20. Modul Integral Pak Sukani

INTEGRAL

12.1. Integral Tak Tentu

a. Integral Fungsi Aljabar

Rumus Dasar Integral tak tentu :

1. x C

1 n

a dx

axn n 1



 



 n  -1

2.



adxax C

3.



dx



x dx lnx C x

1 -1

Contoh :

1.



(2x36x2 4x7)dx = x 2x 2x 7xC 2

1 4 3 2

2.



x  x3)dx

5 2 2 3

( 2 = x  x 3xC

2 5 2 3

2 3

2 3

= x  x 3xC

5 1 2

1 3 2

3.



x  x  )dx 3 2 5 4

( 4

1 3 1

= x  x  xC

3 2

4 5 5

3 4

4 ₃4 ₄5

= x  x  xC 3 2 4

3 4

5 3 4

4.



4x(3x5)dx =



(12x2 20x)dx

= 3x3 + 10x2 + C

5.



(2x4)(x6)dx =



(2x2 12x4x24)dx =



(2x2 8x24)dx

= x 4x 24xC 3

2 3 2

6.



(x5)2dx =



(x2 10x25)dx

= x 5x 25xC 3

1 3 2

7.



(3x2)2dx =



(9x2 12x4)dx

= 3x3 + 6x2 + 4x + C

8.



  dx

x x

x )

3 5 2

( _{2 3} =



(2x15x2 3x3)dx

= x x x C

  

 1 2

2 3 1

5 ln

2 = C

x x

x  ₂  2

3 5 ln 2

9. ( x 23 x)dx



 =



(x 2x3)dx 1 2 1

= x  x3 C 4 2

3

3 4 2

2 3 1

= x  x3 C 4 2

3 3 2 3

2

b. Integral Fungsi Trigonometri Rumus dasar integral :

1.



sinx dx = – cos x + C

2.



 cosax C

a 1 dx ax

sin ;



  cos(ax b)C

a 1 dx b) (ax sin 3.



cosx dx = sin x + C

4.



 sinax C

a 1 dx ax

cos ;



  sin(ax b)C

a 1 dx b) (ax cos

Contoh :

1.



2sin3xdx =  cos3xC 3

2

2.



3cos5xdx = sin5xC 5

3

3.



4sin(52x)dx =  x C



 cos(5 2 )

2 4

= 2cos(5 – 2x) + C

4.



x1)dx 2

1 cos(

2 = x1)C

2 1 sin( 2 1 2

= x1)C 2

1 sin( 4

5.



(5cos2x3sin(4x3))dx = x  )cos(4x3)C 4

3 ( 2 sin 2 5

= x cos(4x3)C

4 3 2 sin 2 5

12.2. Integral Tertentu (Integral Batas) Rumus Dasar :

F(a) F(b) F(x)

f(x)dx b_a

b a

 





a = batas bawah b = batas atas Contoh :

1.



 

3

1 2

) 4 6 3

( x x dx = 3

1 2

3

) 4 3

(x  x  x

= (33– 13) + 3(32– 12) – 4(3 – 1) = (27 – 1) + 3(9 – 1) – 4(3 – 1) = 26 + 24 – 8

= 42

2.



 

4

0

) 3 )( 4 2

( x x dx =



  

4

0 2

) 12 4 6 2

( x x x dx =



 

4

0 2

) 12 2 2

( x x dx

=

4

0 2

3

) 12 3

2

( x x  x

=

3 2

(43– 03) + (42– 02) – 12(4 – 0) =

3 2

(64 – 0) + (16 – 0) – 12(4 – 0) = 42

3 2

+ 16 – 48 = 10

3 2

3.







2

1

2

) 3 2

( x dx =





 

2

1 2

) 9 12 4

( x x dx

=

2

1 2

3

) 9 6 3 4 (

   x x

x

=

3 4

(23– (-1)3) – 6(22– (-1)2) + 9(2 – (-1)) =

3 4

(8 + 1) – 6(4 – 1) + 9(2 + 1) = 12 – 18 + 27

= 21 4.



