bab ii teknik intergrasi

BAB II

TEKNIK INTEGRAL

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik-teknik pengingtegralan dipahami oleh pembaca maka dalam bab ini dirincikan metode pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan.

A. METODE SUBSTITUSI

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; a.

_

_xn

dx = 1 1

  n

xn

+ C, asalkan n



-1 atau

b.



f₍x₎



nf_'(x₎dx



=





1 )

( 1





n x

f n

+ C, asalkan n



-1

Sehingga rumus di atas adalah pedoman umumnya, jika integrannya belum sesuai dengan tanda integralnya atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. . Dengan demikian menyederhanakan integran menjadi bentuk baku adalah dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi (pemisalan).

Perhatikan beberapa contoh beriktu: 1.

_

1 x _dx

Misal u = 1 x

x u    2 1

) 1 ( ) ( 2

x d u

d  

dx udu  2

Substitusi bentuk terakhir ke

_

1 x _{dx, diperoleh}



u( 2u)du_{= -2}

_

u2du

Dengan rumus dasar di dapat



1 x _{dx = -2}

_

u2du = -2 u _C

    

3

3

= - 3₁ xC

3 2

2.

_

₍₃x₁₂₎11dx Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx dx =

3

dA

Sehingga

_

₍₃x₁₂₎11dx

=

_

3 11 dA A

=

_

A11dA

3 1

= A )C

12 ( 3

1 12

= A12C

36 1

= x C

36 ) 12 3

( 12

3. Cos22x

Misal A = 2x d(A) = d(2x) dA = 2 dx dA =

2

dx

x Cos22



dx =

2 cos2 _AdA



=

_

_cos2 AdA

2 1

=

_

 AdA

2 2 cos 1 2 1

=

_

dA

_

cos2AdA

4 1 4

1

= A AC

8 2 sin 4

= x  xC

8 4 sin 4 2

= x xC

8 4 sin

2

Soal-soal

Tentukan pengintegralan berikut: 1.

_

4 3t

2.

_

 2 2

16 x

dx x

3.

_

 9 2 x x

dx

4.

_

x₍₃x₂₎3/2dx 5.

_

 dx x

x

16 2

6.

_

x dx

3 sin

7.

_

cos(2x 4)dx 8.

_

xsin(x2 1)dx 9.

_

x2cos(x3 1)dx 10.

_

_x(x2 _3)12/7_dx

B. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Beberapa rumus dasar Integral fungsi Trigonometri adalah: 1.

_

sinx _{dx = -cos x + C}

2.

_

cosx _{dx = sin x + C}

3.

_

tgn_{x dx = ln} secx C

4.

_

ctgn _{x dx = - ln} cscx C

5.

_

secx _{dx = ln} secxtanx C

Bentuk di atas adalah rumus dasar yang dapat dijadikan sebagai acuan. Bebarapa bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas dalam bagian ini adalah:

a.

_

sinmxdx,

dan

_

_cosmxdx

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m dibuat menjadi genap. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas sin2_xcos2_x1_.

Contoh: 1.

_

_sin3xdx Jawab

_

_sin3xdx

= sin2xsinx



dx

=

_

(1 cos2_x)_d( cos_x)

=

_

1_d( cos_x)

_

cos2_d(cos_x)

= -cos x + _cos3xC

3 1

2.

_

_cos5xdx Jawab

_

_cos5 xdx

= cos4xcosxdx



=

_

(1 sin2_x)2_d(sin_x)

= (1_2sin2_xsin4_x)_d(sin_x)



=

_

1_d(sin_x) 2

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4_xd(sin_x)

= sin x - 3x sin5xC

5 1 sin 3 2

3.

_

sin5(2x)dx Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2

du

Sehingga

_



_

2 sin )

2 (

sin5 _{x dx} 5_udu

=

_

_sin5udu

2 1

=

_

sin usinudu

2

1 4

=

_

(1 cos ) ( cos ) 2

1 2_u 2_{d u}

=

_

(1 2cos cos ) ( cos ) 2

1 2_u 4_{u d u}

=  u 3u _sin5uC

10 1 sin 3 1 cos 2 1

=  x x sin 2xC

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2

1 3 5

Pada bentuk

_

_cosmxdx

,

_

_sinmdx

, jika m bilangan bulat positip genap untuk menyele-saikannya menggunakan kesamaan setengah sudut

sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x Contoh:

1.

_

_sin2xdx

Karena pangkatnya genap, gunakan kesamaan setengah sudut, maka

_

_sin2xdx

=

_

 xdx

2 2 cos 1

=

_

dx

_

cos2xdx

2 1 2

1

= x  x C

4 2 cos 2 2.

