Fungsi Biaya Cobb-Douglas

A. Fungsi Biaya Cobb-Douglas

A.1. Landasan Teori

Perilaku biaya juga berhubungan dengan periode produksi. Dalam jangka pendek ada faktor produksi tetap yang menimbulkan biaya tetap, yaitu biaya produksi yang besarnya tidak tergantung pada tingkat produksi. Sedangkan dalam jangka panjang semua faktor produksi adalah variabel, biaya juga variabel. Artinya, besarnya biaya produksi dapat di sesuaikan dengan tingkat produksi.

Dalam menganalisis fungsi biaya Cobb-Douglas diasumsikan bahwa produksi dipergunakan faktor produksi modal (K) dan tenaga kerja (L) maka minimisasi biaya dapat dirumuskan sebagai berikut :

Minimisasi C = wL + rK ………….……….....…. (III.1) Subject to, F (K,L) = Y 0 ……………..….……........ (III.2) Keterangan :

w : tingkat upah tenaga kerja r

: bunga modal Y 0 : tingkat produksi yang diinginkan

Menggunakan fungsi produksi tipe Cobb-Douglas, fungsi produksi dapat dirumuskan :

F(K,L) = AK α L β …………...…………………….... (III.3) Menurut Pindyck dan Rubinfield (2001:85) upaya

minimisasi biaya untuk memproduksi sebesar Y 0 dengan modal (K) dan tenaga kerja (L) dapat dinotasikan dengan lagrangin sebagai berikut :

Φ = wL + rK – λ(AK α L β –Y 0 ) ………..... (III.4) Derivasi terhadap L, K, dan λ menyamakan

turunanya dengan nol, maka diperoleh : ∂Φ

------ = w – λ (AK α L β-1 ) = 0 ………………..……… (III.5) ∂L

∂Φ ------ = r – λ (AK α L β-1 ) = 0 …………............……. (III.6)

∂K ∂Φ

------ = AK α L β-1 = 0 ………….......…...…………… (III.7) ∂λ

Dari persamaan (III.7) diperoleh w λ = ------------- …………………..……….……... (III.8) AK α L β-1

disubstitusikan ke persamaan (III.6) maka diperoleh :

Jika persamaan

(III.8)

rβAK α L β-1 = wαAK α L ………………………….….. (III.9) atau

βrK L = -------- ……………….…….……………….. (III.10) αw Selanjutnya menggunakan persamaan (III.10) untuk mengeliminasi L dari persamaan (III.6) diperoleh : AK α β β r β K β ----------------- = Y 0 ………..……….…………….. (III.11) α β w β

Persamaan (III.11) dapat disederhanakan menjadi :

αw/βr β Y 0

K = ------------------ …………..….……….. (III.12)

atau K

= (αw/βr) β/(α + β) (Y 0 /A) 1/(α + β) ……… (III.13)

Selanjutnya minimisasi biaya tenaga kerja dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (III.13) ke dalam persamaan (III.10) sebagai berikut :

K = (βr/αw) α /(α + β) (Y 0 /A) 1/(α + β) …..… (III.14)

Dalam hal ini jika tingkat upah (w) secara relatif meningkat terhadap bunga modal (r) maka petani akan memilih lebih pada modal dengan mengurangi penggunaan tenaga kerja dan sebaliknya. Jika teknologi meningkat, maka penggunaan biaya modal dan tenaga kerja per satu satuan output menurun.

