Analisis Plastis Pada Portal Dengan Metode Elemen Hingga

TUGAS AKHIR

ANALISIS PLASTIS PADA PORTAL DENGAN METODE ELEMEN HINGGA Disusun oleh:

FIRDHA AULIA ARIYANI AZHARI 09 0404 099

Dosen Pembimbing: Ir.BESMAN SURBAKTI, MT

19541012 198003 1 004

SUBJURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA 2013

LEM BAR PENGESAHAN

ANALISA PLASTIS PADA PORTAL DENGAN M ETODE ELEM EN HINGGA TUGAS AKHIR

Diajukan unt uk melengkapi t ugas-t ugas dan memenuhi syarat dalam menempuh Colloqium Doct um/ Ujian Sarjana Teknik Sipil

Dikerjakan oleh:

FIRDHA AULIA ARIYANI AZHARI 09 0404 099

Pem bim bing

Ir. Besman Surbakti, M T NIP: 19541012 198003 1 004

Penguji I Penguji II

Prof.Dr.Ing.Johannes Tarigan M . Agung P. Handana, S.T, M .T

NIP: 19561224 198103 1 002 `NIP: 19821206 201012 1 005

M engesahkan:

Ket ua Depart em en Teknik Sipil Fakult as Teknik, Universit as Sum at era Ut ara

Prof.Dr.Ing.Johannes Tarigan NIP: 19561224 198103 1 002 BIDANG STUDI STRUKTUR DEPARTEM EN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUM ATERA UTARA M EDAN

2013

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur saya panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada saya, sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan dengan baik.

Tugas akhir ini merupakan syarat untuk mencapai gelar sarjana Teknik Sipil bidang struktur Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, dengan judul “Analisa Plastis pada Portal dengan Metode Elemen Hingga”.

Saya menyadari bahwa dalam menyelesaikan tugas akhir ini tidak terlepas dari dukungan, bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini saya ingin menyampaikan ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya terutama kepada kedua orang tua saya Bapak Azhari, S.E dan Ibu Elismayani, S.H. yang sangat saya cintai, mereka adalah motivator terbesar bagi saya. Tiada balasan yang dapat diberikan selain membahagiakannya dengan menyelesaikan perkuliahan ini dengan hasil yang memuaskan.

Selain itu, saya juga mengucapkan terimakasih banyak kepada beberapa pihak yang berperan penting yaitu :

1. Bapak Ir.Besman Surbakti, M.T. selaku pembimbing, yang telah banyak memberikan dukungan, masukan, bimbingan serta meluangkan waktu, tenaga dan pikiran dalam membantu saya menyelesaikan tugas akhir ini.

2. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan selaku Ketua Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Ir. Syahrizal, M.T. selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak/Ibu seluruh staff pengajar Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

5. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan bantuannya selama ini kepada saya.

6. Buat Kakek dan Nenek saya H. Baharuddin dan Hj. Fadlun yang telah banyak memberikan bantuan dan motivasi bagi saya.

7. Buat M.Ardyansyah Azri dan Ahmad Nuril Azri yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi.

8. Buat anak-anak “Ranger” Mia, Putri, Evi, dan Aya yang telah memberikan tumpangan dan selalu ada menemani saya selama ini, teman-teman grup “Crazy Sipil” Kevin, Irwan, Aul, Ryan, Agus, Dewi, Ersa, Afri, Cing, Khairun, Azam, Asa, Ableh, Benpra, Deko, Toni, Putra Beb, dan Waida yang selalu memberikan tumpangan, serta teman-teman mahasiswa/i angkatan 2009 atas semangat dan bantuannya selama ini.

9. Seluruh rekan-rekan yang tidak mungkin saya tuliskan satu-persatu atas dukungannya yang sangat baik.

Saya menyadari bahwa dalam penyusunan tugas akhir ini masih jauh dari kata sempurna. Yang disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahamahan saya dalam hal ini. Untuk itu, saya sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca demi perbaikan di masa akan datang. Akhir kata saya mengucapakan terimakasih yang sebesar-besarnya dan semoga tugas akhir ini bermanfaat bagi para pembaca.

Medan, April 2013

Firdha Aulia Ariyani Azhari Penulis

ABSTRAK

Seperti yang tertuang dalam SNI 03-1729-2002 dalam persyaratan perencanaan struktur, tujuan perencanaan struktur adalah untuk menghasilkan suatu struktur yang stabil, cukup kuat, mampu layan, awet dan memenuhi tujuan-tujuan lainnya sepertti ekonomi dan kemudahan pelaksanaan.Perhitungan struktur pada plane frame memerlukan waktu yang cukup lama dengan ketelitian yang akurat. Namun demikian perhitungan masih dapat dilakukan untuk portal sederhana, dimana elemen-elemen yang terdapat pada struktur tersebut masih sederhana.

Ada dua metode yang dapat digunakan untuk analisa konstruksi yaitu metode elastisitas dan metode plastisitas. Namun penyelesaian dengan metode plastis dianggap lebih menguntungkan karena dapat alisa meramalkan beban runtuh sehingga pendimensian pada struktur lebih ekonomis. Metode plastis merupakan metode desain struktur yang memperhitungkan keruntuhan diakibatkan terbentuknya sendi plastis.

Pada perencanaan digunakan metode mekanisme dan elemen hingga untuk menganalisa faktor beban runtuh dari portal yang menggunakan profil IWF 300 x 300 pada balok dan profil IWF 400 x 300 pada kolom. Dari analisa yang dilakukan struktur portal melalui analisa plastis dengan perhitungan metode elemen hingga faktor beban runtuh sebesar = 5.21618 sedangkan dengan menggunakan metode mekanisme didapat beban runtuh sebesar 2.431 < < 6.3928.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

ABSTRAK ... ii

DAFTAR ISI ... iii

DAFTAR GAMBAR ... iv

DAFTAR NOTASI ... v

DAFTAR TABEL ... vi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

I.1 LATAR BELAKANG ... 1

I.2 PERUMUSAN MASALAH ... 4

I.3 MAKSUD DAN TUJUAN ... 5

I.4 PEMBATASAN MASALAH ... 6

I.5 METODOLOGI PENULISAN ... 6

BAB II STUDI PUSTAKA ... 7

II.1 UMUM ... 7

II.2 ANALISA DAN DESAIN ... 8

II.3 BEBAN-BEBAN PADA STRUTUR ... 10

II.4 ANALISA PLASTIS ... 14

II.4.1 Umum ... 14

II.4.2 Teori batas bawah ... 16

II.4.3 Teori batas atas ... 16

II.4.4 Teori batas unik ... 16

II.5 ANALISA PENAMPANG ... 17

II.6 FAKTOR BENTUK (SHAPE FACTOR) ... 18

II.7 SENDI PLASTIS ... 19

II.8 METODE ELEMEN HINGGA ... 22

II.8.1 Pendekatan Umum ... 23

II.8.2 Matriks Kekakuan Struktur ... 24

II.8.2.1 Matriks Kekakuan Struktur Lokal ... 24

II.8.2.2 Matriks Kekakuan Struktur Global ... 26

II.8.2.3 Matriks Kekakuan Struktur ... 27

II.8.1 Elemen Beam ... 30

II.8.4 Elemen Beam dengan Beban Terbagi Rata ... 39

II.8.5 Elemen Frame ... 41

BAB III ANALISA PLASTIS PADA STRUKTUR PORTAL ... 42

III.1 ANALISA PLASTIS DENGAN MEKANISME ... 42

III.11 Analisa Plastis pada Frame... 43

III.2 ANALISA BEBAN RUNTUH (COLLAPSE) ... 44

III.3 ANALISA PLASTIS DENGAN METODE ELEMEN HINGGA ... 46

BAB IV APLIKASI ANALISA PLASTIS PADA PORTAL ... 53

IV.1 DATA- DATA STRUKTUR ... 53

IV.2 MENGHITUNG BERAT SENDIRI ... 55

IV.3 MENGHITUNG BEBAN HIDUP ... 55

IV.4 MENGHITUNG BEBAN GEMPA ... 56 IV.4.1 Perhitungan V ( beban geser dasar nominal static ekivalen) . 56

IV.4.2 Mekanisme tunggal (sendi plastis pada kolom)

IV.4.2.1 Perhitungan distribusi Fi ... 57

IV.4.5 PENOMORAN PADA STRUKTUR ... 58

IV.4.6 ANALISA PLASTIS DENGAN MEKANISME ... 58

IV.4.7 ANALISA PLASTIS DENGAN FEM ... 81

BAB V DISKUSI ... 101

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN ... 102

VII.1 Kesimpulan ... 102

VII.2 Saran ... 103 DAFTAR PUSTAKA ... vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Portal 2 dimensi dengan beban terbagi rata & beban Gempa 3

Gambar 2.1 Jenis kombinasi pembebanan 13

Gambar 2.2 Momen elastis dan plastis pada penampang persegi 17

Gambar 2.3 Balok dengan pembebanan terpusat 20

Gambar 2.4 Lengkung sendi plastis beban terpusat 21

Gambar 2.5 Balok dengan pembebanan terbagi rata 21

Gambar 2.6 Lengkung sendi plastis beban terbagi rata 22

Gambar 2.7 Titik simpul dan elemen 24

Gambar 2.8 Matriks kekakuan pada sumbu global 26

Gambar 2.9 Penomoran untuk nodal dan batang 27

Gambar 2.10 Beam dengan penampang uniform 31

Gambar 2.11 Balok dengan beban terbagi rata 37

Gambar 2.12 Momen primer 37

Gambar 2.13 Momen primer 37

Gambar 2.14 Gaya dalam yang terjadi 38

Gambar 2.15 Elemen batang yang dipengaruhi gaya luar T, gaya & perpindahan

nodal positive berada dalam sumbu x 39

Gambar 3.1 Mekanisme 43

Gambar 3.2 Letak sendi plastis pada titik join portal 44

Gambar 3.3 Balok yang terjepit pada kedua ujungnya 45

Gambar 3.4 Kondisi pertama peningkatan momen dalam 46

Gambar 3.5 Kondisi kedua peningkatan momen dalam 46

Gambar 4.2 Struktur portal dan daerah pembebanan 54

Gambar 4.3 Penomoran pada Struktur 57

Gambar 4.4 Pembebanan pada struktur portal 59

Gambar 4.5 mekanisme balok lt.2 akibat beban terbagi rata 60

Gambar 4.6 mekanisme balok lt.1 akibat beban terbagi rata 61

Gambar 4.7 mekanisme balok lt.1 & 2 akibat beban terbagi rata 62

Gambar 4.8 Mekanisme goyang lt.2 akibat beban gempa 64

Gambar 4.9 Mekanisme goyang lt.1 akibat beban gempa 65

Gambar 4.10 Mekanisme goyang lt. 1& 2 akibat beban gempa 66 Gambar 4.11 mekanisme kombinasi akibat beban terbagi rata dan beban gempa 68