_

_cos4 xdx Jawab

_

_cos4xdx

=

_



  



  x 2_dx

2 2 cos 1

=

_

 x  cos 2x)dx

4 1 2

2 cos 4 1

( 2

3.

_

sin42xdx

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2

du

, sehingga

_

sin42xdx

=

_

2 sin4udu

=

_

   



  u 2_du

2 2 cos 1 2 1

=

_

(1 2cos2ucos 2u)du

4 1 2

1 2

= u  u u u  u)C

2 1 2

2 cos 2 sin ( 2 1 . 8 1 2 sin 8 1 8

Karena u = 2x, maka



sin42xdx

= x  x  x x  (2x)C

32 1 ) 2 ( 2 cos ) 2 ( 2 sin 32

1 ) 2 ( 2 sin 8 1 8 2

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas sin2_xcos2 _1_{. Jika m} dan n genap maka digunakan kesamaan setengah sudut

sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x Contoh

1.

_

_sin3x_cos2xdx

Karena m ganjil, maka

_

_sin2x_sinx_cos2dx

=

_

(1 cos2x)cos2xsinxdx = (cos2_x cos4_x)_d(_ cos_x)



=  3x cos5xC

5 1 cos 3 1

2.

_

2x 2xdx

sin cos

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

_

_cos2x_sin2xdx

=

_



  

      



  x x _dx

2 2 cos 1 2

2 cos 1

=

_

(1 cos 2x)dx

4

1 2

=

_

   



 

 x dx

2 4 cos 1 1 4 1

=

_

 x)dx

2 4 cos 2 1 ( 4 1

= x  sin4x)C

8 1 2 ( 4 1

= c.

_

tann xdx,

dan n xdx



cot

Dalam kasus ini gunakan kesamaan identitas 1 + tgn2x_sec2x _{dan 1+ctgn}

x c

x 2

2 _{cos , jika} m genap. Jika m ganjil jadikan genap dan gunakan kesamaan di atas.

Perhatikan contoh berikut: 1.

_

tgn3xdx

Karena pangkat m ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas

1 +tgn2x_sec2x

Sehingga diperoleh

_

tgn3xdx

=

_

tg2x

tgnx dx =

_

(sec2 _x 1)

tgn x dx =

_

_sec2x

tgn x dx -

_

tgn x dx =

_

tgnx sec2x_{dx – ln (secx) + C} =

_

tgnx _{d(tgn x) – ln (sec x) + C} = tgn x ln(secx)C

2

1 2

2.

_

ctgn4xdx

Karena pangkat m adalah genap, maka langsung gunakan kesaman identintas 1+ctgn2x_cosec2x_{, sehingga didapat}

_

ctgn4xdx

=

_

₍ctg2x ₁₎2dx

= (ctgn4x 2ctgn2x 1)dx

=

_

(ctgn2x)ctgn2x 2ctgn2x1)dx

=

_

(cosec2x1)ctgn2x 2(csec2x 1)1dx = _ 2 (_ )_ 3(cos 2_ 1)_1



ctgn xd ctgnx ec _dx

= ctgn x 3ctgnx4xC

3

1 3 _.

4.

_

_tanm x_secnxdx

, dan

_

_cotm x_cscnxdx

Pada kasus ini, jika m atau n genap, sedangkan lainnya sebarang, maka digunakan kesamaan 1 + tgn2x_sec2x _{atau 1 + ctg}2_{x= cosec}2_x.

Contoh

1.

_

tgn5x_sec4xdx

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka dapat digunakan kesamaan 1 + tgn2x_sec2x_{, sehingga diperoleh}

_

tgn5x_sec4 xdx

=

_

tgn5x_sec2x_sec2xdx =

_

tgn5x₍₁tgn2x_)sec2xdx =

_

(_tgn5_x_tgn7_x)

d(tgnx) = tgn6x tgn8xC

8 1 6

1

2.

_

tgn3x_sec2xdx

=

_

tgn3x

d(tgnx)

Selain kasus di atas, integral fungsi trigonometri

_

_tanmx_secnxdx

, dan

_

_cotmx_cscnxdx Mempunyai bentuk m ganjil, n sebarang. Jadi pangkat menjadi genap. Selanjutnya gunakan rumus kesamaan identitas.

Contoh:

1.

_

tgn3x_sec3xdx

=

_

tgn2xtgnxsec2xsecxdx =



_tgn2_xsec2_d(sec_x)

= (sec2_x 1)sec2_xd(sec_x)





= (sec4_x sec2_x)_d(sec_x)

 

= 5x sec3xC

3 1 sec 5 1

2.