4

1

3 xdx =



4

1 2 1

3x dx

=

4

1 2 3

2 3 3

         

x =

4

1 2 3

) 2

( x =

4 1 3

) 2

( x

= 2( 43  13)

= 2( (22)3  1) = 2(23– 1) = 2(8 – 1)

5.





3

1

3

2 )

6 2

( dx

x

x =



  _

3

1

3 2

) 6 2

( x x dx

=

3

1 2 1

) 2 6 1

2

(  

 

 x x =

3

1 2)

6 2 (

x x



= )

1 1 3

1 ( 6 ) 1 1 3 1 (

2   ₂ 



= 1)

9 1 ( 6 ) 1 3 1 (

2   



= )

9 8 ( 6 ) 3 2 (

2   



=

3 16 3 4

 =

3 12  = –4

6.



2

0

cos 2



xdx = 2

0

) sin 2 (



x

= 2(sin 90o– sin 0o) = 2(1 – 0)

= 2 7.







2

2 sin

3 xdx =





2 ) 2 cos 2 3

( x

= 2 3

 (cos 2(180o) – cos 2(90o) =

2 3

 (cos 360o– cos 180o) =

2 3

 (1 – (-1)) = –3

8.





3

0

) sin 4 3 cos 2 (



dx x

x = 3

0

) cos 4 3 sin 3 2 (



x x

= 3 2

(sin 3(60o) – sin 3(0o)) + 4(cos 3(60o) – cos 3(0o)) =

3 2

(sin 180o– sin 0o) + 4(cos 180o– cos 0o) =

3 2

(0 – 0) + 4(–1 – 1) = –8

12.3. Pemakaian Integral a. Luas Daerah

1. Daerah diatas sumbu x

Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung

dengan rumus :





b

a

dx

(x)

f

L

_{(daerah diatas sumbu x)}

2. Daerah dibawah sumbu x

Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung

dengan rumus :







b

a

dx

(x)

f

L

_{(daerah dibawah sumbu x)}

3. Daerah diatas dan dibawah sumbu x

Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus :

L =



b

a

dx

(x)

f

_–



c

b

dx

(x)

f

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2– 3x – 10 dan sumbu x. Jawab :

Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x x2– 3x – 10 = 0

(x + 2) (x – 5) = 0 x + 2 = 0  x = -2 x – 5 = 0  x = 5 L =





   5

2 2

) 10 3

(x x dx =

5

2 2

3

) 10 2

3 3 1 (

  

 x x x

= (5 ( 2) ) 10(5 ( 2))}

2 3 ) ) 2 ( 5 ( 3 1

{ 3   3  2   2   



= (25 4) 10(5 2)}

2 3 ) 8 125 ( 3 1

{     



a b x

y

y = f(x)

a b _x

y

y = f(x)

b

a c x

y

y = f(x)

y

x 5 -2

= –(44

3 1

– 31

2 1

– 70) = 57

6 1

satuan luas

Untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x dapat juga dihitung dengan :

2

6a D . D

L   D = b2– 4ac

y = x2– 3x – 10  a = 1 ; b = -3 ; c = -10 D = (-3)2– 4 . 1 . (-10) = 9 + 40 = 49

L = ₂

) 1 .( 6

49 . 49

=

6 343

L = 57

6 1

satuan luas

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 0 dan x = 8 Jawab :

Luas daerah ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

L =



 





4

0

8

4

) 4 ( )

4

( x dx x dx

=

8

4 2 4

0 2

) 2 1 4 ( ) 2 1 4

( x x  x x

= (8 4 )}

2 1 ) 4 8 ( 4 { )} 0 4 ( 2 1 ) 0 4 ( 4

{   2  2    2  2

= (16 – 8) – (16 – 24) = 8 + 8

L = 16 satuan luas

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 2 dan x = 4 Jawab :

