Persamaan Gelombang Air Dangkal

29 gelombang akustik. Persamaan akustik linear diturunkan dari persamaan elastisitas non-linear. Berikut ini adalah persamaan gelombang elastisitas dimensi- 1 mengacu pada LeVeque 2002: { � � �, � − � �, � = , � �, � − � � �, � , � � = . 2.66 Disini � �, � adalah regangan strain, �, � adalah kecepatan, dengan massa jenis diasumsikan satu dan � �, � adalah tegangan stress dan variabel bebas � dan � secara berturut-turut merepresentasikan ruang dan waktu. Relasi linear tekanan-regangan adalah: � �, � = � � 2.67 di mana � adalah modulus dari bagian yang dimampatkan. Pada kasus linear sangat mungkin untuk menuliskan kembali persamaan dengan mengeliminasi � dan menggunakan = −� untuk mendapatkan: { � + � � = , � � � + � = . 2.68 Persamaan tersebut adalah persamaan akustik linear satu dimensi. Kemudian untuk menyederhanakan persamaan, dengan mengasumsikan � sama dengan satu, dan massa jenis � � sama dengan satu, maka didapatkan: { � + � = , � + � = . 2.69 Persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear dimensi-1 tersebut yang kemudian akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata dari persamaan gelombang elastik antara lain adalah gempa bumi, penggaris atau benda elastik lain yang PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30 diberikan tekanan. Solusi dari penelitian persamaan gelombang elastik ini untuk melihat gelombang regangan � dan kecepatan gelombang pada titik � tertentu dan nilai waktu � tertentu. Sedangkan, masalah nyata dari persamaan gelombang akustik antara lain adalah gelombang suara dari radar yang dipantulkan ke dalam laut untuk mengetahui topografi dasar laut ataupun untuk mengetahui lokasi ikan lumba-lumba yang juga memancarkan gelombang suara, dan masih banyak lagi aplikasi dari gelombang akustik ini. Solusi dari penelitian persamaan gelombang akustik ini untuk melihat gelombang tekanan dan kecepatan gelombang pada titik � tertentu dan nilai waktu � tertentu. 31 BAB III HASIL PENELITIAN Bab ini berisi tentang hasil-hasil penelitian yang telah dikerjakan, yaitu penyelesaian persamaan air dangkal, gelombang akustik, gelombang elastik, gelombang difusi, dan gelombang kinematik dengan metode dekomposisi Adomian.

A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal

Gelombang air dangkal merupakan gelombang dimana kedalaman air ataupun amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya. Referensi utama yang digunakan penulis pada bagian ini adalah Al-Khaled dan Allan 2004 dan Wazwaz 2009. Persamaan air dangkal biasa disebut sebagai sistem Saint-Venant. Persamaan ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum. Sistem dari persamaan air dangkal merupakan persamaan yang saling simultan yang berasal dari persamaan hukum kekekalan massa dan persamaan kekekalan momentum. Oleh karena itu, variabel yang paling berpengaruh dalam persamaan air dangkal adalah variabel ℎ �, � yaitu kedalaman air dan variabel �, � yaitu variabel kecepatan air, sedangkan, � merupakan arah aliran air dan � adalah variabel waktu. Persamaan air dangkal dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan banjir, bendungan bobol dan beberapa permasalahan lain terkait gelombang air dangkal. Beberapa manfaat dari aplikasi persamaan air dangkal antara lain dapat memprediksi perilaku fisis kecepatan air, kedalaman air, dan letak terjadinya banjir. 32 Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal. Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang � yang terlibat dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian. Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana Al-Khaled dan Allan 2004 memperluas pendekatan Adomian untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan 2004 kemudian diaplikasikan untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut: � �� ℎ + � �� ℎ + ℎ = −�′ , � ℝ, � . 3.1 Disini � � adalah topografi tanah, ℎ �, � menunjukkan ketinggian kedalaman air di atas topografi tanah, �, � adalah kecepatan air, dan untuk menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas � dan � secara berturut- turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Kondisi awalnya adalah: