Sedangkan Eigenvectors merupakan nilai ciri dari citra wajah yang bertipe vector memiliki arah dan nilai Eigenvectors didapatkan dari
perhitungan algoritma menggunakan nilai Eigenvalues, sehingga Eigenvectors merupakan nilai yang berhubungan dengan nilai Eigenvalues.
Nilai Eigenvalues dan Eigenvectors merupakan nilai karakteristik citra yang dapat membedakan satu citra dengan citra yang lain. Vektor-vektor
yang merepresentasikan data gambar wajah pada face space merupakan Eigenvalues dan merupakan kumpulan dari Eigenvectors.
Eigenface merupakan suatu metode yang sangat populer atau sering digunakan dalam penelitian-penelitian bidang pengenalan wajah.
Eigenface merupakan suatu metode yang dapat diandalkan dalam penelitian-penelitian bidang pengenalan wajah, karena dapat menghasilkan
akurasi yang tinggi, kecepatan pemrosesan, algoritma yang sederhana, dan lain-lain.
2.2.1. Proses Perhitungan Eigenface
Apabila diketahui simbol variabel dalam Tabel 2.1, maka algoritma untuk menghitung Eigenface adalah sebagai berikut :
Tabel 2.1. Keterangan simbol-simbol variabel dalam algoritma Simbol variabel
Arti M
Set kumpulan gambar N
Ukuran dimensi citra square Indeks nilai
Γ Representasi tiap citra
Average rata-rata Φ
Nilai tiap citra setelah dikurangi dengan nilai Average
A Matriks hasil penggabungan nilai-nilai
dari Φ
C Matriks Kovarian
Eigenvectors �
Eigenvalues I
Matriks Identitas Matriks Eigenvectors sebanyak M
ω Nilai bobot ciri tiap citra
Matriks hasil penggabungan dari nilai bobot tiap citra
ω �
Threshold
1. Mentraining satu set kumpulan gambar M yang direpresentasikan dengan matriks berukuran N x N. Tiap gambar direpresentasikan
dalam Γ , Γ … Γ
�
. Lalu ubah semua matriks Γ berukuran dua
dimensi menjadi satu dimensi N
2
x 1. Kemudian gabungkan hasilnya dalam satu matriks
Γ. Γ = [Γ , Γ … Γ
�
] 2.1
2. Menghitung Average atau nilai rata-rata dari matriks Γ.
=
�
Σ
= �
Γ 2.2
3. Melakukan pengurangan nilai matriks tiap gambar training pada matriks
Γ tipe data matriks Γ telah diubah ke double dengan nilai matriks rata-rata.
Φ = Γ − 2.3
A = [Γ − , Γ − … Γ
�
− ] 2.4
4. Menghitung nilai Covariance Matrix. = ��
�
� = [Φ , Φ … Φ
�
] 2.5
Karena hasil dari perhitungan = ��
�
menghasilkan dimensi yang besar, maka algoritma diubah menjadi
= �
�
� 2.6
5. Menghitung nilai Eigenvalues dan Eigenvectors dari Covariance Matrix.
�
�
� = � 2.7
� − �� = 2.8
� � ∗ �
�
� = � ∗ � 2.9
� ∗ �
�
� = � �
2.10 6. Mengurutkan nilai Eigenvalues dari yang terbesar ke terkecil lalu
disertai nilai masing-masing Eigenvectors. 7. Menghitung nilai Eigenvectors sebanyak M jumlah gambar