Kurva ada di atas sumbu x L =





4

2

2

) 4

( x x dx =

4

2 3 2

) 3 1 2

( x  x

= (4 2 )

3 1 ) 2 4 (

2 2  2  3  3

= (64 8)

3 1 ) 4 16 (

2   

= 24 – 18 3 2

L = 5

3 1

satuan luas

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 sin 2x, x = 0 dan x =  Jawab :

Kurva ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

L =







2

0

2

2 sin 4 2

sin 4







xdx xdx

0 4 8 x

4 y

y = 4 – x

2

0 4 x

y

y = 4x – x2

x y

 /2

0

=  

2 2

0 ( 2cos2 )

) 2 cos 2

( x   x

= –2(cos 2(90o) – cos 2(0o)) + 2(cos 2(180o) – cos 2(90o) = –2(cos 180o– cos 0o) + 2(cos 360o– cos 180o)

= –2(-1 – 1) + 2(1 – (-1)) = –2(-2) + 2(2)

= 4 + 4

L = 8 satuan luas b. Volume Benda Putar

1. Perputaran terhadap sumbu x

y Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan didapatkan benda yang volumenya :

V =



b

a 2

dx y

π

a b x

2. Perputaran terhadap sumbu y

y x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan b didapatkan benda yang volumenya :

V =



b

a 2

dy x

π

a x Contoh :

1. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 0, dan x = 4 yang diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab :

V =





4

0

2

) 1 2

( x dx

 =



 

4

0 2

) 1 4 4

( x x dx



=

4

0 2 3

) 2

3 4

( x  x x



= { 3 4

(43– 03) + 2(42– 02) + (4 – 0)} = {

3 4

(64) + 2(16) + 4 = (85

3 1

+ 32 + 4) V = 121

3 1

 satuan volum

0 4 x

y

Atau dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong

) . .(

. 3

2 2

r r R R t

V  

R = jari-jari lingkaran besar, r = jari-jari lingkaran kecil, dan t = tinggi kerucut y = 2x + 1 untuk x = 0  r = 1 ; untuk x = 4  R = 9 dan t = 4

V = 3

 _{. t . (R}2

+ R . r + r2) =

3

 _{. 4 . (9}2

+ 9 . 1 + 12) =

3

 _{. 4 . (81 + 9 + 1)}

V = 121 3 1

 satuan volum

2. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3 – x, x = 0, dan x = 3 jika diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab : V =





3

0

2

) 3

( x dx

 =



 

3

0

2

) 6

9

( x x dx



=

3

0 3 2

) 3 1 3 9

( x x  x



= {9(3 – 0) – 3(32– 02) +

3 1

(33– 03)} = {9(3) – 3(9) +

3 1

(27)} = (27 – 27 + 9)

V = 9 satuan volum

3. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan sumbu x jika diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab :

Batasnya adalah x = 0 dan x = 2

V =





2

0

2 2

) 2

( x x dx

 =



 

2

0

4 3 2

) 4

4

( x x x dx



=

2

0 5 4 3

) 5 1 3

4

( x x  x

 = {

3 4

(23– 03) – (24– 04) +

5 1

(25– 05) = {

3 4

(8 – 0) – (16 – 0) +

5 1

(32 – 0) = (10

3 2

– 16 + 6 5 2

) V =

15 16

 satuan volum

3

0 x

y

Pembahasan soal-soal : 1.



3 5 x dx

= ….

A. x C

2 3 -₃2



 C. x C

2 3 ₃2

 E. x C

8 5 -₅8



B. x C

2 5 ₅2



 D. x C

2 5 -₅2

 

UN 03/04 Jawab : A Penyelesaian :



3 5 x dx

=



3 5

x dx

=



x 3 dx

5

= x C 1

3 5

1 1

3 5

- 





= x C

3 2 1 -₃2

 

= x C 2

3 -₃2

 

2.



 

2

0

2 3

dx 9x) 3x x

( = ….

A. 14 B. 9 C. 6 D. –4 E. –8

UN 04/05 Jawab : A Penyelesaian :



 

2

0

2 3

dx 9x) 3x x

( =

2 0 2 3

4 _x

2 9 x x 4 1

  =

4 1

(24– 0) – (23– 0) +

2 9

(22– 0) =

4 1

. 16 – 8 + 2 9

. 4 = 4 – 8 + 18

= 14 3. Nilai dari





 

3

1 2

dx 3) 2x 9x

( adalah ....

A. 20 B. 34 C. 74 D. 80 E. 88

UN 07/08 Jawab : E Penyelesaian :





 

3

1 2

dx 3) 2x 9x

( =



3x3 x2 3x



3_1

= 3 (33 - (-1)3) - (32 - (-1)2) + 3(3 - (-1)) = 3 (27 + 1) - (9 - 1) + 3 (3 + 1)

= 84 - 8 + 12 = 88

4.



(2x 1)2dx = ….

A. x3 + 4x2 + 1 + C C.

3 4

x3 + 4x2 + x + C E.

3 4

x3 + 2x2 + x + C B. x3 + 2x2 + x + C D.

3 4

x3 + 2x2 + 1 + C UN 07/08

Jawab : E Penyelesaian :



(2x 1)2dx =



(4x2 4x1)dx

=

3 4

x3 + 2x2 + x + C

5.



2

0

dx 5x) cos 2 -2x sin 4 (



= …. A.

5 18

B. 2 C.

5 4

D.

5 3

E.

5 2

UN 03/04 Jawab : A Penyelesaian :



2₀(4sin 2x -2cos5x)dx



= 2

0

5x sin 5 2 -2x cos 2



  



= -2 (cos 2 . 90o– cos 0o) -

5 2

(sin 5 . 90o– sin 0o) = -2 (cos 180o– cos 0o) -

5 2

(sin 450o– sin 0o) = -2 (-1 – 1) –

5 2

(1 – 0) = -2 (-2) -

5 2

= 4 –

5 2

=

5 20

–

5 2

=

5 18

6. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 4x – x2, y = 0, x = 1, x = 3 adalah …. A.

3 20

satuan luas C.

3 32

satuan luas E.

3 64

satuan luas B.

3 22

satuan luas D.

3 40

UN 03/04 Jawab : B Penyelesaian : L =



3

1

2

dx ) x -4x ( =

3

1 3 2

x 3 1 2x

  

 _ = 2 (32– 13) –

3 1

(33– 13) = 2 (9 – 1) –

3 1

(27 – 1) = 2 . 8 –

3 1

. 26 = 16 –

3 26

=

3 48

–

3 26

L =

3 22

satuan luas

7. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2, garis x = 1, garis x = 2, dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 6

2 1

B. 4

2 1

C. 5

4 1

D. 3

2 1

E. 2

4 1

UN 04/05

Jawab : D Penyelesaian : L =





2 1

dx 2)

(x =

2 1 2 _2x

x 2 1

 =

2 1

(22– 12) + 2 (2 – 1) =

2 1

. 3 + 2 = 1

2 1

+ 2 = 3

2 1

satuan luas atau dengan menggunakan rumus luas trapesium.

L =

2 1

. jumlah sisi sejajar . tinggi L =

2 1

(3 + 4) . (2 – 1) =

2 1

. 7 . 1

0 1 2 x y

2 3

4

L = 3

2 1

satuan luas

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2– 3x dan y –x = 0 adalah … satuan luas.

A. 12 B.

3 34

C. 3 32

D. 10 E.

3 28

UN 05/06

Jawab : C Penyelesaian :

Menentukan titik potong dua kurva x2– 3x – x = 0

x2– 4x = 0 x (x – 4) = 0 x = 0 dan x = 4 L =















4 0

2

dx 3x x

x

L =





 



4 0

2

dx 3x x

x

L =









4 0

2

dx x

4x

L =

4 0 3 2

x 3 1

2x 

L = 2 (42– 0) –

3 1

(43– 0) L = 2 . 16 –

3 1

. 64 L = 32 –

3 64

L = 3 96

–

3 64

L = 3 32

satuan luas

Atau dengan cara rumus : ₂

6 . a

D D L

x2– 3x = x x2– 3x – x = 0

x2– 4x = 0  a = 1 ; b = -4 ; c = 0 D = b2– 4ac = (-4)2– 4 . 1 . 0 = 16

L = ₂

) 1 .( 6

16 . 16

= 6 64

L =

3 32

satuan luas

0 3 4 x

y _{y = x}

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 6x, garis x = -5, garis x = -2, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 E. 38

UN 07/08 Jawab : B Penyelesaian ; L =



 

  2

5 2

) 6 (x x dx

=

2

5 2 3

3 3

1 

   

 _

 x x

= - {

3 1

((-2)3 - (-5)3) + 3 ((-2)2 - (-5)2} = - {

3 1

(-8 + 125) + 3(4 - 25) = - {39 - 63}

= - (-24)

L = 24 satuan luas

10. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 1 dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum

A. 21

3 1

 B. 18

3 1

 C. 13

3 1

 D. 6

3 1

 E. 16

3 1

 UN 04/05

Jawab : C

Penyelesaian : V = 



2 1

2_dx

y = 





2 1

2_dx

1)

(2x = 



 

2 1

2 _{4x 1)dx}

(4x = 

2 1 2 3 _{2x x}

x 3 4



 = {

3 4

(23– 13) + 2(22– 12) + (2 – 1)} =  (

3 4

. 7 + 2 . 3 + 1) =  (9

3 1

+ 6 + 1) V = 16

3 1

 satuan volum

atau dihitung dengan rumus kerucut terpotong. V =

3

 _{. t (R}2

+ R . r + r2) ; R = 5, r = 3 =

3

 _{. (2 – 1) (5}2

+ 5 . 3 + 32)

-6 -5 -2 0 x y

y = x2 + 6x

0 1 2 x

5 3 y

= 3

 _{. 1 . (25 + 15 + 9)}

= 3  _{. 49}

V = 16

3 1

 satuan volume

11. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 8, x = 1 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum.

A. 244

3 1

 B. 274

3 1

 C. 290

3 2

 D. 300

3 2

 E. 320

3 2

 UN 05/06

Jawab : C

Penyelesaian : V = 









3 1

2

dx 8

2x

V = 





 



3 1

2

dx 64 32x 4x

V = 

3

1 2

3

64x 16x

x 3 4

 

V =  {

3 4

(33– 13) + 16 (32– 12) + 64 (3 – 1)} V =  {

3 4

(27 – 1) + 16 (9 – 1) + 64 (3 – 1)} V =  {34

3 2

+ 128 + 128} V = 290

3 2

 satuan volum

Atau dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong V =  .

3 t

(R2 + R . r + r2)

R = 2 . 3 + 8 = 14 ; r = 2 . 1 + 8 = 10 dan t = 3 – 1 = 2 V =  .

3 2

(142 + 14 . 10 + 102) V =  .

3 2

(196 + 140 + 100) V =  .

3 2

. 436 V =  .

3 872

V = 290

3 2

 satuan volum

0 1 3 8

x y y = 2x + 8

12. Volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 4, sumbu x, x = -2, dan x = 0, diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A.

3 42

 B.

3 38

 C.

3 32

 D.

3 20

 E.

3 16

 UN 07/08

Jawab : C Penyelesaian : V = 



 

0

2

2

) 4 2

( x dx = 





 

0

2

2 2

) 16 16 4

( x x dx

= 

0

2 2

3

16 8

3 4

   

 _{x  x  x}

=  {

3 4

(03 - (-2)3) + 8 (02 - (-2)2) + 16 (0 - (-2))} =  {

3 4

(0 + 8) + 8 (0 - 4) + 16 (0 + 2)} =  (

3 32

- 32 + 32) =

3 32

 satuan volum

Atau dengan rumus volume kerucut. V =

3 1

 . r2 . t

untuk x = -2  r = 2 (-2) + 4 = 0 untuk x = 0  r = 2 (0) + 4 = 4 tinggi t = 0 - (-2) = 2

V =

3 1

 . 42 . 2 =

3 1

 . 16 . 2 =

3 32

 satuan volum

-2 0 x

y

Soal latihan :

1. Nilai dari :





4 1

dx 2) 6x

( = ….