Gambar 4.12 Mekanisme goyang akibat beban gempa 69

Gambar 4.13 Mekanisme goyang lt.1 akibat beban gempa 70

Gambar 4.14 Mekanisme goyang lt. 1& 2 akibat beban gempa 72

Gambar 4.15 Mekanisme goyang lt.2 akibat beban gempa 73

Gambar 4.16 mekanisme kombinasi akibat beban terbagi rata dan beban gempa 74 Gambar 4.17 mekanisme kombinasi akibat beban terbagi rata dan beban gempa 76 Gambar 4.18 mekanisme kombinasi akibat beban terbagi rata dan beban gempa 77

Gambar 4.19 Bidang momen 92

Gambar 4.20 Sendi-sendi plastis pada portal dengan metode elemen hingga 100

DAFTAR NOTASI

q beban merata

L panjang bentang

P beban terpusat

σ tegangan (stress)

ε regangan (strain)

lo panjang awal

E modulus elastis baja

I inersia tampang

σy tegangan leleh

λ faktor beban

Mp momen plastis

My momen leleh

f faktor bentuk (shape factor)

S plastic modulus

Z section modulus

T gaya dalam

Pu beban batas

A luas penampang

θ perputaran sudut titik

KD kerja dalam

Pcr kekuatan batas dari batas dengan tekanan aksial, yang diambil sekitar 1,70 Fa Ag

Qbs berat akibat berat sendiri

h tinggi kolom

H beban akibat gempa

H tinggi profil

b lebar profil

tw tebal badan

tf tebal flens

Wx modulus tampang/ section modulus

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Defenisi simpul 1 & 2 pada setiap elemen 28

Tabel 2.2 Gaya reduksi 38

Tabel 4.1 Perhitungan Fi 57

Tabel 4.2 Faktor beban maksimum dan minimum 79

Tabel 4.3 Momen pada kolom 79

Tabel 4.4 Momen pada kolom 80

Tabel 4.5 Momen ujung akhir tahap 1 93

Tabel 4.6 Momen ujung akhir tahap 2 94

Tabel 4.7 Momen ujung akhir tahap 3 95

Tabel 4.8 Momen ujung akhir tahap 4 96

Tabel 4.9 Momen ujung akhir tahap 5 97

Tabel 4.10 Momen ujung akhir tahap 6 98

Universit as Sum at era Ut ara

ABSTRAK

Seperti yang tertuang dalam SNI 03-1729-2002 dalam persyaratan perencanaan struktur, tujuan perencanaan struktur adalah untuk menghasilkan suatu struktur yang stabil, cukup kuat, mampu layan, awet dan memenuhi tujuan-tujuan lainnya sepertti ekonomi dan kemudahan pelaksanaan.Perhitungan struktur pada plane frame memerlukan waktu yang cukup lama dengan ketelitian yang akurat. Namun demikian perhitungan masih dapat dilakukan untuk portal sederhana, dimana elemen-elemen yang terdapat pada struktur tersebut masih sederhana.

Ada dua metode yang dapat digunakan untuk analisa konstruksi yaitu metode elastisitas dan metode plastisitas. Namun penyelesaian dengan metode plastis dianggap lebih menguntungkan karena dapat alisa meramalkan beban runtuh sehingga pendimensian pada struktur lebih ekonomis. Metode plastis merupakan metode desain struktur yang memperhitungkan keruntuhan diakibatkan terbentuknya sendi plastis.

Pada perencanaan digunakan metode mekanisme dan elemen hingga untuk menganalisa faktor beban runtuh dari portal yang menggunakan profil IWF 300 x 300 pada balok dan profil IWF 400 x 300 pada kolom. Dari analisa yang dilakukan struktur portal melalui analisa plastis dengan perhitungan metode elemen hingga faktor beban runtuh sebesar = 5.21618 sedangkan dengan menggunakan metode mekanisme didapat beban runtuh sebesar 2.431 < < 6.3928.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Seperti yang tertuang dalam SNI 03-1729-2002 dalam persyaratan perencanaan struktur, tujuan perencanaan struktur adalah untuk menghasilkan suatu struktur yang stabil, cukup kuat, mampu layan, awet dan memenuhi tujuan-tujuan lainnya sepertti ekonomi dan kemudahan pelaksanaan.Perhitungan struktur pada plane frame memerlukan waktu yang cukup lama dengan ketelitian yang akurat. Namun demikian perhitungan masih dapat dilakukan untuk portal sederhana, dimana elemen-elemen yang \terdapat pada struktur tersebut masih sederhana.

Ada dua metode yang dapat digunakan untuk analisa konstruksi yaitu metode elastisitas dan metode plastisitas. Namun penyelesaian dengan metode plastis dianggap lebih menguntungkan karena dapat meramalkan beban runtuh sehingga pendimensian pada struktur lebih ekonomis. Metode plastis merupakan metode desain struktur yang memperhitungkan keruntuhan diakibatkan terbentuknya sendi plastis.

Dalam hal perencanaan suatu struktur, misalnya sebuah balok yang terletak di atas dua tumpuan dan mengalami beban terpusat dengan beban yang tidak terlalu besar maka tegangan yang terjadi masih terletak didalam batas elastik namun apabila beban diperbesar maka bagian-bagian pada penampang (terutama yang terletak di bawah beban) akan mengalami tegangan leleh (yield stress) sehingga struktur akan mengalami deformasi elastis-plastis. Jika struktur tersebut terus mengalami penambahan beban maka seluruh serat penampang akan mengalami tegangan leleh.

Universit as Sum at era Ut ara Setelah kondisi tersebut penampang akan mengalami rotasi secara terus-menerus dengan momen yang tetap besarnya. Ini berarti telah terbentuk sendi plastis pada penampang tersebut. Selanjutnya struktur ini akan runtuh. Hal ini menggambarkan bahwa sebelum konstruksi tersebut runtuh, terjadi redistribusi momen yang merupakan sumber kekuatan dari konstruksi tersebut sebelum runtuh.

Pada umumnya, jika struktur mencapai kondisi keruntuhan, akan dipenuhilah tiga keadaan berikut:

1. Kondisi leleh (yield condition)

Kondisi leleh merupakan peryataan dari sifat deformasi plastis, dimana pada saat runtuh, momen dalam dari suatu struktur tidak ada yang melampaui kapasitas momen plastisnya.

2. Kondisi keseimbangan (equilibrium condition)

Kondisi keseimbangan mengharuskan momen lentur dalam harus seimbang dengan momen luar yang bekerja.

3. Kondisi mekanisme (mechanism condition)

Kondisi mekanisme akan terjadi bila jumlah sendi plastis dalam struktur telah cukup untuk mengubah sebagian atau seluruh struktur ke dalam kondisi mekanisme keruntuhannya.

Salah satu tujuan dari analisis plastis adalah menentukan besarnya beban runtuh tersebut. Dalam pembahasan tugas akhir ini akan digunakan metode elemen hingga untuk menganalisis kondisi plastis pada struktur portal (plane frame) dimana

struktur ini merupakan kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian yang disambungkan guna stabilitas.

Saat ini perkembangan ilmu pengetahuan telah berkembang dengan sangat pesat, begitu juga dengan ilmu rekayasa di bidang teknik sipil. Salah satu perkembangan itu adalah metode elemen hingga merupakan metode numerik yang digunakan untuk penyelesaian masalah teknik. Konsep dasar yang melandasi metode elemen hingga adalah prinsip diskritisasi yaitu membagi suatu benda menjadi benda-benda yang berukuran lebih kecil supaya lebih mudah pengelolaannya.

Pada tugas akhir ini disajikan perbandingan perhitungan manual dengan metode elemen hingga dan mekanisme pada portal dengan beban terbagi rata dan beban horizontal. Analisa ini dilakukan untuk mengurangi resiko kerugian yang dapat terjadi akibat kegagalan bangunan.

Universit as Sum at era Ut ara Gambar 1.1 ,merupakan struktur portal yang akan dianalisa pada tugas akhir ini. Portal akan dibebani orsebut.leh beban mati, beban hiup dan beban gempayang kemudian akan dianalisa sehingga didapatkan nilai beban runtuh dari struktur t

1.2 Perumusan Masalah

Analisis plastis digunakan untuk menentukan besarnya beban runtuh (ultimate load) pada suatu struktur serta mekanismenya. Dalam menganalisis perilaku plastis pada portal, tingkah laku elemen dapat diwakili oleh tiga displasemen untuk titik nodal dan enam displasemen untuk setiap elemennya, yaitu translasi arah sumbu, translasi tegak lurus sumbu elemen, dan rotasi terhadap sumbu z. Oleh karena itu, penerapan metode elemen hingga dapat diterapkan untuk mengetahui mekanisme terbentuknya sendi plastis pada struktur.

Dalam tugas akhir ini akan dicoba beberapa mekanisme yang mungkin terjadi, dan untuk mendapatkan mekanisme yang tepat matriks kekakuan batang perlu diubah sedemikian rupa sehingga memenuhi persyaratan momen lentur di sendi tersebut sama dengan nol.

Jika sendi plastis terbentuk di salah satu atau kedua ujung batang, maka matriks kekakuan batang perlu diubah agar momen lentur di sendi tersebut sama dengan nol.

Matriks kekakuan struktur untuk kombinasi titik ujung dalam menentukan sendi plastis adalah :

1. Sendi di ujung kiri [ ]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 − 0 0 − 0 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

... (1.1)

2. Sendi di ujung kanan

[ ]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 − 0 0 0 − 0 − 0 0 0 0 0 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

... (1.2)

3. Sendi di ujung kiri dan kanan

[ ]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0_⎦⎥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

... (1.3)

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penulis dalam penelitian untuk tugas akhir ini adalah analisis plastis pada struktur portal yang ditandai dengan terbentuknya sendi plastis yang diketahui dengan cara mekanisme yang dihitung dengan bantuan metode elemen hingga. Pada tugas akhir ini akan dihitung faktor beban runtuh akibat adanya pembebanan yang direncanakan dengan jumlah sendi plastis yang terbentuk sebelum mengalami keruntuhan.

1.4 Batasan Masalah

Dengan banyaknya permasalahan dalam penelitian yang akan dilakukan terhadap analisa portal kaku dan pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sendiri

Universit as Sum at era Ut ara mengenai permasalahan yang akan diteliti terbatas, maka diperlukan pembatasan masalah dalam penulisan skripsi ini :

1. Perletakan adalah jepit-jepit

2. Analisis yang dilakukan dengan menggunakan Finite Element Method (FEM) 3. Material dianggap isotopris dan homogen

4. Beban yang terdapat pada portal merupakan beban mati berupa beban terbagi rata dan beban terpusat dengan arah sumbu x.