_

_tgn3_xsec1/2_xdx

=

_

tgn2x

tgn x sec3/2x _{sec x dx} =

_

_(sec2 x

-1)sec3/2x_{d(sec x)} =

_

_(sec1/2x

sec3/2_x)_d(secx)

= _sec3/2x _2sec 1/2x

3

2 _ 

+ C

5.

_

sinmxcosnxdx_,

_

sinmxsinnxdx,

_

cosmxcosnxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = [sin( ) sin( ) ] 2

1

x n m x

n

m  

sin mx sin nx = [cos( ) cos( ) ] 2

1

x n m x

n

m  



cos mx cos nx = [cos( ) cos( ) ] 2

1

x n m x

n

Contoh

1.

_

sin_{3x cos 4x dx =}

_

[sin(34) sin(3 4) ] 2

1

x

x _dx

=

_

sin7x

2 1

+ sin (-x) dx = cos7x

14 1

 _- cos

2 1

x + C

2.

_

sin3xsin2x_{dx =}

_

 [cos(32)  cos(3 2) ] 2

1

x

x dx

= 

_

2 1

(cos 5x – cos x) dx = sin

10 1

 _{5x +} sin

2 1

x + C 3.

_

cos _{y cos 4y dy =}

_

[cos(14)y

2 1

+cos(1-4)y] dy =

_

[cos5 cos(3 )]

2 1

y

x _dy

= y sin3yC

6 1 5 sin 10

1

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini. 1.

_

sin3(4x)dx

2.

_

x)dx

3 ( cos4

4.

_

_cotx_csc4 xdx 5.

_

tgn6xdx

6. 2 x 3xdx

1

cos 3 sin



7.

_

cot2xsec22xdx 8.

_

(sin32t) cos2tdt 9.

_

_(tanx_cotx₎2dx 10.

_

sin3xsinxdx 11.

_

csc4 4ydy 12.

_

_tan4_qsec2_qdq

13.

_

cos2xsin3xdx

14.

_



    

dx x

3 cot4

15. 2z 3zdz 1

cos sin



C. SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral suatu fungsi, jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. _a2 _x2

 , a



Real

b. _x2_a2 = _a2_x2 , a



Real

atau bentuk lain yang dapat dimodifikasi menjadi bentuk di atas, misalnya _a2 _{ b}2_x,

c bx

ax2   dan seterusnya.

Bentuk integral yang integrannya memuat _a2_{ x}2 atau modifikasinya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sin t, -2



2





t sehingga,

2 2 _x

a  = a sec t dan dx = a cos t dt. Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1.

_

_{4 x}2

 dx Jawab

Misal x = 2 sin t  sin t = 2

x dx = 2 cos t dt

_{4 x}2 = _{4 4sin}2_{t 2cost}

Sehingga

_

_{4 x}2 dx =

_

2cost.2costdt

= 4

_

costcostdt = 4

_

_cos2tdt = 4 (

2 cos sint t

- tC

2 1

) = 2 sint cost – 2t + C = 2( )

2

x

2 4_{ x}2

= x  x C

2

4 2

2.



 2 4x x

dx

Jawab



 2 4x x

dx

=



  ( 2)2

4 x

dx

Misal (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt 4_ (x_ 2)2 _2cost_{, sehingga}



  ( 2)2

4 x

dx

=

_

t tdt

cos 2

cos 2

=

_

dt = t + C

= arc sin x C

2 2

3.



 6 2

16 x x

dx

Jawab



 6 2

16 x x

dx

=



  ( 3)2

25 x

dx

Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt _{25 ( 3)}2



 x = 5 cos t, sehingga



 6 2

16 x x

dx

=

_

t tdt

cos 5

cos 5

=

_

dt = t + C

= ln x C

5 3

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca 1.



 2₎32

1

( x

dx

2.

_

 dx

x x2 25

3.

_

2 2

9 x

x dx

 4.

_

_x2 _{3 x}2 dx

5.

_

2 3 2₎ 4

( x x dx



Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk _a2_x2 atau modifikasinya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a tgn t, -2



2





t _sehingga,

2 2 _x

a  = a sec t dan dx = a sec2t . Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini. 1.



 2

9 x

dx

Misal x = 3 tgn t , dx = 3 sec2t _dt

9x2  3 sec t, sehingga



 2

9 x

dx

=

_

t dt

sec 3 sec

3 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

= ln ₉x2 x C 2.

