u
99+ c
¿
x
(¿¿
3+2)
1001
50
¿
+ c
8.
Integrasi berdasarkan bagian-bagian
∫
v du=uv−
∫
u dv
d
(uv
)=v du
+u dv
uv=
∫
v du+
∫
u dv
Ex :
∫
x
(
x
+1
)
1 2
dx
Misal:
v
=
x dv=
dx
du=(
x+1
)
1 2dx u=
2
3
(
x+
1
)
3 2
(5)
∫
x
(
x
+
1
)
12
dx=
∫
v du=uv−
∫
u dv
¿
2
3
(
x+1
)
3 2x−
2
3
(
x+
1
)
3 2dx
¿
2
3
(
x+1
)
3 2x−
4
15
(
x+1
)
5 2+c
Ex :
∫
ln
dx
(
x>
0
)
Ex :
v
=ln
x u
=x
dv=
(
1
x
)
dx du
=dx
∫
ln
x dx=
∫
v du=uv−
∫
u dv
¿
x
ln
x−
∫
dx=
x
ln
x−x
+c
¿x
(
lnx−1)
+c∫
xe
xdx → u=
e
xdv
=dx v=
x
∫
x e
xdx
=
∫
v du=uv
−
∫
u dv
¿
e
xx
−
∫
e
xdx
¿
e
xx
−e
x+
c
¿
e
x(
x−1)+
c
b. Integral Definit
(mencari nilai luas suatu daerah di bawah kurva)
1.
∫
b a
f
(
x
)
dx=F x
]
a b(6)
Ex :
∫
1 53
x
2dx
=x
3]
1 5=(5
)
3−(
1)
3¿
125−1=124
2.
∫
b a
ke
xdx=
ke
x∫
a b¿
k
(
e
b−e
a)
Ex :
∫
0 4
(
1
1+
x
+
2
x
)
dx x ≠
−1
→
∫
f
f
(
'(xx
))
=ln
f
(
x
)+c
¿
ln
[
f
(
x
)
]
+c
Maka,
∫
0 4
(
1
1+
x
+
2
x
)
dx
=
[
ln
(1+
x)+
x
2]
0 4
¿
(
ln 5+16)−
(
ln 1+0
2)
¿ln 5+16→ln1=0
Sifat Dari Integral Definitif :
a.Perubahan limit integrasi merubah tanda integral
∫
b a
f
(
x
)
dx=−
∫
a bf
(
x
)
dx
¿
F
(a)−
F
(
b)=−
[
F
(
b)−F
(
a)
]
¿−
∫
a b
f
(
x
)
dx
c d a b
(7)
∫
a af
(
x
)
dx=F
(
a
)−F
(
a
')
=0
c.Penjumlahan bilangan terbatas
∫
a d
f
(
x
)
dx=
∫
a bf
(
x
)
dx
+
∫
b cf
(
x
)
dx+
∫
c af
(x
)
dx
(
a<b<c<d)
y
a bc x
d.
∫
a b
−f
(
x
)
dx=−
∫
a bf
(
x
)
dx
e.
∫
a b
kf
(
x
)
dx=k
∫
a bf
(
x
)
dx
f.
∫
a b
[
f
(
x
) +
g
(
x
)
d x=
∫
a bf
(
x
)
dx+
∫
a bg
(
x
)
dx
g.
∫
x=a x=b
u du=uv
∫
x=a x=b−
∫
x=a x=bu dv
2. Aplikasi Integral Dalam Ekonomi
a. Dari Fungsi Marginal Ke Fungsi Total
1. Jika biaya marginal (MC) suatu perusahaan merupakan output C’(Q) = 2
e
0,2Qdan biaya tetap adalah C
F= 90, maka fungsi biaya total C(Q)
adalah:
Dengan mengintegrasikan C’(Q) terhadap Q
∫2
e0,2QdQ = 2
0,2
1
e
0,2Q+ c =
10e0,2Q+ c
Q = 0 → C = 90
10e0
+ c = 90
c=¿
90 – 10 = 80
Jadi fungsi biaya total adalah:
C(Q)
=
10
e
0,2Q+ 80
(8)
a. Carilah fungsi tabungan
S(
Y)
b. Berapakah C bila S = 0 dan Y = 81
MPS merupakan derivative dari fungsi S, dengan mencari integral dari
S’(Y):
S(Y) = ∫
0,3−0,1Y−1 2
¿
) dY
=
0,3Y
−0,2
Y
1 2
+ c
S = 0 bila Y = 81
0 =
0,3(81)−0,2(
81)
−21) dY
+ c → c = -22,5
Jadi fungsi tabungan:
S(Y)
=
0,3
Y
−0,2
Y
12– 22,5
3. Surplus Producen
Surplus produsen merupakan surplus yang dinikmati oleh produsen
karena produsen dapat menjual barang yang ditawarkan di atas harga yang
penjual bersedia menjualnya.
Jika
Pq↑→ producers better off , whileConsumersWorse off
MC adalah turunan dari Cost Function
MC
→ q=q0, P=p0p
0=
MC
(
q
0)
$
MC
(q)p
0PS =
p0q0−∫
0 q0
MC(q)dq
PS
q
0q
If price
↑→ p →^p , PS ↑PS= ^
p
q−
^
∫
0^
q
MC
(
q)
dq
P
∆ PS
MC
(q)(9)
p0
→ q=
MC
−1 (P)q
0q
^
q
∆ P
(
p:
p
0→
^
p
)
=
∫
p0
^p
MC
−1(P)
dp
Ex :
MC(
q)
=2q+1,finda. Ps at
p
0=10
b. Ps at
^
p=15
c.
∆ ps → p
:
p
0
→15
a.
p
0=10
MC
q=
p
0→ q
0=4,5
PS =
p0q0−∫
0 q0
MC(q)dq
PS=(10
)(
4,5)
∫
0 4,5(
2
q+1)
dq
¿
45−
[
q
2+
q
]
4,5¿45−
[
(
4,52+4,5
)
−0]
¿45−24,75=20,25
PS=20,25
MC=2q+1→ p
10
q
4,5
b.
^
p=15
→ MC
(^q)= ^
p ,
q
^
=7
PS= ^
p
q−
^
∫
0^
q
(10)
PS=(
15
)(
7)−
∫
0 7(
2
q+
1)
dq
¿
105−
[
q
2+q
]
07¿105−56=49
^
p=2
q+
1
PS=49 15
49
c.
∆ PS=49
−20,25=28,75
Atau inverse dari MC.
MC
−1(P)
=
p
2
−
1
2
∆ PS
=
∫
p0
ṕ
(
p
2
−
1
2
)
dp
∆ PS=
∫
10 15
(
p
2
−
1
2
)
dp
[
p
24
−
p
2
]
1015
=
(
15
2
4
−
15
2
)
−
(
10
24
−
10
2
)
=
28,75
4. Surplus Consumen
Surplus konsumen merupakan surplus yang dinikmati oleh konsumen
karena konsumen dapat membayar barang yang dibeli di bawah
kemampuan membayar konsumen tersebut.
p
0=
D
−1 (q)
CS =
∫
0 q0
D
−1(11)
P=
D−1p0
q0
Ex : demand function
:
q=50−2
p
a. CS at
p0=20b. CS at
^p=15c.
∆ CSp0=20q0=10→ q=50−2p
Inverse dari fungsi demand
:
p=25−
q
2
a. CS =
∫
0 q0
D−1
(q)dq−p0q0
CS
(
p
0=20
)
=
∫
0 10
(
25
−q
2
)
dq−
20.10
=
[
25
q
4
−q
2]
0 10
−200
=
[
250−100
4
]
0−200=25
25 CS=25
20
q=50−2
p ∆ r p=25−
q
2
10
(12)
CS =
∫
0 q0D−1
(q)dq−p0q0
CS
( ^
p=15
)=
∫
0 20
(
25−
q
2
)
dq−15.(20
)
=
[
25
q
4
−q
2]
0 20
−300
=
[
500−
4
400
]
0−300=100
c.
∆ CS
=100−25
=75
Atau inverse dari
inversefungsi demand
q=50−2p
∆ CS
=
∫
ṕ
p0
D
(
p
)
dp
∆ CS
=
∫
15 20(50−2
p)
dp
=
[
50
p−
p
2]
1520
= 75
DAFTAR PUSTAKA
Chiang.C. Alpha. & Kevin W. 2002. Fundamental Methods Of Mathematical
Economics. The Fourth Edition. McGraw-Hill Book Company, New York.
(13)
Hoy, Michael. 1999. Mathematics For Economics, Second Edition,
McGraw-Hill Book
Company, New York.