training. = �
2.11 = �
2.12 8. Memproyeksikan
Γ ke dalam Eigenspace. ω =
�
Γ − 2.13
=
�
�
�
2.14 = [ ⋮
�
] 2.15
9. Menghitung nilai Threshold �.
� = ∗
√‖ − ‖ , = , … 2.16
= nilai indeks threshold yang dimasukkan oleh user PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.2.2. Contoh Perhitungan Eigenface
1. Representasi gambar wajah training dengan matriks berukuran N x N dua dimensi diubah menjadi matriks berukuran N
2
x 1 satu dimensi. Misalnya terdapat 3 buah gambar wajah training berukuran
2x2 :
� Γ = [
] → [ ]
� Γ = [
] → [ ]
� Γ = [
] → [ ]
Lalu hasil tersebut dimasukkan dalam satu matriks Γ, dengan tiap
kolom pada matriks merupakan representasi dari 1 gambar wajah : Γ = [Γ , Γ … Γ
�
] 2.1
Γ = [ ]
2. Menghitung Average atau nilai rata-rata dari matriks Γ
=
�
Σ
= �
Γ 2.2
Γ = [ ]
= + +
= = .
= + +
= =
= + +
= = .
= + +
= =
Lalu hasil rata-rata tiap baris matriks Γ dimasukkan dalam satu
matriks : = [
. .
]
3. Melakukan pengurangan antara nilai matriks tiap gambar dengan nilai matriks
Γ Φ = Γ −
2.3 A = [Γ − , Γ − … Γ
�
− ] 2.4
Φ = [ ] − [ .
. ] = [
− . − .
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Φ = [ ] − [ .
. ] = [
− . − .
]
Φ = [ ] − [ .
. ] = [
. −
. −
]
Lalu hasil pengurangan tersebut digabungkan dalam satu matriks yaitu
A :
A = [ − .
− . − .
− . .
− .
− ]
4. Menghitung Covariance Matrix dari matriks A = �
�
� 2.6
= [ − .
− . − .
− . .
− .
− ] [
− . − .
− . − .
. −
. −
]
= [ .
. − .
. .
− . − .
− . .
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Kemudian mencari Eigenvalues dan Eigenvectors dari matriks C. Agar mempermudah perhitungan maka nilai matriks C dirubah
�
�
� = � 2.7
� − �� = 2.8
= [ −
− ]
[ −
− ] − [
� �
� ]
[ − �
− − �
− − �
] =
− � | − � −
− �| − |
− �| + − | − �
− | = − �[ − � − ] − [ − ] + − [ −
− � ] = − �[ − � ] −
+ − [− + �] = − �[ − � ] + [ − �] =
− �[ − � ] + [ − �] = − �[ − �
− � ] + =
− �[ − � − � + � + ] = − �[ � − � + ] =
− �[ � − � − ] =
− � � − � −
= � = � = � =
Dari matriks kovarian C, mendapatkan 3 nilai Eigenvalues � yaitu
4, 3, dan 2. Nilai Eigenvalues tersebut digunakan untuk mencari nilai Eigenvectors yang berhubungan dengan tiap nilai Eigenvalues
tersebut. ➢ Untuk
� = [
− � −
− � −
− � ] [ ] =
[ −
− −
− −
] [ ] =
[ −
− −
] [ ] =
Jika dikalikan maka akan menghasilkan persamaan : −
+ + −
= − =
Karena = maka
− +
+ − =
− + −
= −
= Jadi
= − =
Sehingga Eigenvectors yang didapat dari nilai Eigenvalues � = adalah
= [ −
]
= [ −
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
➢ Untuk � =
[ − �
− − �
− − �
] [ ] =
[ −
− −
− −
] [ ] =
[ −
− −
] [ ] =
Jika dikalikan maka akan menghasilkan persamaan : −
+ −
= =
− +
= Karena
= maka −
− = → −
= →
= − +
= → = −
Jadi = − =
Sehingga Eigenvectors yang didapat dari nilai Eigenvalues � = adalah
= [ −
]
= [ −
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
➢ Untuk � =
[ − �
− − �
− − �
] [ ] =
[ −
− −
− −
] [ ] =
[ −
− −
] [ ] =
Jika dikalikan maka akan menghasilkan persamaan : − +
− =
= −
+ =
Karena = maka
− − = → −
= →
= − +
= → = − →
= −
Jadi = −
=
Sehingga Eigenvectors yang didapat dari nilai Eigenvalues � = adalah
= [ −
]
= [ −
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Kemudian mengurutkan nilai Eigenvalues dari yang terbesar ke terkecil lalu disertai nilai masing-masing Eigenvectors.