_

 

 5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

Jawab



 

 5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

=



  



4 5 4 5

2

2

2 _{x x}

dx x

x xdx

=





  



2) 1 ( 2) 1 (

2

2

2 _x

dx x

xdx

Misal (x+2) = tgn t , dx = sec2 _{t dan x = tgn t - 2} (_x2)2_1 _{= sec t, sehingga}





  



2) 1 ( 2) 1 (

2

2

2 _x

dx x

xdx

=

_

 

_

t tdt t

tdt t

sec sec sec

sec ). 2 (tan

2 2 2

= 2

_

tantsectdt 4

_

sectdt = 2 sec t – 4 ln secttant C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan 1.

_

_{(9 x}2₎2

dx

 dx

2.

_

_3x2dx 3.

_

x x2 _1

dx

4.

_

13 4 2

  x x

dx

5.

_

5 2 3 2

  x x

xdx

6. dt

t t



4 2

Bentuk bentuk integral yang integrannya memuat bentuk _x2_{ a}2 atau modifikasinya,

selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t, -2



2





t sehingga,

2 2 _a

x  = a tan t dan dx = a sec t tan t dt. Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

_

dx

x x2 _ 9

Jawab

Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt 2 9



_

dx x x2 9

 ₌



t tdt

t t

tan sec 3 sec 3

tan 3

= 3

_

_tan2tdt = 3

_

(sec2t 1)dt = 3 tan t – 3 t + C

= 3 x   arc xC

3 sec 3

9 2

2.



_x2 _{ 2x 8} dx

Jawab



  2 8 2

x x

dx

=



  1) 9

(_x 2

dx

Misal (x-1) = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt ( 1)2 9

 

x = 3 tgn t, sehingga



  1) 9

(_x 2

dx

=

_

t tdt

tan 3

tan sec 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

= ln x  x  x C

3 8 2 3

1 2

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan pembaca 1.

_

_x2 _1 dx

2.

_

25 2

2

 x

dx x

3.

_

dt t t

3 2 _{ 4}

4.

_

_{16 16x x}2 dx

  5.



 6 2 x x

dx

6.



 1 2 2

t t

dt

D. INTEGRAL PARSIAL

Integral parsial biasanya diterapkan untuk suatu integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh



d(uv)



udv



vdu



_

udv

_

d(uv)

_

vdu



_

udvuv

_

vdul

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan

_

udv tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini 1.

_

xcosxdx

Jawab pada bentuk

_

xcosxdx _{diuba menjadi}

_

_{udv, sehingga} Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v =

_

cosx_{dx = sin x}

Akibatnya

_

xcosxdx ₌

_

_{x d(sin x). Dengan rumus integral parsial}

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x d(sin x) = x sin x -

_

sinx _d(x) = x sin x -

_

sinx _dx = x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh



xcosxdx _{= x sin x + cos x + C}

2.

_

x 1x _dx Pilih u = x , du = dx

dv = 1x, v =

_

1x _{dx =} 3 ₁ 3 2

x  Sehingga

_

x 1x _{dx =}

_

1 )

3 2

( 3 _x

xd

Berdasarkan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x 1x _{dx =}

_

1 )

3 2

( 3 _x

xd

= 3 _{1 1} 3

2  x

-

_

1 ( ) 3

23 _{xd x}

= 3 _{1 1} 3

2  x

-

_

3₁xdx

3 2

= 3 _{1 1} 3

2  x

- 1x)C

5 2 ( 3

2 ₅

= 3 _{1 1} 3

2  x

- ( 1x)C

15 4 5 3.

_

sinx _ex _dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx dv = exdx_{, v =}



exdx

= _ex_{, sehingga:}

_

sinx _ex _{dx =}

_

_{sin x d(e}x₎

= exsinx

_

exd(sinx)

= ex_sinx

_

ex_cosxdx Diperoleh bentuk

_

ex_cosxdx

yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = exdx_{, v =}



exdx

= _ex_{, sehingga:}

_

cosx _ex_{dx =}

_

_{cos x d(e}x₎

= excosx



exd(cosx)

= ex_cosx

_

ex₍ _sinx₎dx = excosx

_

exsinx)dx,

Akhirnya diperoleh



sinx _ex_{dx = e}x_sinx

_

_ex_cosxdx

= ex_sinx _ex_cosx

_

_ex_sinx)dx,



sinx _ex_{dx =}

2 1

 x ex_sin

2 1

C x ex_{cos } Catatan

Contoh 3 di atas disebut integral berulang, karena terjadi dua kali pengintegralan parsial. Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1.

_

x_sec2xdx 2.

_

_sin3 xdx 3.

_

x_{tgn x dx} 4.

_

arc _{tgn x dx} 5.

_

x _{ln x dx} 6.

_

_x3 _2x_7dx

7.

_

arc _{cos 2x dx} 8.

_

_x2

e2x_dx 9.

_

 x xdx

2

10.

_

sinxsin3x_dx 11.