5. Perencanaan berdasarkan konsep “Strong Column Weak Beam”.

6. Pada analisa ini hanya ditinjau untuk kondisi beban runtuh dan faktor beban runtuhnya.

7. Aplikasi hanya dilakukan pada portal sederhana

8. Perhitungan metode elemen hingga akan dihitung dengan bantuan Microsoft excel 2000.

1.5 Metodologi Penelitian

Metode yang akan digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah literature yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku-buku yang berhubungan dengan pembahasan dalam tugas akhir ini serta masukan-masukan dari dosen pembimbing.

BAB II STUDI PUSTAKA II.1 Umum

Sebuah anggapan mengenai keamanan sebuah bangunan adalah apabila bangunan runtuh akibat sebuah muatan, maka bangunan tersebut akan aman dibebani sampai muatan tertentu. Pemahaman mengenai koefisien keamanan terhadap keruntuhan inilah yang dianggap penting dalam proses perencanaan suatu konstruksi. Struktur terbagi menjadi beberapa elemen utama yang terdiri dari elemen kaku dan elemen tidak kaku. Elemen kaku terdiri dari balok, kolom, pelengkung, flat-plate, plat berkelengkungan tunggal dan cangkang yang memiliki kelengkungan yang berbeda-beda. Yang termasuk elemen tidak kaku adalah kabel dan membran baik yang berkelengkungan tunggal maupun ganda. Selain itu, ada beberapa jenis elemen yang diturunkan dari elemen-elemen tersebut misalnya portal (frame), rangka batang, kubah dan jaring.

Dari berbagai elemen yang telah disebutkan di atas, beberapa diantaranya harus dikombinasikan untuk memperoleh sttruktur yang menutup atau membentuk suatu volume untuk memenuhi fungsinya sebagai struktur pemikul beban. Struktur yang digunakan pada umumnya berbeda dengan struktur lainnya. Struktur gedung selalu berperilaku sebagai pembentuk volume, sementara bangunan lainnya seperti jembatan biasanya digunakan untuk memikul permukaan linear.

Salah satu elemen dari struktur tersebut adalah portal merupakan struktur rangka kaku yang terdiri dari elemen balok dan kolom yang dihubungkan oleh joints atau titik penghubung di setiap ujung – ujungnya untuk mencegah terjadinya rotasi diantara elemen yang dihubungkan. Desain struktur portal merupakan proses yang tidak mudah, dikarenakan jenis struktur ini tidak efisien untuk beban lateral yang sangat besar. Oleh karena itu strutur tersebut harus dirancang sedemikian rupa agar

Universit as Sum at era Ut ara memiliki kapasitas yang cukup untuk menahan beban maksimum yang terjadi pada struktur tersebut.

II.2 Analisis dan Desain

Tinjauan dasar dalam perencanaan struktur adalah dengan menjamin adanya kestabilan pada segala kondisi pembebanan yang mungkin. Semua struktur dapat mengalami perubahan bentuk hingga mencapai kondisi keruntuhan akibat pembebanan. Hal inilah yang meyebabkan mengapa pemahaman mengenai konsep analisa dan desain. Untuk melakukan proses analisa dan desain pada suatu struktur, terlebih dahulu perlu ditetapkan kriteria sebagai acuan untuk menentukan apakah struktur tersebut sesuai dengan penggunaan yang diinginkan. Menurut Daniel L.Schodek (1998), kriteria-kriteria yang mempengaruhi adalah :

a. Kemampuan Layan (Serviceability)

Struktur harus mampu memikul beban rencana tanpa menyebabkan tegangan yang berlebih dan tidak terjadi deformasi diluar batas izin. Dalam mendesain suatu struktur ukuran, bentuk serta bahan yang digunakan harus dipilih sedemikian rupa sesuai dengan pembebanan yang terjadi sehingga kelebihan tegangan (sebagai contoh terjadinya retak) tidak terjadi.

Selain itu deformasi juga harus diperhatikan dikarenakan deformasi yang berlebihan akan mempengaruhi bentuk suatu struktur yang tentu saja tidak diinginkan karena akan menimbulkan ketidaknyamanan dalam penggunaan suatu struktur.

b. Efisiensi

Kriteria ini tentu saja mengarah kepada perencanaan yang lebih ekonomis. Melalui tahap desain dapat ditentukan banyaknya material yang digunakan untuk memikul beban yang diberikan pada kondisi yang ditentukan.

c. Konstruksi

Kriteria ini mengacu kepada kemudahan pelaksanaan yang mencakup ukuran, berat serta bentuk dari bagian-bagian suatu struktur. Perakitan elemen-elemen struktural akan efisien bila materialnya mudah dibuat dan dirakit.

d. Harga

Konsep harga merupakan hal yang paling menentukan dan berkaitan erat dengan efisiensi bahan dan kemudahan dalam pelaksanaan. Tentu saja konstruksi yang efisien dan tidak sulit untuk dilaksanakan merupakan konsep yang paling ekonomis.

e. Lain-lain

Kriteria yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan pandangan objektif terhadap suatu struktur, dan dalam kriteria ini banyak faktor tambahan yang relative lebih subjektif.

f. Kriteria berganda

Dari berbagai kriteria yang telah dibahas, biasanya suatu struktur tidak hanya ditujukan untuk satu kriteria. Misalnya saja kriteria kemampuan layan dan faktor keamanan yang biasa berlaku pada struktur. Dengan demikian, hal tersebut menjadi tanggung jawab perancang struktur.

Universit as Sum at era Ut ara II.3 Beban-Beban pada Struktur

Menurut Daniel L.Schodek (1998), Beban mati adalah beban yang bekerja secara vertikal pada suatu struktur dan memiliki nilai yang pasti. Metode untuk menghitung beban mati suatu elemen didasarkan atas peninjauan berat satuan material yang terlibat dan berdasarkan volume material tersebut.

Menurut Daniel L.Schodek (1998), Beban hidup adalah beban yang bisa ada atau tidak pada suatu struktur untuk suatu waktu yang diberikan.semua beban hidup memiliki karakter dapat pindah atau bergerak. Oleh karena itu sulit untuk menentukan secara eksak berapa besar dan distribusi dari beban hidup. Penggunaan pendekatan empiris dapat membantu dalam perhitungan beban hidup dengan pertimbangan penggunaan dari struktur tersebut. Namun hal yang harus diperhatikan adalah apabila terjadi perubahan terhadap fungsi dari struktur, maka kita harus meninjau kembali perencanaan awal. Beban angin dan gempa merupakan bentuk khusus beban hidup yang secara khas ditinjau terpisah karena aspek-aspek dinamisnya.

Menurut Peraturan Pembebanan Indonesia tentang Gedung, pengertian mengenai beban angin dan gempa adalah beban angin ialah semua beban yang bekerja pada gedung atau bagian gedung yang disebabkan oleh selisih dalam tekanan udara dan Beban gempa ialah semua beban statik ekivalen yang bekerja pada gedung atau bagian gedung yang menirukan pengaruh dari gerakan tanah akibat gempa itu. Dalam hal pengaruh gempa pada struktur gedung ditentukan berdasarkan suatu analisa dinamik, maka yang diartikan dengan beban gempa disini adalah gaya-gaya di dalam struktur tersebut yang terjadi oleh gerakan tanah akibat gempa itu.

II.3.1 Proses Analisa Umum

Menurut Daniel L.Schodek (1998), terdapat 5(lima) langkah dasar untuk menganalisa struktur yang diberikan dengan maksud menentukan cukup atau tidaknya untuk situasi yang diberikan. Proses umum analisa secara khas melibatkan langkah-langkah berikut :

1. Perilaku struktur yang dianalisis harus terlebih dahulu ditentukan. Sebagai contoh, dalam banyak hal mungkin dan diinginkan untuk mengisolasi elemen-elemen yang tersambung dari keseluruhan struktur gedung, dan memandangnya secara lebih rinci. Apabila struktur dipecah menjadi elemen-elemen yang mendasar, maka diperlukan adanya model batas sehingga pada saat penggabungan kondisi yang sebenarnya dapat direpresentasikan.

2. Langkah daasar lain dalam proses analisis yang dibuat pada umumnya dilakukan adalah menentukan perilaku system gaya eksternal yang bekerja pada struktur yang ditinjau. Pada tahap ini perencana harus menganalisi beban-beban yang akan bekerja pada suatu struktur. Proses ini bervariasi dari yang sangat sederhana hingga tahap yang cukup sulit karena melibatkan banyak variasi pembebanan.

3. Apabila sistem gaya eksternal yang bekerja pada struktur yang ditinjau telah diketahui, maka lamgkah berikutnya dalam proses analisis adalah menentukan, dengan menerapkan prinsip-prinsip keseimbangan, momen dan gaya reaksi yang ditimbulkan pada batas-batas struktur sebagai akibat adanya gaya-gaya ekternal tersebut. Untuk analisa struktur statis tertentu, langkah analisis ini cukup mudah dengan menerapkan prinsip-prinsip keseimbangan statika , yaitu ∑ = 0, ∑ = 0, dan ∑ = 0. Sedang untuk analisa statis tak tentu, untuk mencari gaya reaksi yang ditimbulkan akibat adanya gaya eksternl tidak dapat digunakan prinsip keseimbangan saja tetapi diperlukan metode analisa tambahan, misalnya saja analisa plastis yang akan digunakan pada tugas akhir ini.

Universit as Sum at era Ut ara 4. Sesudah menetapkan perilaku system gaya lengkap, yaitu beban yang bekerja dan gaya-gaya reaksi pada struktur, langkah umum brikutnya dalam analisa umum adalah menentukan perilaku momen dan gaya internal yang timbul akibat gaya-gaya eksternal.

5. Dengan mengetahui gaya-gaya internal yang ada pada struktur, kita dapat menentukan apakah setiap elemennya cukup untuk memikul gaya-gaya internal tersebut tanpa mengalami kelebihan tegangan maupun deformasi.

Gambar 2.1 Jenis Kondisi Pembebanan

(Daniel L. Schodek, Struktur, 1998)

Beban

Gaya statis Gaya dinamis

Beban hidup (dapat pindah)

Beban t et ap (t idak pindah)

Gaya akibat penurunan, efek suhu tegangan, dsb

M enerus (berosilasi merat a atau

t ak teratur)

Impak (diskret , misalnya ledakan)

penggunaan Lingkungan

(misalnya salju, hujan)

Berat sendiri st rukt ur

Elemen gedung t ert ent u

Gaya inersia (sehubungan dengan gerak t anah pada saat

gempa bumi)

Universitas Sum at era Ut ara

Gambar 2.1 menjelaskan pembagian beban dimana beban dibagi menjadi dua jenis yaitu beban statis dan beban dinamis. beban terbagi menjadi dua yaitu beban statis dan beban dinamis. Gaya statis merupakan gaya yang bekerja secara perlahan-lahan dan memiliki sifat tetap. Sedangkan gaya dinamis merupakan gaya yang terjadi secara tiba-tiba pada struktur.

