Turunan Parsial Definisi 2.18 Turunan Vektor terhadap Vektor Turunan vector terhadap vector adalah matriks Turunan Skalar terhadap Vektor Turunan Vector terhadap Skalar Aturan Rantai

24

F. Turunan

1. Turunan Parsial Definisi 2.18

Varberg Purcell, 2001. Bila = , terdefinisi dalam dominan D dibidang , sedangkan turunan pertama terhadap dan di setiap titik , ada, maka: Turunan pertama di selain dianggap konstan adalah : � � = lim ∆ → + ∆ , − , ∆ Turunan pertama di selain dianggap konstan adalah : � � = lim ∆ → , + ∆ − , ∆ atau dapat dinotasikan dengan : � � = � , � = , � � = � , � = , Turunan dari fungsi vector Definisi 2.19 Felippa, 2001. Misalkan dan adalah vektor dengan order dan yaitu: = [ ], dan = [ ], 25 dimana setiap komponen adalah fungsi dari semua , atau dapat dikatakan adalah fungsi dari , atau = . Jika = , maka adalah skalar yang kemudian disebut . Jika = , maka adalah skalar yang kemudian disebut .

1. Turunan Vektor terhadap Vektor Turunan vector terhadap vector adalah matriks

. � � = [ � � � � � � � � � � � � � � � � ⋱ � � ] 2.24

2. Turunan Skalar terhadap Vektor

Jika adalah skalar maka, � � = [ � � � � � � ] 2.25

3. Turunan Vector terhadap Skalar

Jika adalah skalar maka, � � = [ � � � � � � ] 2.26 Contoh: Misalkan = [ ], = [ ] Dan = − 26 = + Turunan parsial matriks � � adalah sebagai berikut: � � = [ � � � � � � � � � � � � ] = [− ]

2. Aturan Rantai

Andaikan = dan = merupakan fungsi komposit = = . Jika terdiferensialkan di dan terdiferensialkan di = , maka terdiferensialkan di sehingga ′ = ′ ′ yakni = . Contoh: Jika = − + , carilah Misalkan = dan = − + Maka, = . = 9 − = − + 9 − Aturan Rantai untuk Fungsi Vector 27 Misalkan = [ ], = [ ], dan = [ ] Dimana adalah fungsi dari dan adalah fungsi dari . Sehingga � � � = [ � � � � � � � � � � � � � � � � ⋱ � � ] Setiap entri dari matriks diatas dapat diperluas sebagai berikut: � � = ∑ � � . � � { = , , … , = , , … = Kemudian � � � = [ ∑ � � . � � ∑ � � . � � ∑ � � . � � ∑ � � . � � ∑ � � . � � ∑ � � . � � ∑ � � . � � ∑ � � . � � ⋱ ∑ � � . � � ] = [ � � � � � � � � � � � � � � � � ⋱ � � ] [ � � � � � � � � � � � � � � � � ⋱ � � ] = � � � � � � = � � � � � 2.27 Sehingga diperoleh � � = � � � � yang mana ini adalah aturan rantai untuk vector. 28

G. Moving Average