A. 51 B. 49 C. 45 D. 36 E. 20

2.



 

3

1

2

.... )

2 3

( x dx

A. 56 B. 48 C. 42 D. 38 E. 33

3.



(2cos x -sin 2x)dx = ....

A. 2 sin x – 2 cos 2x + C C. 2 sin x +

2 1

cos 2x + C E. 2 sin x – cos 2x + C

B. 2 sin x –

2 1

cos 2x + C D. 2 sin x + cos 2x + C

4.



 

3

0

2

.... )

3

(x dx

A. 27 B. 18 C. 9 D. 6 E. 3

5.





  

  _

2

0

2

3 dx

x 1 x

2

= …. A.

8 1

B.

4 1

C.

4 3

D.

4 3

1 _E.

4 9

6.





 

2

1 2

) 4 2 3

( x x dx = ….

A. 18 B. 19 C. 22 D. 24 E. 26

7. Nilai dari :



 

3 2

2

dx 6) 5x x

( = ….

A. –1

6 1

B. –

6 1

C.

6 5

D. 1

3 1

E. 1

3 2

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x2, y = 2x, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 21

3 1

B. 18 C. 10

3 2

D. 9 E. 4

2 1

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 0, dan x = 4 adalah ... satuan luas. A. 21

3 1

B. 18 C. 16 D. 10

3 2

E. 5

3 1

10. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 4x, yang dibatasi oleh sumbu x ; x = -2 dan x = 2 adalah … satuan luas.

A. 16 B. 14 C. 10 D. 8 E. 0

11. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 6x – x2, dibatasi sumbu x, adalah … satuan luas. A.

3 118

B.

3 114

C.

3 108

D.

6 115

E.

6 112

12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–5x + 4 dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 12 B. 9 C. 6

3 2

D. 5

4 1

E. 4

2 1

13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–4x + 3, dan sumbu x adalah … satuan luas. A. 1

3 1

B. 1

3 2

C. 2

3 1

D. 2

3 2

E. 3

3 1

14. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika diputar 360omengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 27 B. 45 C. 54 D. 63 E. 76

15. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum.

A. 198

3 1

 B. 200

3 2

 C. 201 D. 211 E. 231

3 2



16. Volume yang terjadi kurva y = -3x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0 dan x = -3 diputar 360° dengan sumbu x adalah … satuan volume.

A. 36  B. 48  C. 56  D. 64  E. 81 

17. Volume benda putar yang terjadi jika kurva y = x – 1, yang dibatasi oleh sumbu x, x = 1 dan x = 5, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volume.

A. 3 49

 B.

3 51

 C.

3 54

 D.

3 64

 E.

3 68



18. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 18

3 2

 B. 19

5 3

 C. 21 D. 21

3 1

 E. 24

19. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika diputar 360omengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 3

3 1

 B. 4

3 2

 C. 5

3 1

 D. 6

3 2

 E. 10

3 2



20. Volume yang terjadi jika kurva y = 4 – x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0, x = 4 diputar terhadap sumbu x sejauh 360° adalah ... satuan volume.

A. 3 61

 B.

3 64

 C.

3 67

 D.

3 73

 E.

3 86

L = 3 2 1

satuan luas

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2– 3x dan y –x = 0 adalah … satuan luas.

