7
BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab II ini akan dibahas tentang materi dasar yang digunakan untuk mendukung pembahasan pada bab-bab berikutnya, yaitu peubah acak, distribusi
normal, matriks, analisis multivariate, aturan bayes, turunan, moving average, investasi dan portofolio.
A. Peubah Acak
Definisi 2.1 Bain Engelhardt, 1992. Peubah acak random variable
adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel yang
menghubungkan setiap anggota pada ruang sampel dengan suatu bilangan
real. Peubah acak dapat dinyatakan sebagai berikut :
= 2.1
dengan adalah titik sampel ∈ dan adalah bilangan real yang
menyatakan nilai fungsi dari kejadian-kejadian pada titik sampel .
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya , dan
, sedangkan nilai yang mungkin dari setiap hasil observasi pada ruang sampel dinotasikan dengan huruf kecil misalnya
, dan . Contoh:
Dua bola bola diambil tanpa pengembalian dari sebuah guci yang berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Hasil yang mungkin dan nilai dari peubah acak
dimana adalah jumlah bola merah adalah sebagai berikut :
8
Ruang Sampel
RR 2
RB 1
BR 1
BB
Pada eksperimen pelantunan sebuah dadu, ditentukan pada keenam hasil bilangan
= . Maka,
= ,
= , … ,
= Papoulis, 1984
Definisi 2.2 Bain Engelhardt, 1992. Jika adalah peubah acak diskret
dengan fungsi densitas probabilitas maka nilai ekspektasi dari
didefinisikan sebagai berikut:
= ∑ 2.2
Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas
probabilitas , maka nilai ekspektasi dari didefinisikan sebagai berikut:
= ∫
∞ −∞
2.3
Definisi 2.3 Bain Engelhardt, 1992. Varians dari peubah acak
didefinisikan sebagai berikut:
= [ − ]
2.4 Notasi varians yang lain adalah
� , � atau . Standar deviasi dari
didefinisikan sebagai akar positif dari varians yaitu � = � = √
.
9
Teorema 2.1 Bain Engelhardt, 1992. Jika adalah peubah acak maka
= −
2.5 Bukti:
= [ − ]
= [ −
+ ] =
− + , karena =
maka =
− +
= −
Teorema 2.2 Bain Engelhardt, 1992. Jika adalah peubah acak dan
, adalah konstanta maka
+ =
2.6 Bukti:
+ = [ +
− + ]
= [ + −
− ], karena =
= [ −
] =
[ − ]
=
Definisi 2.5 Bain Engelhardt, 1992. Kovarians dari pasangan peubah
acak dan didefinisikan sebagai berikut:
10 ,
= [ − −
2.7 Kovarians juga dapat dinotasikan dengan
� .
Jika X dan Y peubah acak diskret maka
, = [ −
−
= ∑ ∑ −
− ,
2.8
Jika X dan Y peubah acak kontinu maka
, = [ −
− ]
= ∫ ∫ −
− ,
∞ −∞
∞ −∞
2.9
Jika X dan Y peubah acak, a, b konstanta maka berlaku sebagai berikut:
1. ,
= ,
2. + , +
= ,
3. ,
+ =
4. ,
= , jika dan independen
Definisi 2.5 Bain Engelhardt, 1992. Jika dan peubah acak dengan
varians � dan � dan kovarians � =
, , maka koefisien korelasi
dari X dan Y adalah sebagai berikut:
= �
� � 2.10
Peubah acak X dan Y dinyatakan tidak berkorelasi jika = .
11
B. Distribusi Normal
Kategori