_

(x 2)cos(x 2)_dx

12. xex dx



2

13.

_

(2x 1)e 13x_dx 14.

_

_sec3x

dx 15.

_

_x3 ₂

4 x dx 16.

_

ln3x _dx 17.

_

x2sinx

dx 18.

_

x2 1 x

dx

E.INTEGRAL FUNGSI RASIONAL.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = _gf₍(_xx₎), dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak dan g(x)



0.

f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3+ … + anxn , n = 1, 2, 3, … Contoh

1. f(x) =

2 3 1 2

 



x x

x

2. f(x) =

4 4

4 2

2

 



x x

x

3. f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

x x x x x 5 1 2 3 3 5    

= x2_3 ₊

x x x 5 1 14 3  

F(x) = _gf₍(_xx₎) , g(x)



0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah: 1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = _gf₍(_xx₎) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara: - fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a) - fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2_{+bx + c)} - fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2 )(

c bx

 px2 _{+ qx + c)} - fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2 )

c bx

 n

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :  ) ( ) ( x g x f _... ) ( )

( _{2 2}

2 1 1 1 _  

 ax b A b

ax A

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 _       b ax A b ax A b ax A x g x f

(kombinasi lenear berulang)

... ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 _         c x b x a B x A c x b x a B x A x g x f

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan.

Contoh

1. Tentukan

_

 dx

x 1

2 2

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

_

 1 2 2

x dx =



(x 1)(x1)dx 2

=

_

 

 x dx

B x

A

) 1 ( ) 1 (

= dx x

x

x B x

A



(₍_1₁)₎₍ _(₁₎1)

=

_

 _  _  dx x

x

B A x B A

) 1 )( 1 (

) ( ) (

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:



_x22_{ 1}dx =



_  

 x dx

x ( 1) 1 1

1

=

_

 dx x 1

1

-

_

 dx x 1

1 = ln x 1 lnx1C

= ln C x

x

  

1 1

2.

_

 

, 1 1

dx x

x

integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

_

_

   



dx x dx

x x

1 2 1 1

1

=

_

_



 dx

x dx

1 2 = x + ln (x-1)2 _{+ C} Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan beririkut:

1. dx

x x x

x



₍ 3_ 21_{ 6 )}

2.

_

 9 2

x dx

3.

_

 7 6

2 _x

x dx

4.

_

 

 

dx x x

x x

8 2

4 3 2 2

5.

_

  3 4

2 _x

x xdx

6.

_

 

 

dx x x x

x x

2 1 3

2 3

2

Contoh (Penyebut integan dalam faktor linear berulang) 1.

_

 

 _dx

x x

x 4 4

1

2 , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:



_  _ dx

x x

x 4 4

1

2 =



_{ }



dx x

x x

) 2 )( 2 (

1

=

_

_ dx x

x 2 ) 2 (

1

= dx x

B x

A



 _  2) ( 2)2 (

= dx x

B x

A



₍ _{ 2)}2 ) 2 (

=

_

  

2 ) 2 (

) 2 ( x

A B Ax

dx Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga



_  _ dx

x x

x 4 4

1

2 =



_{(  2)}_{(x 2)}2 B x

A

=

_

_

 

 x dx

x dx 2 ) 1 ( 3 ) 2 (

= ln C x x     ) 2 ( 3 2

2.

_

   dx x x x 4 4 1 2 2

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:



_  _ dx

x x x 4 4 1 2 2 =

_

     dx x x x 4 4 ) 4 5 ( 1 ₂ =

_

_

    dx x x x dx 4 4 4 5 2

Selanjuntnya

_

_

      _dx x x dx x x x 2

2 _{( 2)}

4 5 4 4 4 5 =

_

 

 x dx

B x A 2 ) 2 ( ) 2 (

=

_

A₍x_x_2)2 Bdx ) 2 ( =

_

   dx x B A Ax 2 ) 2 ( ) 2 (

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:







 _     2

2 _{( 2)}

6 ) 2 ( 5 ) 2 ( 4 5 x x dx x x dx = 5 ln C

x x     ) 2 ( 6 2

3.

_

    dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2 3



_ _{ } dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2

3 =



_{( 1)( 1)}2

) 5 3 (    x x dx x

= dx

x C x B x A



 _  

1) ( 1) ( 1)2 ( =

_

        dx x x x C x x B x A 2 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 (

= dx

x x C B A x A C x B A



  _ _ 2   2 ) 2 )( 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga



_ _{ } dx x x x dx x 1 ) 5 3 ( 2

3 = _x dx

C x B x A



 _  

1) ( 1) ( 1)2 ( = 2 1









_  

 2 ( 2) 4 ( 2)2 1 ) 1 ( x dx x dx x dx

= ½ ln C x x x       ) 2 ( 4 2 ln 2 1 1 4.

