Kasus 2. Preferensi identik Misalkan dua negara mempunyai fungsi utilitas yang sama, yaitu
dan
.
Diperlukan , yaitu
dan . Dari persamaan 3.21
dan definisi dari , diperoeh
untuk sembarang . Menggunakan hubungan di atas dan 3.24, diperoleh
3.26 Dari 3.26, secara langsung diperoleh
. Sehingga diperoleh
, yaitu . Modal negara 2 digunakan oleh
negara 1.
Akibat 3 .4 Misal
, dan
. Sistem mempunyai titik ekuilibrium tunggal di mana
.
Karena berakibat bahwa produk marginal modal marginal product
of capital di negara 1 lebih tinggi daripada di negara 2, juga bahwa kondisi dua
negara mempunyai preferensi dan angkatan kerja yang sama. Dengan cara yang sama, dapat diuji kasus lain. Sebagai contoh, adalah
mudah memeriksa bahwa jika dan
, maka .
Tetapi sulit untuk menentukan tanda dalam kasus
dan .
3.4 Perilaku Sistem Dinamik pada Perekonomian Tiga Negara
Perdagangan internasional yang lebih komplek adalah perdagangan yang dilakukan oleh tiga negara. Berikut akan diperiksa perilaku ekonomi dunia ketika
ekonomi dunia terdiri dari tiga negara. Ketika sistem terdiri dari tiga negara, persediaan modal asing yang digunakan oleh satu negara selalu milik negara lain,
sehingga nilai bisa positif atau negatif
.
Ketika nilai artinya
persediaan modal negara ke-j digunakan oleh negra lain, dan jika artinya
negara ke-j menggunakan persediaan modal negara lain.
Di dalam model diasumsikan tingkat suku bunga dalam setiap negara di persamaan 3.4 adalah sama sehingga diperoleh
, ,
karenanya
, ,
3.27 di mana
, ,
, , ,
dengan bukti di Lampiran 6.
Walaupun untuk mempermudah pembahasan digunakan , yaitu
,
keharusan ini tidak akan mempengaruhi pembahasan. Misalkan adalah persediaan modal yang digunakan oleh negara , yaitu
kemudian substitusikan pada persamaan 3.27, sehingga diperoleh
, , , .
3.28 Dengan menjumlahkan persamaan 3.28 dan menggunakan persamaan 3.2,
akan diperoleh persamaan berikut
Ф ,
,
3.29 atau dapat dinyatakan dalam persamaan berikut
Ф ,
3.30 Persamaan 3.30 terdiri dari dua variabel yaitu dan , hal ini
merepresentasikan hubungan antara penggunaan persediaan modal negara dan persediaan modal dunia pada setiap waktu. Untuk beberapa nilai positif
, persamaan 3.30 mempunyai solusi positif yang khas unique. Fungsi
Ф tersebut mempunyai sifat berikut:
1.
Ф ,
2.
Ф ,
3.
Ф
,
ini berimplikasi bahwa 3.30 memiliki solusi positif yang khas, 3.31
Persamaan ini menunjukkan bahwa untuk beberapa tingkat pemberian modal dunia jumlah modal usaha yang digunakan oleh negara dapat ditentukan
secara khas setiap titik waktu. Hubungan khusus ini diturunkan dari anggapan bahwa pasar modal dunia berkompetisi dengan sempurna, yaitu tingkat bunga
sama di seluruh dunia. Dalam beberapa kasus dapat diperoleh penyelesaian bentuk fungsional
. Sebagai contoh, pada kasus , diperoleh
.
Tetapi dari 3.30 dapat dilihat bahwa penyelesaian ini tidak bisa digeneralisasi. Dari persamaan 3.27, dapat diselesaikan sebagai fungsi khusus dari
sebagai berikut
, , .
3.32 Dari persamaan 3.31 dan dari definisi
diperoleh
,
sehingga
3.33
dari 3.33 dan 3.32 dapat disimpulkan jika
j=1,
maka
,
secara umum untuk menentukan
adalah
, , , .
3.34 Tingkat modal asing dapat ditetapkan sebagai fungsi modal dunia
dan cadangan modal yang dimiliki oleh negara ke-j
.
Untuk selanjutnya dinotasikan
.
Substitusi persamaan 3.34, dan pada persamaan 3.3 ke dalam 3.5
sehingga
, , ,
, , ,
, , ,
3.35 bukti di Lampiran 7. Persamaan keadaan di atas menyatakan bahwa pendapatan
dari tiap negara dapat ditentukan dari persediaan modal yang dimiliki oleh ketiga negara setiap waktu. Dapat dicatat bahwa modal asing , tidak lagi menentukan
pada persamaan pendapatan 3.35. Alasannya bahwa kondisi tingkat suku bunga yang sama dan teknologi serta angkatan kerja tertentu di setiap negara akan dapat
menentukan, sebagai fungsi . Karena pendapatan
, ,
dan , hanya bergantung pada
, ,
dan ,
dari 3.11 dapat dilihat bahwa akumulasi modal tiap negara dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi persediaan modal yang dimiliki oleh ketiga negara. Dari
persamaan akumulasi modal di 3.11 dapat ditulis kembali sebagai berikut:
, , ,
, ,
3.36 Persamaan 3.36 tersebut merupakan sistem persamaan diferensial 3-dimensi
dengan tiga variabel endogen,
, ,
dan .
Sistem persamaan dinamik pada persamaan 3.36 menentukan persediaan modal yang dimiliki oleh ketiga negara pada setiap titik waktu. Untuk memeriksa
sifat dinamik dari sistem, pertama diperiksa apakah sistem memiliki ekuilibrium. Ekuilibirium dari sistem perdagangan pada persamaan 3.36 menggambarkan
solusi dari tiga persamaan berikut:
, , , .
3.37 Dari persamaan 3.35 dan 3.37 dapat langsung diselesaikan sebagai
fungsi dari berikut ini
, ,
,
3.38 di mana
, ,
3.39 di mana
, , , .
bukti di Lampiran 8. Agar
,
, dan dari 3.38 diperlukan
, ,
dan . Didefinisikan
, ,
, , .
3.40 Dari definisi di atas dapat ditunjukan nilai
positif ada. ,
, dan meningkat berkenaan dengan
,
hal ini terjadi untuk nilai ketika .
Untuk menjamin
,
, dan di mana
didefinisikan
| ,
, , ,
3.41 Dari definisi tersebut dapat ditunjukkan adanya
positif. Dari persamaan 3.30 dan persamaan 3.38, maka diperoleh
Ф ,
3.42 di mana kita menggunakan
dan
.
Dapat dilihat bahwa persamaan di atas dengan jelas hanya mengandung variabel tunggal,
. Jika dapat diselesaikan sebagai fungsi parameter dari persamaan di atas, dari kita dapat menyelesaikan .
Jika
Ф
dan
Ф
, maka ada sedikitnya sebuah positif,
,
yang memenuhi sedemikian
Ф
. Ini menjamin adanya ekuilibrium.
Dari persamaan 3.33 dan persamaan 3.38, diperoleh
,
di mana untuk j
=1
, .
Tanda dari koefisien menunjukan arah arus perdagangan. Akan
tetapi persamaan 3.42 tidak bisa dengan mudah diselesaikan, sehingga tidak pula mudah untuk menterjemahkan arti ekonomis tersebut.
Prosedur pemecahan masalah ekuilibirium dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Dari persamaan 3.42 dapat ditentukan nilai
;
2. nilai bisa dicari dari persamaan 3.38, selanjutnya nilai dapat
ditentukan dari hubungan
;
3. persamaan 3.35 dapat digunakan untuk menentukan nilai
;
4. selanjutnya menentukan nilai dari persamaan 3.33;
5. kemudian nilai ditentukan dari persamaan 3.1;
6. serta nilai dan didapat dari persamaan 3.3;
7. akhirnya menentukan dan dari persamaan 3.9.
BAB IV SIMULASI MODEL