Besarnya biaya total untuk output Y dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (III.13) untuk K dan (III.14) untuk L pada persamaan (III.1), yaitu C = wL + rK. Dengan operasi aljabar secara sederhana diperoleh :

C= w β /(α + β) r α /(α + β) (α/β) β /(α + β) + (α/β) - α /(α + β) (Y/A) 1 /(α + β) …………………………………..... (III.15)

Selanjutnya jika α + β = 1, kondisi constant returns to scale, maka persamaan (III.15) dapat disederhanakan sebagai berikut :

C = w β r α (α/β) β + (α/β) - α (1/A)Y…..… (III.16) Fungsi biaya tersebut menunjukkan total biaya

akan meningkat jika total produksi ditingkatkan hingga suatu tingkat tertentu atau akan berubah jika tingkat upah dan modal berubah. Sejalan dengan teori tersebut Silberbeg (1978:121) merumuskan fungsi biaya sebagai berikut:

C = f(Y, pi, …, pn ) ………………...……… (III.17) Keterangan :

C : biaya produksi Y : tingkat produksi

pi, …,pn : harga input X 1 , …, X n

Dalam bentuk fungsi produksi Cobb-Douglas, maka fungsi biaya tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut :

C =AY β Π (pi) α1 …………..………………. (III.18) Dalam bentuk logaritma natural, persamaan (III.18)

dapat disajikan sebagai berikut :

Ln C = Ln A + βLnY + Σ α Lnpi ……..….. (III.19)

i=1

Keterangan :

A : intercept β : koefisien regresi

Selain fungsi produksi Coob-Douglas dapat pula ditransformasikan menjadi fungsi biaya dan fungsi keuntungan. Pada konsep fungsi biaya, biaya harus diminimumkan untuk mendapatkan sejumlah input dan output. Fungsi biaya (cost function) banyak digunakan untuk mengukur apakah dengan varietas baru yang terbukti telah mampu meningkatkan produksi, yang juga disebabkan karena biaya produksi yang tinggi atau tidak.

A.2. Kasus Penelitian : Fungsi Biaya Usahatani Gandum

Hasil Penelitian Sidhu (1974) cit Soekartawi (1994:24) mengemukakan bahwa model analisis fungsi biaya Coob-Douglas pada usahatani gandum di India dapat ditulis persamaanya sebagai berikut :

CG = β 0 Q β1 PTK β2 PSTP β3 PK β4 PP β5 + DG d e ……………………………………..……... (III.20)

Untuk memudahkan perhitungan model persamaan (III.20) maka persamaan tersebut diubah menjadi linear berganda dengan metode double log atau logaritme natural (Ln) sebagai berikut:

Ln CG = β 0 +β 1 LnQ + β 2 LnPTK + β 3 LnPSTP + β 4 LnPK + β 5 LnPP + dDG +e ………………………………….... (III.21) di mana :

CG : total biaya per kwintal dan produksi gandum perusahaan-tani dalam rupiah (CG = total upah + sewa tanah + biaya kapital + biaya pupuk)

β 0 : intersep β 1, ..., β 5 : koefisien regresi

d : koefisien variabel dummy Q

: produksi dalam kwintal per usahatani PTK

: upah tenaga kerja per jam (total biaya

dibagi jumlah tenaga kerja

yang dinyatakan dalam jam kerja) PSTP : rata-rata sewa tanah perusahatani PK

: harga dari kapital PP

: harga pupuk DG : variabel dummy untuk gandum varietas

baru dan lama

e : kesalahan pengganggu Hasil pendugaaan Tabel III.1 menurut Soekartawi

(1994:23) menunjukkan bahwa koefisien determinasi adalah cukup tinggi (di atas 0,8) yang dapat diartikan bahwa variasi dari biaya dapat diterangkan sebesar 80 persen oleh variabel yang dipakai dalam model. Begitu pula terlihat bahwa koefisien Q, PTK, dan PSTP adalah positif yang menunjukkan hubungan positif antara total biaya dengan produksi, upah tenaga kerja dan besarnya sewa tanah.

Tabel III.1 Model Analisis Fungsi Biaya Coob-Douglas

untuk Usahatani Gandum di India

PTK PSTP R 2 sampel Lama

Varietas Jumlah

(0,1) (0,05) Sumber : Soekartawi (1994:23) Keterangan : ( ) adalah simpangan baku