_

   2 3 3 6 4 4 4 x x x x

dx ( integran bukan fungsi rasional sejati) Jawab :

_

   2 3 3 6 4 4 4 x x x x

dx =

_

      dx x x x x x

x _{3 2}

2 2 3 4 4 272 68 16 4

=

_

(x34x216x68)dx

+ dx

x x

x



3_ 2

2 4

4 272

= x x 8x 68x

3 4 4

1 4_ 3_ 2_

+ dx

x x

x



3_ 2

2 4

4 272

Selanjutnya dicari dx

x x

x



3_ 2

2 4

4 272

= dx

x x

x



₍ 272_0)2₍_4₄₎ 2 =

_

   dx x C x B x A ) 4 ( 2

= dx x x x C x x B x A



  3_ 2 

2 4 ) ( ) 4 )( ( ) 4 ( =

_

     dx x x Cx Bx Bx A Ax 2 3 2 2 4 4 4

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = 4 1  _{, C =}

4 1089 Hasil akhir pengintegralan

x x 8x 68x

3 4 4

1 4_ 3_ 2_

- x x C

x  4 ln  4 1089 ln 4 1 1 Soal-soal

Tentukan hasil dari: 1.

_

_ dx

x x 2 ) 3 ( 1

3. dx

x x

x



_ 2 _ 5 8 ) 1 ( ) 2

( (PR tanggal 30 Mei 2008)

4. dx

x x

x x



4 _ 3

2

5 2

10 19

(PR tanggal 30 Mei)

5. dx

x x

x



_{( 2}_{)( 4)}2 2 1

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial r qx px C Bx b ax A x g x f       ₂ ) ( ) (

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh 1.

_

    _dx x x x x ) 1 )( 1 4 ( 1 3 6 2 2

Karena integran fungsi rasional sejati maka



_ _ dx x x x x ) 1 )( 1 4 ( 1 3 6 2 2 =

_

  

 x dx

C Bx x A ) 1 ( ) 1 4 ( 2

= dx x x x C Bx x A



( ₍1₄)_(₁₎₍ 2 _1)(₎4 1) 2

= dx x x C A x C B x B A



( 4 )₍₄_( ₁₎₍42_)₁₎(  ) 2

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:



_ _ dx x x x x ) 1 )( 1 4 ( 1 3 6 2 2 =

_

  

 x dx

x

x ( 1)

1 ) 1 4 ( 2 2 =

_

_

_

   

 x dx x dx x dx x 1 1 1 ) 1 4 ( 2 2 2

= x  lnx 1 arctgxC

2 1 1 4 ln 4 2 2

2.

_

     dx x x x x x 2 3 2 2 4 2 3

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga



_  _ dx

x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =

_

     dx x x x x x ) 2 )( 1 ( 2 2 2 2 3 =

_

     dx x D Cx x B Ax 2 1 2 2 =

_

       dx x x x D Cx x B Ax ) 2 )( 1 ( ) 1 )( ( ) 2 )( ( 2 2 2 2 =

_

         dx x x D B x C A x D B x C A ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 3 Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:



_  _ dx

x x x x x 2 3 2 2 4 2 3 =

_

 

 x dx x

x 1 2

1 2 2 =

_

_

 

 x dx x dx

x 1 2

1

2 2

= arctg x + lnx 1C

2

3.

_

     dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x2_1)

, sehingg:



_  _  _ dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3 =

_

    

 x dx

D Cx x B x A ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( 2 =

_





            dx x x x x x D Cx x x B x x A ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 2 )( 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 1 )( 2 ( 2 2 2 =

_

                  dx x x x D B A x C D B A x D C B A x C B A ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 6 3 2 ( ) 6 ( ) 3 2 ( ) ( 2 2 3 Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau A = 2, B = -1, C = 0, D = -1



 _

 

 x dx

D Cx x B x A ) 1 ( ) 2 ( ) 3

( 2 =



_

    

 x x dx

x ( 1)

1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 2

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctgn x + C = ln(x+3)2 _{- ln(x-2) – arctgn x + C} = ln 

  ) 2 ( ) 3 ( 2 x x

arctgn x + C Jadi

_

     dx x x x x x ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 8 2 2 3

= ln 

  ) 2 ( ) 3 ( 2 x x

arctgn x + C

Soal-soal

Tentukan pengintegralan berikut ini:

1. dx

x x

x x



2 3_4 8 2 2.

_

  dx x x x ) 1 ( 4 2 3 3.

_

    dx x x x x x 16 8 16 5 2 3 5 2 3

4.