II.4 Analisa Plastis

II.4.1 Umum

Perencanaan struktur dengan analisa plastis merupakan sebuah cara yang lebih menguntungkan dibandingkan dengan analisa elastis bila digunakan pada balok menerus, portal dengan sambungan kaku dan analisa statis tak tentu lainnya yang biasanya banyak melibatkan tegangan lentur. Dalam analisa struktur biasanya diasumsikan bahwa tegangan yang terjadi masih dalam batas elastis dengan nilai defleksi yang kecil. Hal ini mengakibatkan pemborosan penggunaan material khususnya penggunaan material baja. Ini tentu saja tidak sesuai dengan konsep perencanaan yang menginginkan suatu konstruksi aman dengan penggunaan material seefektif mungkin.

Konsep analisa plastis mulai dikembangkan pada tahun 1930. Dalam analisa plastis apabila suatu struktur diberikan beban, maka tegangan yang terjadi masih dalam batas elastis(belum melampaui momen lelehnya) dan semakin besar penambahan beban serat penampang akan mengalami tegangan leleh dimulai dari penampang dibawah beban hingga seluruh penampang. Pada saat seluruh penampang telah mengalami leleh maka terbentuklah sendi plastis- sendi plastis dan selanjutnya struktur ini akan runtuh.

Terbentuknya sendi plastis ditandai dengan terjadinya rotasi terus menerus dengan momen yang besarnya tetap. Hal ini berarti meskipun terjadi penambahan beban lagi pada struktur tersebut maka tidak terjadi perubahan harga momen. Jika demikian maka kita dapat menentukan harga momen batas yang dapat diterima oleh struktur tersebut.

Pada umumya sendi plastis akan terbentuk lebih cepat pada titik-titik yang memiliki momen terbesar pada struktur tersebut. Beda antara sendi biasa dan sendi plastis adalah pada sendi biasa momen yang bekerja pada sendi adalah nol, sedangkan pada sendi plastis momen yang bekerja pada sendi adalah tetap (MP).

Banyaknya sendi plastis yang dibutuhkan untuk mencapai mekanisme keruntuhan sangat tergantung dari derajat statis tak tentu. Oleh karena itu harus terbentuk dulu beberapa sendi plastis. Untuk mengetahui mekanisme keruntuhan pada suatu struktur maka kita dapat menghitung jumlah sendi plastis yang dibutuhkan untuk mencapai kondisi tersebut. Dalam hal ini dapat dirumuskan : n = r + 1 ... (2.1)

dengan :

n = jumlah sendi plastis untuk runtuh r = derajat statis tak tentu

Dalam analisa plastis, apabila suatu struktur mengalami keruntuhan maka akan memenuhi tiga keadaan berikut :

1. Kondisi leleh ( yield condition)

Pada kondisi ini, ditandai dengan momen dalam yang terjadi pada struktur tersebut tidak lebih besar dari momen plastisnya.

Universitas Sum at era Ut ara

2. Kondisi kesetimbangan (equilibrium condition)

Pada kondisi ini, momen dan gaya dalam yang bekerja pada suatu struktur harus setimbang dengan momen dan gaya luar.

3. Kondisi mekanisme (mechanism condition)

Pada kondisi ini, ditandai dengan terbentuknya sendi plastis yang cukup untuk membuat suatu struktur mengalami keruntuhan.

II.4.2 Teorema Batas Bawah

Teorema batas bawah (lower bound theorem) merupakan teorema yang menghitung distribusi momen yang terjadi pada struktur berdasarkan kondisi kesetimbangan dan kondisi leleh. Faktor beban yang akan dihasilkan , bernilai lebih kecil atau sama dengan harga yang sebenarnya, . Penyelesaian dengan teorema ini mungkin akan benar atau aman.

II.4.3 Teorema Batas Atas

Teorema Batas Atas ( upper bound theorem) menetapkan distribusi momen didapatkan dari kondisi kesetimbangan dan mekanisme. Faktor beban yang dihasilkan, akan lebih besar atau sama dengan harga yang sebenarnya. Hal ini mungkin saja benar atau mungkin tidak aman.

II.4.4 Teorema Unik

Teorema unik (unique theorem) menetapkan distribusi momen harus memenuhin tiga kondisi diatas, yaitu kondisi keseimbangan, kondisi leleh dan kondisi mekanisme. Dengan menggunakan teorema ini akan didapatkan faktor brga sebeban yang sama dengan harga sebenarnya.

Berdasarkan ketiga teorema diatas, terdapat 3 buah metode dalam penyelesaian analisa plastis:

a. Cara grafostatis

Cara ini meliputi penentuan secara grafostatis suatu bidang momen dalam keadaan batas, sehingga dengan momen di setiap penampang tidak melampaui momen batas (M < Mp) , tercapai suatu mekanisme keruntuhan.

b. Cara mekanisme

Cara mekanisme merupakan cara yang lebih cepat untuk mendapatkan hasil dibandingkan dengan cara grafostatis dan cara distribusi momen, terutama pada struktur yang derajat kehiperstatisannya lebih banyak.

c. Cara distribusi momen

Cara distribusi momen ini mirip dengan metode distribusi cara cross, oleh karena itu disebut juga metode distribusi momen plastis.

II.5 Analisa Penampang

Universitas Sum at era Ut ara

Dari gambar 2.2 diatas dapat dilihat bahwa kondisi tegangan pada saat keadaan leleh dan pada saat keadaan plastis pada tampang persegi dengan lebar penampang sebesar B dan tinggi penampang sebesar D.

Untuk modulus elastis My = 2M1 +2M2

= 2 − . − + 2. . . .

= − + . + . . .

= . − + .

= . − .

= . − .

= .

= . ... (2.2) Untuk modulus plastis

Momen plastis merupakan luasan tampang dikali dengan lengan momen sehingga :

Mp = 2. . .

= . ... (2.3)

II.6 Faktor Bentuk (Shape Factor)

Peningkatan kekuatan yang dinyatakan dalam perbandingan antara momen plastis (Mp) dengan momen leleh (My) Perbandingan itu tergantung dari bentuk penampangnya.

= .

. = =

= . ... (2.4) dimana :

f = faktor bentuk (shape faktor)

S = plastic modulus Z = section modulus

Harga dari faktor bentuk (shape faktor) untuk beberapa penampang yang sering dipakai adalah sebagai berikut :

1. Penampang segiempat f = 1,5 2. Penampang segiempat berlubang f = 1,18 3. Penampang segiempat diagonal f = 2,0 4. Penampang lingkaran f = 1,7 5. Penampang lingkaran berlubang f = 1,34 6. Penampang I f = 1,15 7. Penampang segitiga sama kaki f = 2,34

II.7 Sendi Plastis

Sendi plastis merupakan suatu kondisi dimana terjadi rotasi secara terus menerus akibat adanya penambahan beban pada struktur tersebut dan pada kondisi ini nilai momen tidak mengalami perubahan. Pada saat timbulnya sendi plastis pada suatu struktur maka momen yang semula dihitung dengan cara elastis harus dihitung kembali sesuai dengan perubahan sifat konstruksi yang ditimbulkan oleh adanya sendi plastis tersebut.

Universitas Sum at era Ut ara

Gambar 2.3 Balok dengan pembebanan terpusat

Gambar 2.3 merupakan balok dengan penampang L dengan pembebanan terpusat sebesar P, dari gambar diatas maka :

= 1− = ( 1− ) 1− = ( 1− )

=

= √

( ) = √ ... (2.5)

Gambar 2.4 merupakan bentuk grafik yang terjadi akibat beban terpusat yang sehingga terjadi lengkung sendi plastis yang dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.4 Lengkung Sendi Plastis Beban Terpusat

Jika kita tinjau sendi plastis yang terjadi akibat beban terbagi rata pada balok sepanjang L

Gambar 2.5 Balok dengan pembebanan rata

Dari gambar 2.5 yang menggambarkan sebuah balok yang terletak di atas tumpuan sederhana dengan panjang bentang L dikenai pembebanan terpusat seperti tergambar diatas, maka :

= 1−

( ) √

Universitas Sum at era Ut ara

= 1−

1− = ( 1− )

= =

( ) = ... (2.6)

Gambar 2. 6 menunjukkan bahwa akibat beban terpusat yang terjadi lengkung sendi plastis yang terjadi dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.6 Lengkung Sendi Plastis Beban Terbagi Rata

II.8 Metode Elemen Hingga

Konsep dasar yang digunakan pada metode elemen hingga adalah diskritisasi. Proses diskritisasi sendiri tentu saja tidak asing karena kita sering menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh apabila kita ingin menggambarkan keadaan suatu lingkungan di sekitar kita maka kita akan membagi lingkungan tersebut menjadi beberapa bagian.

( )

Selanjutnya kita akan memahami detail dari bagian itu satu per satu misalnya saja apa saja yang ada disana dan apa yang menjadi ciri khas bagian tersebut sehingga kita bisa menggambarkannya secara detail. Lalu kita dapat menggabungkannya untuk menggambarkan lingkungan tersebut secara keseluruhan. Namun tentu saja dalam proses ini kita juga akan membuat kesalahan, karena keterbatasan kita dalam melihat dan memahami lingkungan tersebut sacara keseluruhan.

Konsep inilah yang diterapkan dalam metode elemen hingga, kita dapat membuat penyederhanaan dalam analisis suatu struktur. Metode elemen hingga merupakan salah satu cara untuk melakukan analisa struktur dengan metode perpindahan (displacements). Hal penting yang harus diketahui dalam penerapan metode elemen hingga adalah pembuatan matriks kekakuan struktur. Karena hal yang membedakan metode elemen hingga dengan metode kekakuan adalah matriks kekakuan strukturnya. Pada metode kekakuan pembuatan matriks kekakuan struktur didasari oleh metode konvensional sedangkan metode elemen hingga didasari oleh teori energi.

II.8.1 Pendekatan Umum

Dalam metode elemen hingga terdapat dua pendekatan umum, yaitu : 1. Metode fleksibilitas.

Dalam metode ini variabel yang harus dicari adalah gaya-gaya dalam yang bekerja pada struktur tersebut. Penerapan konsep persamaan keseimbangan dan persamaan kompatibilitas digunakan untuk mendapatkan variabel-variabel tersebut.

Universitas Sum at era Ut ara

Dalam metode ini variable yang harus dicari adalah perpindahan titik simpul.

II.8.2 Matriks Kekakuan Struktur

Kekakuan struktur sendiri terbagi menjadi dua yaitu kekakuan lokal dan kekakuan global. Kekakuan lokal adalah kekakuan yang mengacu kepada sumbu masing-masing elemen sedangkan kekakuan global adalah kekakuan yang mengacu kepada koordinat kartesian.

