26
Untuk fungsi ∫ fx dx dengan bentuk akar dapat diselesaikan dengan menerapkan
rumus-rumus berikut ini, a.
Bila fx = √a
2
– x
2
, maka misalkan x = a cos θ atau x = a sin θ
b. Bila fx = √a
2
+ x
2
, maka misalkan x = a tg θ atau x = a ctg θ
c. Bila fx = √x
2
– a
2
, maka misalkan x = a sec θ atau x = a cosec θ
2.4.2 Integral Tentu
Konsep integral tentu merupakan inti hitung integral yang sangat luas sekali pemakaiannya. Berbagai bidang ilmu pengetahuan menggunakan konsep ini.
Perhitungan luas suatu daerah, isi benda putar, penentuan titik berat suatu benda, menghitung momen inersia atau pengukuran luas permukaan bola speric
menggunakan konsep integral tentu. Suatu fungsi f dikatakan dapat diintegralkan dalam suatu selang tutup [a,b]
jika integral tentu f dari a ke b ada terdefinisi. Ungkapan dapat diintegralkan sering juga diartikan sama dengan memiliki integral atau terintegralkan atau integrabel.
Berikut ini akan diberikan beberapa dalil dasar yang merupakan sifat dari integral tentu,
1. Jika f dan g adalah fungsi yang memiliki integral integrabel dalam selang
tutup [a,b] maka, b
b b
∫ [fx + gx] dx = ∫ fx dx + ∫ gx dx a
a a
27
2. Jika f fungsi yang integrabel pada selang tutup [a,b] dan k sebuah konstanta
maka, b
b ∫ k fx dx = k ∫ fx dx
a a
3. Jika f integrabel dalam selang tutup [a,b] dan fx ≥ 0 untuk a ≤ x ≤ b, maka,
b ∫ fx dx ≥ 0
a 4.
Jika f dan g adalah dua fungsi yang memiliki integral integrabel pada selang tutup [a,b] dan 0
≤ fx ≤ gx untuk a ≤ x ≤ b, maka, b
b ∫ fx dx ≤ ∫ gx dx
a a
Jika suatu fungsi tidak negatif dalam suatu selang tutup, maka integral tentu fungsi itu untuk selang yang sama adalah tak negatif juga. Sifat perbandingan
ini menunjukkan bahwa jika untuk suatu selang tutup, fungsi f lebih kecil atau sama dengan g dengan f dan g keduanya fungsi tak negatif, maka pada
selang tutup yang sama, integral tentu f akan lebih kecil atau sama dengan integral tentu g. Secara geometri dapat dilihat pada gambar 2.4, sebagai
interpretasi dari poin 4,
28
Gambar 2.4 Interpretasi Poin 4 5.
Jika f kontinu dalam selang tutup [a,b] [b,c] dan [a,c] maka, b
c c
∫ fx dx + ∫ fx dx = ∫ fx dx a b
a 6.
Jika f fungsi kontinu dalam sebuah selang tutup yang mengandung tiga bilangan a, b dan c maka,
b c
b ∫ fx dx = ∫ fx dx + ∫ fx dx
a a
c
29
Secara geometris, maka didapat grafik pada gambar 2.5.
Gambar 2.5 Interpretasi Poin 6 c
∫ fx dx = L
I
a b
∫ fx dx = L
II
c b
L= L
I
+ L
II
= ∫ fx dx
a 7.
Jika k suatu konstanta maka berlaku, b
∫ k dx = k b – a a
8. Misalkan f fungsi kontinu dalam selang tutup [a,b]. Jika m adalah nilai
minimum mutlak dari f di dalam [a,b] dan M nilai maksimum mutlak di dalam selang tutup [a,b] sehingga,
30
m ≤ fx ≤ M untuk a ≤ x ≤ b
maka, b
m b – a
≤ ∫ fx dx ≤ M b – a a
9. Jika f adalah fungsi kontinu dalam selang tertutup [a,b] dan jika fa ≠ fb
maka untuk tiap bilangan k antara fa dan fb ada sebuah bilangan c antara a dan b sehingga berlaku,
f c = k
10. Jika f fungsi kontinu dalam selang tutup [a,b] maka ada bilangan μ antara a
dan b sehingga, b
∫ fx dx = fμ b – a a
atau dapat juga dinyatakan sebagai, b
∫ fx dx a
f μ =
b – a
2.5 Integrasi Numerik