_

 

  

dx x

x

x x x

2 3

2 2 4

2 3

5.

_



 

dx x

x x

2 2 3

) 1 (

1

6.

_

  

  

dx x

x x

x x x

) 3 2 )( 5 (

15 5 2 2

2 3

F. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL DENGAN F(X) DAN G(X) MEMUAT FUNGSI TRIGONOMETRI SIN X DAN COS X.

Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( ) )

( ) (

x f x

g x g

x f

 _{dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat} juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =

x x

cos sin 1

2. F(x) =

x x

sin cos sin 2

1 

3. F(x) =

x x

cos 2 sin

5 

4. F(x) =

x

sin 2 3

1  5. F(x) =

x x cos sin

1

2  

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

_



 x x

dx

cos sin

1 2.

_

 x

dx

cos 2 3.

_



 x x

dx

cos sin

1 4.

_

x x

sin cos sin 2

1 

dx 5.

_

x

sin 2 3

1

 dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tgn z sehingga dx = dz

z2 1

2

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tgn z maka:

z x tgn 

     

2

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 1 + tgn 

    

2 2 x

= sec      

2 2 x

 1 + z 

     

2 sec2

2 x

2 2

1 1 2

cos

z x

        

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin2_xcos2_x1

1 2 cos 2

sin2 2 _

            

 x x _{, sehingga didapat}

sin 2

2

1 1 1

2 z

x

        

= ₂ 2 1 z

z

Dengan rumus jumlah Cosinus didapat:

Cos 2x = Cos2x _Sin2_{x dan Sin 2x = 2 sin x cos x, maka:}                2 sin 2 cos

cos_x 2 x 2 x

2 2 2 ₁ 1 1 cos z z z x     

= ₂ 2 1 1 z z  

dan Sin 2x = 2 sin x cos x  Sin x = 2 sin 

     2 x

cos       2 x

= 2 2 _{2 2} 1

1

1 z z

z

 

= ₁ 2 2

z z



Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tgn z, sin x = ₁ 2 2

z z

 , cos x = 2 2 1 1 z z  

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari

1.

_



 x x

dx cos sin 1 Jawab

_



 x x

dx

cos sin

1 =



      2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 z z z z dz z =

_

        2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 z z z z z z z dz

=

_

 z

dz

2 2

2

=

_

z dz

1

= ln 1 z _{+ C}

= ln tgn x C

2 1

2.

_

 x

dx

cos 2

Jawab

_

 x

dx

cos

2 =



  



2 2 2

1 1 2

1 2

z z z dz

=



   

 

2 2 2

2 2

1 1 1

) 1 ( 2

1 2

z z z

z z dz

=

_

3 2 1

2 z dz

=



_     

 2

2

3 1 3 2

z dz

= 3 3 2

arc tgn    

 

3 / 1

z

+ C =

3 2

arc tgn 3z + C

= 3 2

arc tgn 3(tgn x/2) + C

3.

_

 x

dx

sin 5

3

=

_

 x

dx

sin 5

3

=



 



2 2

1 2 5 3

1 2

z z z dz

=

_

  z z

dz 10 3

3 2

2

=



_(3z2₁₎₍dz_z3)

=



 _

 z dz

B z

A

) 3 ( ) 1 3 (

=

dz

z z

B A z B A



( ₍₃3_)₁₎₍(_3₎ )

=



 _

 z dz

z ( 3)

1 )

1 3 (

3

= 3 ln

3z1 lnz3 C

= 3 ln

tgnx   tgnx 3 C

2 ln 1 2 3

Soal-soal

Buktikan hasil pengintegralan berikut ini!

1.

_

 u

du

sin 2

1

=

_{2 3}

2

3 2 2 ln 3

3

 

  u tgn

u tgn

+ C

2.

_

 u

du

sin

2

=

3

1 2 2 3

2 

u tgn

arctgn

+ C

3.

_

 u

du

sin 3

5

=

2arctgn 1

4 3 2 5tgnu 

4.



_1sindu_{u cosu}

= ln

2 1

2

u tgn

u tgn 

+ C

5.

_C

u u

du

  





₃

4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5

6.

u C

u du

     

   





tan₂

3 3 arctan 3

3 2 cos 2

7.



u C

u du

 

 5 arctan( 5tan2)

5 2 2 3

8.

C

u u u

u udu

 

 



ln 1_coscos

) cos 1 ( cos

sin 2

2

9.

  

 



u

u udu u

tan 1 ln tan

1

sec ) tan 2 (

2 2 2

C u

  3

1 tan 2 arctan 3 2

4.

_

 

  

dx x

x

x x x

2 3

2 2 4

2 3

5.