II.8.2.1 Matriks Kekakuan Struktur Lokal

Dalam menggunakan metode elemen hingga, akan terdapat dua buah titik simpul pada setiap elemen, yaitu simpul awal dan simpul akhir. Penomoran terhadap simpul-simpul ini sangatlah penting dalam membantu menyelesaikan persamaan matriks kekakuan struktur.

Gambar 2.7 Titik Simpul dan Elemen

Gambar 2.7 menunjukkan bahwa titik 1 merupakan titik awal dari elemen tersebut dan titik 2 disebut dengan titik akhir. Jika ditinjau secara linear maka gambar diatas memiliki 2 perpindahan yakni u1 dan u2 atau 2 derajat

kebebasan (degree of freedom).

a 1

Sx1

Sx2

Berdasarkan hokum hooke maka berlaku :

= . ... (2.7) Dimana : =

=

=

= ... (2.8) = ∆ ... (2.9) P = Sx1 = . = . . = .∆ . ... (2.10) ∆ = u1 - u2 ... (2.11)

Jika disubstitusikan persamaan 2.11 ke persamaan 2.10 maka :

= ( − ) ... (2.12) Dengan syarat kesetimbangan Σ = 0

= (− + ) ... (2.13) Jika kita masukkan persamaan 2.12 dan 2.13 diatas ke dalam bentuk matriks, maka :

= 1 −1

−1 1 ... (2.14)

Jika :

{ } = ; [ ] = 1 −1

−1 1 ; { } =

Maka dari persamaan 2.14 :

{ } = [ ] . { } ... (2.15) Dimana : { } =

Universitas Sum at era Ut ara

[ ] =

{ } = ℎ

II.8.2.2 Matriks Kekakuan Struktur Global

Gambar 2.8 Matriks Kekakuan pada Sumbu Global

Gambar 2.8 menunjukkan matriks kekakuan pada sumbu global yang terdiri dari sx, sy dan sz untuk masing-masing gaya yang bekerja pada sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

untuk simpul 1 dapat ditulis persamaan sebagai berikut : { } = = cos −sin

sin cos = [ ] { } ... (2.16)

Untuk simpul 2 juga berlaku persamaan diatas dan nilai sy1 dan sy2 bernilai 0.

Matriks terhadap sumbu kekakuan global :

[ ] =

− − −

− −−

−

− _{... (2.17)}

Sz1

S 1

S 1

Y

X

S 2

S 2

S 2

X Y

Dengan C = cos α dan S = sin α

Selanjutnya hubungan antara perpindahan sumbu lokal dan sumbu global adalah :

{ } = [ ] {ď} = 0 0

0 0 ... (2.18)

II.8.2.3 Matriks Kekakuan Struktur Struktur

Contoh diketahui konstruksi seperti tergambar pada gambar 2.9 yang menunjukkan penomoran pada nodal dan batang pada sebuah struktur portal berlantai 2 dengan perletakan jepit - jepit :

Gambar 2.9 Penomoran untuk nodal dan batang

Berikut disajikan tabel mengenai pemberian simpul setiap elemen: Elemen Simpul 1

(awal)

Simpul 2 (akhir)

a 1 2

b 2 3

F 3 c 4

1 6

X Y

a f

2 5

d b

e M

Universitas Sum at era Ut ara

c 3 4

d 2 5

e 5 4

f 6 5

Tabel 2.1 Defenisi Simpul 1 dan 2 pada Setiap Elemen

Tabel 2.1 menjelaskan mengenai defenisi simpul yang sebelumnya telah dijelaskan, dari tabel dapat dilihat titik yang menjadi simpul awal dan akhir batang pada struktu portal 2 lantai.

Pada elemen a, b, e dan f berlaku [ ] , [ ] , [ ] , dengan = = = = 90 dan pada elemen c dan e berlaku [ ] , [ ] dengan = = 0.

Untuk sistem koordinat X-Y berlaku :

{ } = = = [ ] { } ... (2.19) Untuk memenuhi syarat kompatibilitas, maka :

{ } = { } ... (2.20)

{ } = { } = { } = { } ... (2.21)

{ } = { } = { } ... (2.22)

{ } = { } = { } ... (2.23)

{ } = { } = = { } ... (2.24) = { } ... (2.25) Dan dalam setiap titik simpul harus memenuhi syarat kesetimbangan. Pada titik simpul i berlaku persamaan:

{ } = ... (2.26)

Untuk masing-masing titik simpul berlaku persamaan berikut :

{ } = { } ... (2.27)

{ } = { } = { } = { } ... (2.28)

{ } = { } = { } ... (2.29)

{ } = { } = { } ... (2.30)

{ } = { } = { } = ... (2.31)

{ } = ... (2.32)

Dengan demikian :

{ } = [ ] { } + [ ] { } ... (2.33)

{ } = [ ] { } + [ ] { } ... (2.34)

{ } = [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } ... (2.35)

{ } = [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } ... (2.36)

{ } = [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } ...

{ } = [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + [ ] { } + { } ... (2.37)

{ } = { } + { } ... (2.38) Matriks kekakuan :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧

⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫

=

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

Universitas Sum at era Ut ara

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧

⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫

... (2.39)

Maka didapat persamaan

{ } = [ ] . { }... (2.40) Dimana : { } =

[ ] =

{ } = ℎ

II.8.2 Matriks Kekakuan pada Elemen-Elemen II.8.2.1 Elemen Beam

Elemen beam dengan penampang melintang seperti pada gambar 2.10 di bawah ini dengan penampang uniform dengan gaya-gaya yang berpengaruh seperti yang terlihat pada gambar dibawah ini;

:

Gambar 2.10 .Beam dengan penampang uniform

( Ir. Yerri Susatio.M.T., Metode Elemen Hingga, 2004)

Y2, V2 _M 2, Ѳ 2

x,u

E,I,L y,v

M1, Ѳ 1

Y1, V1

1

Persamaan kesetimbangan beam tanpa beban disajikan dalam persamaan diferensial berikut :

= 0 ... (2.41)

Dimana v(x) adlah defleksi beam, yang merupakan solusi dari persamaan diatas. v(x) dinyatakan dalam bentuk polynomial derajat 3 sebagai berikut:

v(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3 ... (2.42)

dimana koefisien ai akan ditentukan dari kondisi batas dari setiap node seperti yang

dinyatakan di bawah ini :

pada : x = 0 v=v1 dan = Ѳ1

x = L v=v2 dan = Ѳ2

setelah persamaan diatas dideferensialkan terhadap x maka akan diperoleh :

= a + 2 a + 3 a x2 ... (2.43) Jika harga batas yang akan disubstitusikan adalah :

x = 0 ; v = v1 maka v1= a1 ... (2.44)

x = L ; v = v2 maka v2 = a1 + a L + a L2 + 3a L2 ... (2.45)

dan

x = 0 ; = Ѳ1 maka Ѳ1= a2 ... (2.46)

x = L ; = Ѳ2 maka Ѳ2 = a + 2 a L + 3 a L 2

... (2.47) maka dari 4 persamaan masing-masing (2.44),(2.45),(2.46),(2.47) diatas diperoleh persamaan v1, v2, Ѳ1, Ѳ2 yang masing-masing dinyatakan dalam a1, a2, a3,

Universitas Sum at era Ut ara

Ѳ

Ѳ =

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

a a

... (2.48)

Dan persamaan dinyatakan dalam bentuk symbol

{ } = [ ] { } ... (2.49) Maka

{ } = [ ] { } ... (2.50) Sehingga diperoleh :

a a

=

0 0 0

0 0 0

−3

2 −

2 3 −

2

Ѳ Ѳ

... (2.51)

Jika , , , disubstitusikan ke persamaan diferensial diatas maka diperoleh :

v(x) = v1 +x Ѳ - − Ѳ +

− Ѳ + + Ѳ − + Ѳ ... (2.52) Persamaan ini kemudian dapat diubah menjadi :

v(x) = ( ) + ( ) Ѳ + ( ) + ( ) Ѳ ... (2.53) dimana :

( ) = 1− + , ( ) = − + , ( ) = − , ( ) = − − ,

Dimana f (x) adalah shape function untuk interval 0 –L.

Untuk persamaan kekakuan elemen beam, diturunkan dari teorema Castigliano yaitu :

Fi = ... (2.54) Dimana :

F = gaya (Y) atau momen (M) nodal

qi = displacement nodal : jika F = gaya, maka q = displacement translasi

jika F = momen, maka q = displacement rotasi U = energy strain

I = nomor DOF (degree of freedom)

Dan energy strain dari elemen beam yang uniform adalah :

U = ∫ ... (2.55) Jika persamaan beam dideferensialkan dua kali terhadap x maka dihasilkan :

= "( ) + "( ) Ѳ + "( ) + "( ) Ѳ ... (2.56) Sehingga diperoleh :

"( ) = − + 12 , "( ) = − + 6 , "( ) = −12 , "( ) = − + 6 ,

Maka diperoleh Gaya pada node 1 :

Y1 =

= ∫ 2 ∫ 2 ... (2.57) maka

Universitas Sum at era Ut ara

Jika A = ... (2.59) Dan B = = ( "( ) + "( ) Ѳ + "( ) + "( ) Ѳ ) ... (2.60)

Maka :

Y1 = ∫ 2( "( ) + "( ) Ѳ + "( )

+ "( ) Ѳ ) ...(2.61) Sehingga :

Y1 = ∫ (x). f1"( ) + ∫ (x). f2"( ) Ѳ

+ ∫ (x). f3"( )

+ ∫ (x). f4"( ) Ѳ ... (2.62)

Jika :

k11 = ∫ (x). f1"( ) ; k12= ∫ (x). f2"( )

k13 = ∫ (x). f3"( ) ; k14 = ∫ (x). f4"( )

maka :

Y1 = k11 + k12 Ѳ + k13 + k Ѳ ... (2.63)

Momen pada node 1 : M1 =

Ѳ = Ѳ ∫ 2 ... (2.64)

maka : M1 = ∫ 2

Ѳ ... (2.65)

jika : C = ... (2.66)

D =

Ѳ = Ѳ ( "( ) + "( ) Ѳ + "( ) +

"( ) Ѳ ) ... (2.67)

= "( )

jadi :

M1 = ∫ 2 ( "( ) + "( ) Ѳ + "( ) + "( ) Ѳ ) "( )

= ∫ "(x). f1"( ) + ∫ "(x). f2"( ) Ѳ +

∫ "(x). f3"( ) + ∫ "(x). f4"( ) Ѳ ... (2.68)

Jika :

k11 = ∫ "(x). f1"( ) ; k12= ∫ "(x). f2"( )

k13 = ∫ "(x). f3"( ) ; k14 = ∫ "(x). f4"( )

maka:

M1= k21 + k22 Ѳ + k23 + k Ѳ ... (2.69)

Dengan cara yang sama untuk node 2 dapat dihitung Y2 dan M2 sehingga didapat :

k11 = k12 = k13 = − k14 = −

k21 = k22 = k23 = − k24 =

k31 = − k32 = − k33 = k34 = −

k41 = k42 = k43 = − k44 =

sehingga bila disusun ke dalam persamaan matriks, menjadi :

M

M =

12 6 −12 6

6 4 −6 2

−12 6

−6 2

12 −6 −6 4

Ѳ Ѳ

Universitas Sum at era Ut ara

sehingga didapat matriks kekakuan beam adalah :

k =

12 6 −12 6

6 4 −6 ₂

−12 6

−6 2

12 −6

−6 4

... (2.71)

II.8.3 Elemen Beam dengan Beban Terbagi Rata

Sebagai contoh pada gambar 2.11 sebuah balok dengan kedua ujung terjepit dengan beban terbagi rata sebesar w/satuan panjang seperti tergambar di bawah ini

Gambar 2.11 balok dengan beban terbagi rata

Sec ara umum berlaku persamaan :

{ } = [ ] .{ } - { } ... (2.72) Dimana : adalah gaya pada titik simpul akibat beban merata (seperti momen primer dalam metode cross).

Dalam pengerjaannya, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Menentukan nomor simpul pada pemodelan struktur sseperti yang tergambar pada gambar 2.12 dibawah ini

Gambar 2.12 momen primer

2. Menentukan

L w / sat uan panjang

B

L q

1 2

Gambar 2.13 momen primer

Gambar 2.13 menjelaskan momen primer yang terjadi pada beban terbagi rata sehingga nilai dapat diketahui dan analisa dapat dilakukan

3. Menentukan matriks kekakuan

k = =

12 6 −12 6

6 4 −6 2

−12 6

−6 2

12 −6

−6 4

4. Menentukan gaya batang menurut pemodelan ke-2; syarat batas (boundary condition); dan menentukan gaya dalam sebelum dikurangi .

5. Menentukan gaya dalam setelah dikurangi .

Gambar 2.14 Gaya Dalam yang Terjadi

Gambar 2.14 menjelaskan nilai gaya-gaya dalam yang terjadi setelah gaya dalam dikurangi dengan nilai . Akibat pembebanan terbagi rata.

Tabel 2.2 gaya reduksi

1/ 12 qL2 1/ 12 qL

2

Universitas Sum at era Ut ara

( )

6 ( 2 + )

Fx 1−

20 ( 7 + 3 ) Fy 1− 1 + 2 6 1−

60 ( 3 + 2 ) Fy 1− − 1− 3 −1

6 ( + 2 )

Fx

20 ( 3 + 7 ) Fy 3−2 + 6 1−

−₆₀ ( 2 + 3 ) -Fy 1− − 2−3

Tabel 2.2 menjelaskan gaya-gaya reduksi pada arah x, y dan z yang terjadi pada pembebanan yang terjadi pada pembebanan seperti yang tertera di dalam tabel tersebut/.

F F a

L

q q

q

q

II.8.4 Elemen Truss/Rangka

Dari gambar yang menerangkan elemen batang dengan penampang melintang konstan yang dikenai gaya T.

Gambar 2.14 Elemen Batang yang Dipengaruhi Gaya Luar T, Gaya dan Perpindahan Nodal Positive Berada dalam Sumbu x

(Daryl L. Logan, A First Course in The Finite Element Method)

Berdasarkan gambar 2.14 diatas kita dapat melihat pemakaian dua sistem koordinat, yaitu sistem koordinat lokal (ẋ,ỳ) yang berlaku hanya untuk elemen tersebut dan koordinat global (x,y)yang berlaku untuk semua elemen yang ada (struktur). Dengan anggapan bahwa elemen batang memiliki penampang melintang A yang konstan, modulus elastisitas E, dan panjang L. dan nodal derajat kebebasan yang disimbolkan dengan , .

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam menurunkan persamaan adalah elemen hanya menerima beban dari arah horizontal sehingga , bernilai nol,

Ѳ L

2

Ѳ

T

, ỳ

y

x ,

Universitas Sum at era Ut ara

semua perpindahan yang terjadi selain arah panjang elemen diabaikan dan elemen mengikuti hokum linear = . .

Bila terdapat pengaruh gaya luar yang disimbolkan dengan F, maka

= . . = . .

= . ... (2.73) k= . = koefisien kekakuan pegas

E = modulus elastisi

A = luas penampang melintang L = panjang elemen

.perhatikan kembali gambr diatas, berdasarkan persamaan diperoleh

= . . ( − ) ... (2.74)

= . . ( − ) ... (2.75) Dalam bentuk matriks maka kedua persamaan diatas menjadi :

= . 1 −1

−1 1 ... (2.76)

Karena f = k.d, dari persamaan diatas = . 1 −1

−1 1 ... (2.77)

II.8.5 Elemen Frame

Portal/frame merupakan gabungan dari elemen beam dengan elemen bar/truss sehingga matriks kekakuan lokal pada portal dibentuk dari kedua persamaan diaatas sehingga menghasilkan matriks kekakuan untuk frame adalah :

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 − 0 0 − − 0 0 0 0 0 − − 0 − 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ... (2.78)

Universitas Sum at era Ut ara

BAB III

ANALISA PLASTIS PADA STRUKTUR PORTAL

III.1 ANALISA PLASTIS DENGAN MEKANISME

Analisa plastis pada umumnya dapat digunakan untuk meramalkan berapa besar beban runtuh (ultimate load) pada suatu struktur. Besarnya beban tersebut dapat diketahui dengan mengamati perilaku keruntuhannya yang ditandai dengan gaya-gaya dalam yang melebihi batas elastis dan terjadi defleksi yang cukup besar.

Pada analisa plastis portal dengan menggunakan cara mekanisme kita dapat menentukan momen akhir dengan lebih cepat meskipun semakin banyak derajat statis tak tentu pada suatu konstruksi maka kemungkinan bentuk mekanisme runtuhnya juga semakin banyak. Dengan cara ini kita menentukan kemungkinan-kemungkinan mekanisme yang terjadi dan menentukan beban batas dari setiap kemungkinan.

Prosedur perhitungan dengan cara mekanisme adalah sebagai berikut :

1. Tentukan letak sendi plastis yang mungkin terjadi pad struktur tersebut (sendi plastis umumnya terjadi pada puncak momen).

2. Lakukan mekanisme yang mungkin, baik mekanisme tunggal maupun mekanisme gabungan.

3. Pecahkan persamaan kesetimbangan

4. Cek apakah faktor beban yang didapat aman atau tidak untuk digunakan

III.1.2 Analisa Plastis pada Frame

Untuk mendapatkan momen plastis maksimum dilakukan analisa plastis dengan menggunakan cara mekanisme. Adapun jenis mekanisme yang digunakan yaitu : a. Mekanisme balok yang terjadi bila gaya vertikal lebih besar daripada gaya

horizontal,

b. Mekanisme goyang yang terjadi bila gaya horizontal lebih besar daripada gaya vertikal,

c. Mekanisme kombinasi merupakan kombinasi antara mekanisme balok dan mekanisme goyang,

Gambar A. mekanisme balok : B. mekanisme goyang : C. mekanisme kombinasi

Universit as Sum atera Ut ara

Gambar 3.1 menjelaskan mekanisme-mekanisme apa saja yang dapat terjadi pada portal seperti mekanisme pada balok, mekanisme goyang dan mekanisme kombinasi akibat kedua mekanisme sebelumnya.

Lokasi sendi plastis di persambungan (joints) pada portal dimana elemen-elemen yang memiliki kapasitas yang berbeda bertemu pada titik persambungan, maka sendi plastis akan terbentuk pada elemen yang paling lemah. Sebagai contoh:

Gambar 3.2 letak sendi plastis pada titik join portal

Gambar 3.2 menjelaskan bahwa sendi plastis terjadi di kolom dan bukan pada balok karena elemen kolom lebih kuat daripada elemen balok. Namun pada kenyataannya, keadaan seperti ini harus dihindari karena plastifikasi pada balok pada dasarnya menghasilkan perilaku yang lebih daktil dibandingkan dengan perilaku plastifikasi pada kolom.

III.2 Analisa Beban Runtuh (Collapse)

Sesuai dengan penjelasan sebelumnya bahwa pada teori plastis faktor beban atau yang disebut juga dengan faktor keamanan merupakan hasil pembagian antara momen plastis atau kapasitas beban maksimum dengan momen elastis atau momen yang bekerja.

Sebagai contoh sebuah balok dengan kedua ujung terjepit seperti di bawah ini

Gambar 3.3 Balok yang Terjepit pada Kedua Ujungnya

Pada gambar 3.3 diatas sampai dengan beban tertentu, struktur masih bersifat elastis. Maka besar momen di tumpuan adalah Ma=Mb=wL2/12 dan momen di tengah bentang sebesar Mc= wL2/24. Selanjutnya apabila pada struktur tersebut diberi tambahan beban hingga terbentuk momen plastis pada kedua tumpuan A dan B hingga mengakibatkan terbentuknya sendi plastis pada kedua ujung tumpuan.

Kemudian dengan penambahan beban berikutnya, nilai kedua momen di tumpuan ini tidak berubah namun terjadi rotasi pada titik ini. Keadaan ini menggambarkan struktur berubah ke dalam keadaan statis tertentu dengan momen tumpuan bernilai nol dan momen di tengah bentang sebesar w’L2/8. Dengan w’ sebagai faktor beban yang baru setelah terbentuknya sendi plastis.

Maka momen ditengah bentang akan menjadi maksimum bila momen bernilai Mp/2 + w’L2/8 dimana momen ini akan menjadi sama dengan kapasitas momen plastis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa besar beban runtuhnya adalah 16 Mp/ L2.

Bila telah terbentuk 3 buah sendi plastis pada struktur ini maka struktur ini akan runtuh (collapse).

L w / sat uan panjang

Universitas Sum at era Ut ara

Gambar 3.4 kondisi pertama peningkatan momen dalam

Gambar 3.4 menjelaskan mengenai kondisi pertama setelah terjadi peningkatan momen dalam akibat terbentuknya sendi plastis pertama.

Gambar 3.5 kondisi kedua peningkatan momen dalam

Gambar 3.5 menjelaskan mengenai kondisi kedua setelah terjadi peningkatan momen dalam akibat terbentuknya sendi plastis kedua. Adapun dari analisa tersebut kita dapat mengetahui formulasi dan besaran beban runtuh (collapse) secara langsung.

III.3 Analisa Plastis dengan Metode Elemen Hingga

Penggunaan metode elemen hingga dalam penyelesaian masalah – masalah dalam struktur telah banyak digunakan. Metode elemen hingga yang digunakan adalah metode elemen hingga untuk elemen plane frame dimana gaya yang bekerja pada struktur yang diperhitungkan hanya terbatas pada gaya normal, gaya lintang dan momen pada arah z.