A. 12 B.

3 34

C. 3 32

D. 10 E.

3 28 UN 05/06

Jawab : C Penyelesaian :

Menentukan titik potong dua kurva x2– 3x – x = 0

x2– 4x = 0 x (x – 4) = 0 x = 0 dan x = 4 L =















4 0

2

dx 3x x

x

L =





 



4

0

2

dx 3x x

x

L =









4

0

2 dx x

4x

L =

4 0 3 2

x 3 1

2x 

L = 2 (42– 0) – 3 1

(43– 0) L = 2 . 16 –

3 1

. 64 L = 32 –

3 64

L = 3 96

– 3 64

L = 3 32

satuan luas

Atau dengan cara rumus : ₂ 6

. a

D D L x2– 3x = x

x2– 3x – x = 0

x2– 4x = 0  a = 1 ; b = -4 ; c = 0 D = b2– 4ac = (-4)2– 4 . 1 . 0 = 16

L = ₂

) 1 .( 6

16 . 16

= 6 64

L =

3 32

satuan luas

0 3 4 x

y _{y = x}

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 6x, garis x = -5, garis x = -2, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 E. 38

UN 07/08 Jawab : B Penyelesaian ; L =



 

  2

5 2

) 6 (x x dx =

2

5 2 3

3 3

1 



  

 _

 x x

= - { 3 1

((-2)3 - (-5)3) + 3 ((-2)2 - (-5)2} = - {

3 1

(-8 + 125) + 3(4 - 25) = - {39 - 63}

= - (-24)

L = 24 satuan luas

10. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 1 dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum

A. 21 3 1

 B. 18

3 1

 C. 13

3 1

 D. 6

3 1

 E. 16

3 1



UN 04/05 Jawab : C

Penyelesaian : V = 



2 1

2_dx

y = 





2 1

2_dx

1)

(2x = 



 

2 1

2 _{4x 1)dx}

(4x = 

2 1 2

3 _{2x x}

x 3 4



 = {

3 4

(23– 13) + 2(22– 12) + (2 – 1)} =  (

3 4

. 7 + 2 . 3 + 1) =  (9

3 1

+ 6 + 1) V = 16

3 1

 satuan volum

atau dihitung dengan rumus kerucut terpotong. V =

3

 _{. t (R}2

+ R . r + r2) ; R = 5, r = 3 =

3

 _{. (2 – 1) (5}2

+ 5 . 3 + 32)

-6 -5 -2 0 x y

y = x2 + 6x

0 1 2 x

5 3 y

= 3

 _{. 1 . (25 + 15 + 9)}

= 3

 _{. 49}

V = 16 3 1

 satuan volume

11. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 8, x = 1 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum.

A. 244 3 1

 B. 274

3 1

 C. 290

3 2

 D. 300

3 2

 E. 320

3 2



UN 05/06 Jawab : C

Penyelesaian : V = 









3 1

2 dx 8

2x

V = 





 



3 1

2

dx 64 32x 4x

V = 

3

1 2

3

64x 16x

x 3 4

 

V =  { 3 4

(33– 13) + 16 (32– 12) + 64 (3 – 1)} V =  {

3 4

(27 – 1) + 16 (9 – 1) + 64 (3 – 1)} V =  {34

3 2

+ 128 + 128} V = 290

3 2

 satuan volum

Atau dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong V =  .

3 t

(R2 + R . r + r2)

R = 2 . 3 + 8 = 14 ; r = 2 . 1 + 8 = 10 dan t = 3 – 1 = 2 V =  .

3 2

(142 + 14 . 10 + 102) V =  .

3 2

(196 + 140 + 100) V =  .

3 2

. 436 V =  .

3 872

V = 290 3 2

 satuan volum

0 1 3 8

x y y = 2x + 8

12. Volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 4, sumbu x, x = -2, dan x = 0, diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 3 42

 B.

3 38

 C.

3 32

 D.

3 20

 E.

