Penurunan Persamaan Gelombang PENDAHULUAN

21 dan � − � �, � = �, � − � � �, − , � . 2.21 Solusi dapat diperoleh dengan menggunakan operator invers � − atau operator invers � − . Bagaimanapun juga, penggunaan operator invers � − hanya membutuhkan penggunaan kondisi awal, sedangkan operasi dengan � − menentukan kegunaan dari kondisi awal dan kondisi batas. Untuk alasan ini, diaplikasikan metode dekomposisi dalam arah �. Setelah mengaplikasikan � − untuk kedua ruas dan menggunakan kondisi awal kita mendapatkan: �, � = � + �� � + � − � �, � . 2.22 Metode Adomian mendekomposisi perubahan fungsi �, � : �, = ∑ � �, ∞ �= , 2.23 sehingga menjadi: ∑ � �, ∞ �= = � + �� � + � − � ∑ � �, ∞ �= , 2.24 atau dengan menggunakan komponen: + + + = � + �� � + � − � + + + . 2.25 Metode tersebut menunjukkan bahwa komponen nol �, � diidentifikasi dengan lambang yang tidak termasuk dalam � − pada 2.25. komponen yang lain ditentukan dengan menggunakan relasi rekursif dengan + + + = � + �� � + � − � + + + , 2.26 �, � = � + �� � , 2.27 22 �+ �, � = � − � + + + , � ≥ . 2.28 Komponen-komponen �, � , �, � , �, � , … dapat ditentukan secara terpisah dengan �, � = � + �� � , 2.29 �, � = � − � = � ′′ � + � � ′′ � , 2.30 �, � = � − � = � � + � � � , 2.31 �, � = � − � = � � + � � � , 2.32 sehingga diperoleh, �, � = ∑ � ∞ �= � � � � + � �+ � + � � � . 2.33 Persamaan 2.33 merupakan solusi dari persamaan 2.15.

D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers

Pada bagian ini akan dibahas penggunaan Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan diferensial parsial. Persamaan gelombang menggunakan persamaan diferensial parsial sehingga penting untuk memberikan salah satu ilustrasi bagaimana Metode Dekomposisi Adomian menyelesaikannya. Secara khusus, persamaan yang akan diselesaikan adalah persamaan Burgers. � + � − �� = , 2.34 23 di mana adalah kuantitas yang diteliti. Notasi � adalah variabel untuk waktu dan � adalah variabel ruang. Ruang dan waktu adalah variabel-variabel bebas. Didefinisikan operator turunan � = � �� dan �� = � �� . Persamaan Burgers dapat dituliskan menjadi: � + � = �� . 2.35 Didefinisikan operator invers � − = ∫ . � �, kemudian aplikasikan � − pada kedua ruas untuk persamaan sebelumnya untuk mendapatkan persamaan � − � = � − �� − � − � , 2.36 Atau − = � − �� − � − � . 2.37 Untuk � nonlinear dapat ditulis dalam polinomial Adomian � � , dimana � = ∑ � � ∞ �= { � }, kemudian substitusikan polinomial ke dalam persamaan. Dengan cara yang sama, substitusikan dekomposisi dari = ∑ � ∞ �= pada kedua ruas, dimana = , didapatkan ∑ � ∞ �= = + � − �� ∑ � ∞ �= − � − ∑ � � ∞ �= . 2.38 Sekarang, dapat dilihat hasil dari setiap komponen dekomposisi dari , yaitu, = � − �� − � − � , 2.39 = � − �� − � − � , 2.40 = � − �� − � − � , 2.41 �+ = � − �� � − � − � � , � ≥ . 2.42