_

  

dx x

x x

2 2 3

) 1 (

1

6.

_

  

  

dx x

x x

x x x

) 3 2 )( 5 (

15 5

2 2

2 3

F. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL DENGAN F(X) DAN G(X) MEMUAT FUNGSI TRIGONOMETRI SIN X DAN COS X.

Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( ) )

( ) (

x f x

g x g

x f

 _{dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat} juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =

x x

cos sin 1

2. F(x) =

x x

sin cos sin 2

1 

3. F(x) =

x x

cos 2 sin

5 

4. F(x) =

x

sin 2 3

1

 5. F(x) =

x x cos sin

1

2

 

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

_



 x x

dx

cos sin

1

2.

_

 x

dx

cos 2

3.

_



 x x

dx

cos sin

1

4.

_

x x

sin cos sin 2

1 

dx

5.

_

x

sin 2 3

1

 dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tgn z sehingga dx = dz

z2 1

2

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tgn z maka:

z x tgn 

     

2

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 1 + tgn 

    

2

2 x

= sec      

2

2 x

 1 + z 

     

2 sec2

2 x

2 2

1 1 2

cos

z x

        

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin2_xcos2_x1

1 2 cos 2

sin2 2 _

            

 x x _{, sehingga didapat}

sin 2

2

1 1 1

2 z

x

        

= ₂ 2 1 z

z

Dengan rumus jumlah Cosinus didapat:

Cos 2x = Cos2x _Sin2_{x dan Sin 2x = 2 sin x cos x, maka:} 

             

2 sin 2 cos

cos_x 2 x 2 x

2 2 2 ₁ 1

1 cos

z z z x

    

= ₂ 2 1 1

z z

 

dan Sin 2x = 2 sin x cos x

 Sin x = 2 sin      

2

x

cos      

2

x

= 2 2 _{2 2} 1

1

1 z z

z

 

= ₁ 2 2

z z



Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tgn z, sin x = ₁ 2 2

z z

 , cos x = 2

2 1 1

z z

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari

1.

_



 x x

dx

cos sin

1

Jawab

_



 x x

dx

cos sin

1 =



    



2 2 2

2

1 1 1

2 1

1 2

z z z

z dz z

=

_

      



2 2 2

2 2

2

1 1 1

2 1

1 1

2

z z z

z z

z z

=

_

 z

dz

2 2

2

=

_

z dz

1

= ln 1 z _{+ C}

= ln tgn x C

2 1

2.

_

 x

dx

cos 2

Jawab

_

 x

dx

cos

2 =



  



2 2 2

1 1 2

1 2

z z z dz

=



   

 

2 2 2

2 2

1 1 1

) 1 ( 2

1 2

z z z

z z dz

=

_

3 2 1

2 z dz

=



_     

 2

2

3 1 3 2

z dz

= 3 3 2

arc tgn 

  

 

3 / 1

z

+ C =

3 2

arc tgn 3z + C

=

3 2

arc tgn 3(tgn x/2) + C

3.

_

 x

dx

sin 5

3

=

_

 x

dx

sin 5

3

=



 



2 2

1 2 5 3

1 2

z z z dz

=

_



 z z

dz 10 3

3 2

2

=



_(3z2₁₎₍dz_z3)

=



 _

 z dz

B z

A

) 3 ( ) 1 3 (

=

dz z

z

B A z B A



( ₍₃3_)₁₎₍(_3₎ )

=



 _

 z dz

z ( 3)

1 )

1 3 (

3

= 3 ln

3z1 lnz3 C

= 3 ln

tgnx   tgnx 3 C

2 ln 1 2 3 Soal-soal

Buktikan hasil pengintegralan berikut ini!

1.

_

 u

du

sin 2

1

=

_{2 3}

2

3 2 2 ln 3

3

 

  u tgn

u tgn

+ C

2.

_

 u

du

sin

2

=

3

1 2 2 3

2 

u tgn

arctgn

+ C

3.

_

 u

du

sin 3

5

=

2arctgn 1

4 3 2 5tgnu 

4.



_1sindu_{u cosu}

= ln

2 1

2

u tgn

u tgn 

+ C

5.

_C

u u

du

  





₃

4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5

6.

u C

u du

     

   





tan₂

3 3 arctan 3

3 2 cos 2

7.



u C

u du

 

 5 arctan( 5tan2) 5

2 2 3

8.

C

u u u

u udu

 

 



ln 1_coscos )

cos 1 ( cos

sin 2

2

9.

  

 



u

u udu u

tan 1 ln tan

1

sec ) tan 2 (

2 2 2

C u

 

3 1 tan 2 arctan 3 2