3 16



UN 07/08 Jawab : C Penyelesaian : V = 







0

2

2

) 4 2

( x dx = 





 

0

2

2 2

) 16 16 4

( x x dx

= 

0

2 2

3

16 8

3 4



  

 _{x  x  x}

=  { 3 4

(03 - (-2)3) + 8 (02 - (-2)2) + 16 (0 - (-2))} =  {

3 4

(0 + 8) + 8 (0 - 4) + 16 (0 + 2)} =  (

3 32

- 32 + 32) =

3 32

 satuan volum

Atau dengan rumus volume kerucut. V =

3 1

 . r2 . t

untuk x = -2  r = 2 (-2) + 4 = 0 untuk x = 0  r = 2 (0) + 4 = 4 tinggi t = 0 - (-2) = 2

V = 3 1

 . 42 . 2 =

3 1

 . 16 . 2 =

3 32

 satuan volum

-2 0 x

y

Soal latihan :

1. Nilai dari :





4 1

dx 2) 6x

( = ….

A. 51 B. 49 C. 45 D. 36 E. 20

2.



 

3

1

2

.... )

2 3

( x dx

A. 56 B. 48 C. 42 D. 38 E. 33

3.



(2cos x -sin 2x)dx = ....

A. 2 sin x – 2 cos 2x + C C. 2 sin x + 2 1

cos 2x + C E. 2 sin x – cos 2x + C

B. 2 sin x – 2 1

cos 2x + C D. 2 sin x + cos 2x + C

4.



 

3

0

2

.... )

3

(x dx

A. 27 B. 18 C. 9 D. 6 E. 3

5.





  



 _

2

0

2

3 dx

x 1 x

2

= …. A.

8 1

B.

4 1

C. 4 3

D. 4 3

1 _E.

4 9

6.





 

2

1 2

) 4 2 3

( x x dx = ….

A. 18 B. 19 C. 22 D. 24 E. 26

7. Nilai dari :



  3

2 2

dx 6) 5x x

( = ….

A. –1 6 1

B. – 6 1

C. 6 5

D. 1 3 1

E. 1 3 2

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x2, y = 2x, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 21 3 1

B. 18 C. 10

3 2

D. 9 E. 4

2 1

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 0, dan x = 4 adalah ... satuan luas. A. 21

3 1

B. 18 C. 16 D. 10

3 2

E. 5 3 1

10. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 4x, yang dibatasi oleh sumbu x ; x = -2 dan x = 2 adalah … satuan luas.

A. 16 B. 14 C. 10 D. 8 E. 0

11. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 6x – x2, dibatasi sumbu x, adalah … satuan luas. A.

3 118

B. 3 114

C. 3 108

D. 6 115

E. 6 112

12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–5x + 4 dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 12 B. 9 C. 6

3 2

D. 5 4 1

E. 4 2 1

13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–4x + 3, dan sumbu x adalah … satuan luas. A. 1

3 1

B. 1 3 2

C. 2 3 1

D. 2 3 2

E. 3 3 1

14. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika diputar 360omengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 27 B. 45 C. 54 D. 63 E. 76

15. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum.

A. 198 3 1

 B. 200

3 2

 C. 201 D. 211 E. 231

3 2



16. Volume yang terjadi kurva y = -3x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0 dan x = -3 diputar 360° dengan sumbu x adalah … satuan volume.

A. 36  B. 48  C. 56  D. 64  E. 81 

17. Volume benda putar yang terjadi jika kurva y = x – 1, yang dibatasi oleh sumbu x, x = 1 dan x = 5, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volume.

A. 3 49

 B.

3 51

 C.

3 54

 D.

3 64

 E.

3 68



18. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 18 3 2

 B. 19

5 3

 C. 21 D. 21

3 1

 E. 24

19. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika diputar 360omengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 3 3 1

 B. 4

3 2

 C. 5

3 1

 D. 6

3 2

 E. 10

3 2



20. Volume yang terjadi jika kurva y = 4 – x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0, x = 4 diputar terhadap sumbu x sejauh 360° adalah ... satuan volume.

A. 3 61

 B.

3 64

 C.

3 67

 D.

3 73

 E.

3 86