(1)
a. Carilah fungsi tabungan
S(
Y)
b. Berapakah C bila S = 0 dan Y = 81
MPS merupakan derivative dari fungsi S, dengan mencari integral dari
S’(Y):
S(Y) = ∫
0,3−0,1Y −12
¿
) dY =
0,3
Y
−0,2
Y
1 2+ c
S = 0 bila Y = 81
0 =
0,3(81)−0,2(
81)
−21) dY + c → c = -22,5
Jadi fungsi tabungan:
S(Y) =
0,3
Y
−0,2
Y
12– 22,5
3. Surplus Producen
Surplus produsen merupakan surplus yang dinikmati oleh produsen
karena produsen dapat menjual barang yang ditawarkan di atas harga yang
penjual bersedia menjualnya.
Jika
Pq↑→ producers better off , whileConsumersWorse off
MC adalah turunan dari Cost Function
MC
→ q=q0, P=p0p
0=
MC
(
q
0)
$
MC
(q)p
0PS =
p0q0−∫
0
q0
MC(q)dq
PS
q
0q
If price
↑→ p →^p , PS ↑PS
= ^
p
q
^
−
∫
0 ^
q
MC
(
q
)
dq
P
∆ PS
MC
(q)(2)
p0
→ q
=
MC
−1(P)
q
0q
^
q
∆ P
(
p
:
p
0→
^
p
)
=
∫
p0
^p
MC
−1(P)
dp
Ex :
MC(
q)
=2q+1,finda. Ps at
p
0=10
b. Ps at
^
p
=15
c.
∆ ps → p
:
p
0
→
15
a.
p
0=10
MC
q=
p
0→ q
0=4,5
PS =
p0q0−∫
0
q0
MC(q)dq
PS
=(10
)(
4,5)
∫
0 4,5
(
2
q
+1)
dq
¿
45−
[
q
2+
q
]
4,5¿45−
[
(
4,52+4,5
)
−0]
¿45−24,75=20,25PS=20,25
MC=2q+1→ p
10
q
4,5
b.
^
p
=15
→ MC
(^q)= ^
p ,
q
^
=7
PS
= ^
p
q
^
−
∫
0 ^
q
(3)
PS
=(
15
)(
7)−
∫
0 7
(
2
q
+
1)
dq
¿
105−
[
q
2+
q
]
07¿105−56=49
^
p
=2
q
+
1
PS=49 15
49
c.
∆ PS
=49
−20,25=28,75
Atau inverse dari MC.
MC
−1(P)
=
p
2
−
1
2
∆ PS
=
∫
p0
ṕ
(
p
2
−
1
2
)
dp
∆ PS
=
∫
10 15
(
p
2
−
1
2
)
dp
[
p
24
−
p
2
]
1015
=
(
15
2
4
−
15
2
)
−
(
10
24
−
10
2
)
=
28,75
4. Surplus Consumen
Surplus konsumen merupakan surplus yang dinikmati oleh konsumen
karena konsumen dapat membayar barang yang dibeli di bawah
kemampuan membayar konsumen tersebut.
p
0=
D
−1(q)
CS =
∫
0q0
D
−1(4)
P=
D−1p0
q0
Ex : demand function
:
q
=50−2
p
a. CS at
p0=20b. CS at
^p=15c.
∆ CSp0=20q0=10→ q=50−2p
Inverse dari fungsi demand
:
p
=25−
q
2
a. CS =
∫
0q0
D−1
(q)dq−p0q0
CS
(
p
0=20
)
=
∫
0 10
(
25
−
q
2
)
dq
−
20.10
=
[
25
q
4
−
q
2]
0 10−200
=
[
250−100
4
]
0−200=25
25 CS=25
20
q
=50−2
p ∆ r p
=25−
q
2
10
(5)
CS =
∫
0q0
D−1
(q)dq−p0q0
CS
( ^
p
=15
)=
∫
0 20
(
25−
q
2
)
dq
−15.(20
)
=
[
25
q
4
−
q
2]
0 20−300
=
[
500−
4
400
]
0−300=100
c.
∆ CS
=100−25
=75
Atau inverse dari
inversefungsi demand
q=50−2p∆ CS
=
∫
ṕ
p0
D
(
p
)
dp
∆ CS
=
∫
15 20
(50−2
p
)
dp
=
[
50
p
−
p
2]
15 20= 75
DAFTAR PUSTAKA
Chiang.C. Alpha. & Kevin W. 2002.
Fundamental Methods Of Mathematical
Economics
. The Fourth Edition. McGraw-Hill Book Company, New York.
(6)
Hoy, Michael. 1999. Mathematics For Economics, Second Edition,