Dalam tugas akhir ini, metode elemen hingga digunakan untuk menganalisis momen yang terjadi agar tidak melebihi kapasitas momen plastisnya. Jika terbentuk

wL2/12

wL2/8

Mp/2 L

w/satuan panjang

wL2/8 Mp

L

Mp

sendi plastis di salah satu atau kedua ujung batang, maka matriks kekakuan diubah agar momen lentur di sendi tersebut tetap bernilai nol. akibat struktur mengalamit keruntuhan maka akan didapatkan nilai faktor beban runtuhnya ( ).

Dalam penyiapan data dan penentuan model dalam metode elemen hingga ini, pertama-tama buat pemodelan struktur dengan pembebanannya lalu beri penomoran terhadap elemen dan titik nodal.

Setelah melakukan sejumlah analisa dengan memperhatikan kapasitas momen di seluruh ujung penampang batang . bila kapasitas momen dilampaui, maka kita berikan satu buah sendi plastis pada penampang tersebut dan kemudian struktur dimodifikasi dengan pemberian beban tambahan selanjutnya hingga:

1. matriks kekakuan menjadi singular yaitu, determinan bernilai nol ataupun sangat kecil

2. terdapat elemen diagonal matriks yang sama dengan nol

3. lendutan sangat besar, yakni menunjukkan terjadinya suatu mekanisme yang menunjukkan terjadinya keruntuhan lokal ataupun total.

Matriks kekakuan struktur untuk kombinasi titik ujung dalam menentukan sendi plastis adalah :

1. Sendi di ujung kiri, gaya dan perpindahan dihubungkan oleh :

Universitas Sum at era Ut ara ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 − 0 0 − − 0 0 0 0 0 − − 0 − 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ... (3.1)

Karena momen lentur di sendi harus bernilai nol ( = 0), maka :

+ − + = 0 ... (3.2)

= − + − ... (3.3) Berdasarkan perkalian matriks maka didapatkan persamaan sebagai berikut :

= − ... (3.4)

= + − + ... (3.5)

= 0 ... (3.6)

= − + ... (3.7)

= − − + − ... (3.8)

= + − + ... (3.9)

Untuk membentuk matriks kekakuan struktur dengan sendi plastis di ujung kiri, maka : Substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.4), sehingga:

= − ... (3.10) Substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.5), sehingga:

= + − + − − + ... (3.11)

= + − + − − + ... (3.12)

= − + ... (3.13)

= − + ... (3.14) Substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.6), sehingga:

= − +

Substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.7), sehingga:

= − − − + − + − ... (3.15)

= − − − + − + − ... (3.16)

= − + − ... (3.17)

= − − ... (3.18) Substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.8), sehingga:

= + − + ... (3.19)

= + − + − − + ... (3.20)

= + − + − − + ... (3.21)

= − + ... (3.22)

= − + ... (3.23)

Maka didapat persamaan :

= − ... (3.24)

Universitas Sum at era Ut ara

= 0 ... (3.26)

= − + ... (3.27)

= − − ... (3.28)

= − + ... (3.29) Dari persamaan di atas, maka :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 − 0 0 − 0 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ... (3.30)

Sehingga diperoleh matriks kekakuan sebagai berikut :

[ ]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 − 0 0 − 0 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ... (3.31)

2. Sendi di ujung kanan, gaya dan perpindahan dihubungkan oleh :

{ } = [ ] .{ } ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 − 0 0 − − 0 0 0 0 0 − − 0 − 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ... (3.32)

Karena momen lentur di sendi harus bernilai nol ( = 0), maka :

+ − + = 0 ... (3.33) = − + −2 ... (3.34) Dengan cara yang sama didapat matriks kekakuan sebagai berikut:

[ ]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 − 0 0 0 − 0 − 0 0 0 0 0 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ... (3.35)

3. Sendi di kedua ujung

{ } = [ ] . { } ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 − 0 0 − − 0 0 0 0 0 − − 0 − 0 0 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ .... (3.36)

Karena momen lentur di sendi kanan dan kiri harus bernilai nol ( = = 0), maka : [ ]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ... (3.37)

Universitas Sum at era Ut ara

Tahap 1 : analisa dillakukan dengan pembebanan yang telah direncanakan sebelumnya. Dari hasil analisa yang didapat untuk tahap 1 didapat nilai momen ujung { } dan faktor beban sebesar

Tahap 2 : portal kemudian dimodifikasi dengan sendi di ujung kiri penampang batang untuk tingkat 1 dengan memasukkan matriks kekakuan struktur yang telah dipaparkan sebelumnya. Dari hasil analisa yang didapat untuk tahap 2 didapat nilai momen ujung { } dan faktor beban sebesar .

{ } = { + . }

Tahap 3 : untuk selanjutnya lakukan analisis pada portal dengan menambahkan sendi plastis hingga didapat faktor beban dari portal tersebut.

Pc = { + + …. . + }

BAB IV

ANALISA PLASTIS PADA PORTAL

Data-data yang digunakan dalam analisa ini adalah sebagai berikut: 1. Panjang total portal (L) : 10 m

2. Tinggi total portal (h) : 8 m 3. Jarak antar portal : 4 m

4. Tegangan leleh baja (fy) : 2400 kg/cm2

5. Tebal pelat beton : 12 cm 6. Berat sendiri balok profil IWF : 94 kg/m2 7. Berat sendiri kolom profil IWF : 107 kg/m2 8. Berat plafon : 11 kg/m2 9. Berat spesi/adukan semen : 21 kg/m2 10.Berat tegel : 24 kg/m2 11.Dinding pas. Batu merah 1/2 bata : 250 kg/m2

Universitas Sum at era Ut ara

Gambar 4.1 Struktur Portal yang Direncanakan

Gambar 4.1 menjelaskan struktur portal yang direncanakan yang akan dianalisa dengan lebar bentang L sebesar 10 meter dan tinggi tiap lantai 4 meter. Portal yang dianalisa adalah portal sederhana dua lantai.

Gambar 4.2 Struktur Portal dan Daerah Pembebanan untuk 1 Portal

Gambar 4.2 mengambarkab struktur portal dan daerah pembebanan untuk portal yang dianalisa dengan lebar bentang 10 meter dan panjang 8 meter.

IV. 2 MENGHITUNG BERAT SENDIRI

Yang termasuk dalam beban mati/beban sendiri antara lain: berat sendiri profil, berat sendiri pelat beton, berat plafon, berat spesi dan berat tegel.

 Berat sendiri profil balok : 94 kg/m

 Berat sendiri pelat beton

0.12 x 2400 kg/m2 x 4 m : 1152 kg/m

 Berat dinding pas. Batu merah 1/2 bata

250 kg/ m2 x 4m : 1000kg/m

 Berat plafon

11 kg/m2 x 4 m : 44 kg/m

 Berat spesi 1 cm

21 kg/m2 x 4 m : 84 kg/m

 Berat tegel 1 cm

24 kg/m2 x 4 m : 96 kg/m

Dari perhitungan diatas maka total beban mati adalah sebesar 2470 kg/m

IV. 3 MENGHITUNG BEBAN HIDUP

Untuk lantai 1 berdasar Peraturannn Pembebanan Indonesia untuk Gedung 1983 dengan fungsi perkantoran adalah 250 kg/m2 x 4 m = 1000 kg/m

Untuk lantai 2 berdasar Peraturan Pembebanan Indonesia untuk Gedung 1983 dengan fungsi perkantoran adalah 100 kg/m2 x 4 m = 400 kg/m

Universitas Sum at era Ut ara

IV. 4 MENGHITUNG BEBAN GEMPA

Untuk menghitung beban gempa yang terjadi pada portal, mengacu pada SNI-1726-2002

 Perhitungan berat bangunan tiap lantai - Lantai 1

Balok IWF 94 kg/m x 10 m 940 kg

Pelat beton 1152 kg/m x 10 m 11520 kg

Dinding 1000 kg/m x 10 m 10000 kg

Plafon 44 kg/m x 10 m 440 kg

Spesi 84 kg/m x 10 m 840 kg

Tegel 96 kg/m x 10 m 960 kg

Kolom IWF 107 kg/m x 4 m x 4 1712 kg

30% reduksi beban hidup

1000 kg/m x 10 m x 0.3

3000 kg

- Lantai atap

Balok IWF 100 kg/m x 10 m 1000 kg

Pelat beton 1152 kg/m x 10 m 11520 kg

Plafon 44 kg/m x 10 m 440 kg

Kolom IWF 107 kg/m x 4 m x 4 1712 kg

30% reduksi beban hidup

400 kg/m x 10 m x 0.3

1200 kg

Maka total berat bangunan lantai dan atap : 45284 kg

IV.4.1 Perhitungan V (beban geser dasar nominal static ekivalen)

Dari SNI 1726-2002 Gambar 2 mengenai respons spectrum gempa rencana, jika direncanakan struktur terletak pada wilayah gempa 3 pada kondisi tanah sedang maka nilai :

Ci = . ; dengan T = 0.085

T = 0.085

T = 0.085

T = 0.40433 Ci = . = .

. = 0.81617

=

Dimana:

V = beban geser dasar nominal statik ekivalen (kg) Ci = Faktor respons gempa

I = faktor keutamaan bangunan(1.0 untuk bangunan perkantoran) R= faktor reduksi gempa

Wt = berat total bangunan (kg) Maka:

=

= 0.81617 1

4.5 45284

= 8213.21 IV. 4.2 Perhitungan distribusi Fi

=

∑

Universitas Sum at era Ut ara

Lantai ke- hi (m) Wi (kg) Wi x hi (kg.m) Fi (kg)

2 8 15872 126976 4263.198

1 4 29412 117648 3950.012

= 45284 244624 8213.21

IV.5 Penomoran pada struktur

Gambar 4.3 Penomoran Struktur

Gambar 4.3 menggambarkan penomoran struktur pada portal yang akan dianalisa, dari gambar dapat diketahui terdapat 5 elemen batang dan 6 titik nodal.

IV.6 Analisa Plastis dengan Mekanisme

Dalam analisa ini akan diperhitungkan beban mati, beban hidup dan beban gempa yang terjadi pada struktur.

Gambar 4.4 pembebanan pada struktur portal

Keterangan:

Besar q dead yang bekerja : 2.47 T/m Besar q live atap yang bekerja : 0.4 T/m Besar q live lantai yang bekerja : 1 T/m

Besar p quake lt. 1yang bekerja : 3.950012 T/m Besar p quake lt. 2 yang bekerja : 4.263198 T/m

Universitas Sum at era Ut ara

Gambar 4.4 merupakan pembebanan yang direncanakan pada portal yang kan dianalisa. Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa portal dengan bentang 10 meter dan tinggi tiap lantai 4 meter seperti gambar diatas memikul beban mati, beban hidup dan juga beban gempa

Mekanisme yang terjadi akibat pembebanan di atas adalah: 1.