Tabel 2.2. Hasil pengurutan nilai Eigenvalues dan Eigenvectors No
Eigenvalues �
Eigenvectors 1.
� = = [
− ]
2. � =
= [ −
]
3. � =
= [ −
]
Kemudian nilai tiap Eigenvectors dimasukkan berdasarkan urutan dalam satu matriks yaitu x. Tiap kolomnya merupakan representasi
nilai Eigenvectors yang berhubungan dari 1 nilai Eigenvalues.
= [ −
− −
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Menghitung nilai Eigenvectors sebanyak M jumlah gambar dari matriks A
= � 2.11
= [ − .
− . − .
− . .
− .
− ] . [
− ] = [
− . .
− . .
]
= [ − .
− . − .
− . .
− .
− ] . [
− ] = [
. − .
. − .
]
= [ − .
− . − .
− . .
− .
− ] . [
− ] = [
− . .
− . .
]
= [ − .
. − .
. − .
. − .
. − .
. − .
. ]
Atau = �
2.12
= [ − .
− . − .
− . .
− .
− ] . [
− −
− ]
= [ − .
. − .
. − .
. − .
. − .
. − .
. ]
8. Memproyeksikan � ke dalam Eigenspace
� =
�
Γ − 2.13
= [ ω
ω ⋮
ω
�
] 2.14
� = [− . .
− . .
] [ − .
− . ] =
.
[− . .
− . .
] [ − .
− . ] =
.
[− . .
− . .
] [ .
− .
− ] = − .
� = [ . − .
. − .
] [ − .
− . ] = − .
[ . − .
. − .
] [ − .
− . ] = − .
[ . − .
. − .
] [ .
− .
− ] =
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� = [− . .
− . .
] [ − .
− . ] = .
[− . .
− . .
] [ − .
− . ] = .
[− . .
− . .
] [ .
− .
− ] = − .
= [ .
− . .
. − .
. − .
. − .
]
Atau =
�
�
�
2.15
= [
− . .
− . .
. − .
. − .
− . .
− . .
]
. [ − .
− . − .
− . .
− .
− ]
�
= [ .
. − .
− . − .
. .
. − .
]
�
Kemudian nilai matriks W di-transpose agar sesuai dengan perhitungan algoritma atau tiap barisnya merepresentasikan bobot 1
wajah. = [
. − .
. .
− . .
− . .
− . ]
Nilai inilah yang akan digunakan untuk mengklasifikasikan data
testing dengan data training. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9. Menghitung nilai threshold �
Threshold merupakan batas atau jarak minimum yang harus dilewati oleh data testing, untuk membuktikan bahwa data testing merupakan
data yang dikenali atau berada dalam database. Nilai threshold dihitung melalui perhitungan jarak tiap data training satu per satu
menggunakan Euclidean Distance, kemudian nilai threshold diambil dari jarak yang paling besar atau maksimum dan telah
dikalikan dengan nilai indeks yang di-inputkan user. Jika gambar wajah testing mempunyai nilai yang lebih besar dari batas atau jarak
minimum yang sudah ditentukan, maka gambar wajah testing tersebut tidak dikenali atau tidak berada dalam database.
= [ .
− . .
. − .
. − .
. − .
]
,
= √ .
− . + − .
+ . + .
− . = .
,
= √ .
+ . + − .
− . + .
+ .
= .
,
= √ .
+ . + − .
− .
+ . +
. =
.
contoh jika nilai indeks threshold adalah 0.2
� = . √‖ − ‖ , = , …
2.16 � = .
. � =
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.3. Euclidean Distance