Gambar 4.5 mekanisme balok lt.2 akibat beban terbagi rata

Kerja Dalam :

= 4 x (Mp ) = 4 Mp

Kerja Luar :

= γ q dead x ½ 10 m x 5 m + γ q live atap x ½ 10 m x 5 m

= γ 2.47 T/m x 5 m x 5 m + γ 0.4 T/m x 5m x 5 m

= 71.75 γ T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

4 Mp = 71.75 γ T/m 4 . 52.731. = 71.75 γ = .

2.

Universitas Sum at era Ut ara

Kerja Dalam :

= 4 x (Mp ) = 4 Mp

Kerja Luar :

= γ q dead x ½ 10 m x 4 m + γ q live lantaix ½ 10 m x 4 m

= γ 2.47 T/m x 5 m x 5 m + γ 1T/m x 5m x 5 m

= 86.75 γ T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

4 Mp = 86.75 γ T/m 4 . 52.731 = 86.75 γ = .

3.

Gambar 4.7 mekanisme balok lt.1 & 2 akibat beban terbagi rata

Kerja Dalam :

= 8 x (Mp ) = 8 Mp

Kerja Luar :

= 2(γ q dead x ½ 10 m x 5 m ) + γ q live atap x ½ 10 m x 5 m + γ q live lantai x ½ 10 m x 5 m

= 2(γ 2.47 T/m x 5 m x 5 m )+ γ 0.4 T/m x 5m x 5 m + γ 1 T/m x 5m x 5 m

= 158.5 γ T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

8Mp = 158.5 γ T/m 8. 52.731 = 158.5 γ = .

Universitas Sum at era Ut ara

4.

Gambar 4.8 mekanisme goyang lt. 2 akibat beban gempa

Kerja Dalam :

= 4 x (Mp ) = 4 Mp

Kerja Luar :

= (γ p quake lt. 2 x 4 m )

= γ 4.263198 T/m x 4 m

= 17.053 γ T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

4Mp = 17.053 γ T/m 4. 76.16196 = 17.7442 γ

= .

5.

Gambar 4.9 mekanisme goyang lt. 1 akibat beban gempa

Kerja Dalam :

= 4 x (Mp ) = 4 Mp

Universitas Sum at era Ut ara

Kerja Luar :

= (γ p quake lt. 1 x 4 m ) + (γ p quake lt. 2 x 4 m ) = γ 3.950012 T/m x 4 m + γ 4.263198 T/m x 4 m

= 15.800048 γ T/m + 17.052792 γ T/m = 32.85284 T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

4Mp = 32.85284 T/ mγ T/m 4. 76.16196 = 32.85284 T/m γ = .

6.

Gambar 4.10 mekanisme goyang lt. 1 akibat beban gempa

Kerja Dalam :

= 8 x (Mp ) =8 Mp

Kerja Luar :

= (γ p quake lt. 1 x 4 m ) + (γ p quake lt. 2 x 4 m ) = γ 3.950012 T/m x 4 m + γ 4.263198 T/m x 4 m

= 15.800048 γ T/m + 17.052792 γ T/m = 32.85284 T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

8 Mp T/ m = 32.85284 γ T/m 8. 76.16196 = 32.85284 γ

Universitas Sum at era Ut ara

7

Gambar 4.11 mekanisme Kombinasi akibat beban gempa & terbagi rata Kerja Dalam :

= 4 x (Mp ) + 4 x (Mp ) = (4 x 76.16196. + 4 x 52.731) = 515.57184

Kerja Luar :

= (γ q dead x ½ 10 m x 5 m ) + γ q live lant ai x ½ 10 m x 5 m + (γ p quake lt. 2 x 4 m ) + (γ p quake lt. 1 x 4 m )

= (γ 2.47 x 5m x 5 m ) + γ 1 x 5 m x 5 m + γ 4.263198 T/m x 4 m + γ 3.950012 T/m x 4 m

= 119.60284 γ T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

515.57184 = 119.60284 γ T/m 515.57184 . = 119.60284 γ

= .

8.

Gambar 4.12 mekanisme Goyang akibat beban gempa

Kerja Dalam :

= 4 x (Mp ) + 2 x (Mp ) = (4 x 76.16196 + 2 x 52.731) = 410. 10984 T/m

Universitas Sum at era Ut ara

Kerja Luar :

= (γ p quake lt. 1 x 4 m ) + (γ p quake lt. 2 x 4 m ) = γ 3.950012 T/m x 4 m + γ 4.263198 T/m x 4 m

= 15.800048 γ T/m + 17.052792 γ T/m = 32.85284 T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

410. 10984 T/m= 32.85284 γ T/m

410.10984 = 32.85284 γ

= .

9.

Gambar 4.13 mekanisme Goyang akibat beban gempa Lt. 1

Kerja Dalam :

= 2 x (Mp ) + 2 x (Mp ) = (2 x 76.16196 + 2 x 52.731 ) = 257.78592 T/m

Kerja Luar :

= (γ p quake lt. 1 x 4 m ) + (γ p quake lt. 2 x 4 m ) = γ 3.950012 T/m x 4 m + γ 4.263198 T/m x 4 m

= 15.800048 γ T/m + 17.052792 γ T/m = 32.85284 T/m

Persamaan Keseimbangan Kerja dalam = Kerja luar

257.78592 T/m = 32.85284 γ T/m

257.78592 = 32.85284 γ

Tabel 4.11Momen Ujung pada Akhir Tahap 7 Batan g Ujung Batang Kapasitas Momen Plastis Mp – l M6

Momen setelah dimodifikasi Mu7 Pengali Beban Jumlah Tahap pada saat sendi terbentuk 0.1167 Mu7 Momen akhir tahap M7

a 1

2 0 0 0 0 4 5 0 0 76.169 76.169

b 1

2 0 0 0 0 6 2 0 0 76.1631 76.163

c 1

2

0 49.48497

0 -24.65897

3 0

-2.8777

52.731 0.368233

d 1

2

0 43.0779

0

-20.7199146

1 0

-2.41801

52.7309 7.235088

e 1

2 35.37146 18.16986 0.73897002 16.313822 0.086238 1.903823 40.876738 59.895923

f 1

2

21.90616 6.69657

-24.513907

57.3667474 0.1167 7

-2.86077 6.694699

51.3950271 76.160089

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa bila Pc = 0.1167 maka akan terbentuk sendi plastis titik 1 elemen f.

Dengan memasukkan sendi keltujuh pada portal, suatu mekanisme terbentuk dan tidak ada lagi analisa yang dapat dilakukan karena bila analisa terus dilakukan maka akan diperoleh lendutan yang sangat besar (dan tidak sesuai dengan teori perubahan bentuk kecil)

Beban runtuh dari struktur diatas adalah :

= ( + + + + + + )

= 1.55194 + 1.1766 + 0.19702 + 0.60772 + 1.3958 + 0.1704 + 0.1167

Universitas Sum at era Ut ara Gambar 4.20 sendi-sendi plastis pada portal dengan metode elemen hingga

Gambar 4.20 menunjukkan letak sendi plastis yang terbentuk akibat analisa dengan metode elemen hingga. Dengan metode elemen hingga dapat diketahi urutan dari terbentuknya sendi plastis sampai mencapai kondisi keruntuhan. Kondisi keruntuhan dicapai saat sendi plastis ketujuh terbentuk.

Setelah terbentuknya sendi plastis, matriks kekakuan harus dimodifikasi sehingga bernilai nol agar memenuhi syarat bahwa momen harus bernilai nol pada sendi plastis. Modifikasi matriks kekakuan struktur disesuaikan dengan persamaan 3.31 , 3.35 dan 3.36.

BAB V DISKUSI

Metode plastis merupakan metode desain struktur yang memperhitungkan keruntuhan diakibatkan terbentuknya sendi plastis. Pada perencanaan ini digunakan analisa plastis dengan mekanisme dan metode elemen hingga. Struktur portal mengalami keruntuhan dengan faktor beban runtuh sebesar = 5.21618 dengan perhitungan metode elemen hingga sedangkan dengan menggunakan metode mekanisme didapat beban runtuh sebesar 2.431 < < 6.3928. Dari hasil yang didapat dapat dilihat bahwa nilai faktor beban runtuh yang didapat dengan metode elemen hingga masih termasuk dalam nilai faktor beban runtuh yang dicari dengan mekanisme.

Faktor beban yang didapat dengan metode mekanisme merupakan nilai yang didapat dengan teorema batas bawah (lower bound theorem) dan teorema batas atas (upper bound theorem) dimana nilai batas bawah mungkin akan benar atau aman dan batas atas mungkin akan benar atau mungkin tidak aman, sedangkan faktor beban yang didapat dengan metode elemen hingga didapatkan nilai mutlak

Universitas Sum at era Ut ara BAB VI

KESIMPULAN DAN SARAN V.1 KESIMPULAN

Setelah perhitungan analisa plastis terhadap portal dengan cara mekanisme dan metode elemen hingga, ada beberapa kesimpulan yang diperoleh dalam mencari faktor beban yaitu:

1. Sesuai dengan perhitungan yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa struktur portal mengalami keruntuhan dengan faktor beban runtuh sebesar = 5.21618 dengan perhitungan metode elemen hingga sedangkan dengan menggunakan metode mekanisme didapat beban runtuh sebesar 2.431 < < 6.3928 Dari hasil yang didapat dapat dilihat bahwa nilai faktor beban runtuh yang didapat dengan metode elemen hingga masih termasuk dalam nilai faktor beban runtuh yang dicari dengan mekanisme.

2. Faktor beban yang didapat dengan metode mekanisme merupakan nilai yang didapat dengan teorema batas bawah (lower bound theorem) dan teorema batas atas (upper bound theorem) dimana nilai batas bawah mungkin akan benar atau aman dan batas atas mungkin akan benar atau mungkin tidak aman, sedangkan faktor beban yang didapat dengan metode elemen hingga didapatkan nilai mutlak.

3. Dengan pertambahan beban yang dilakukan dengan modifikasi struktur pada metode elemen hingga, struktur mengalami keruntuhan setelah terbentuknya sendi plastis ketujuh portal 2 tingkat dengan perletakan jepit-jepit merupakan derajat statis tak tentu 6 dan sendi-sendi plastis yang terbentuk yaitu pada titik D (1), B (2), C (1), A(1), A(2), B (1), F (1).

4. Dengan metode elemen hingga maupun dengan metode mekanisme kita dapat mengetahui proses terbentuknya sendi plastis dan dengan analisa metode elemen hingga kita dapat melihat proses terbentuknya sendi plastis pada struktur.

5. Perencanaan struktur menggunakan prinsip “Strong Column Weak beam” terpenuhi karena angka perbandingan antara rasio Mp pada kolom dengan Mp pada balok adalah sebesar 1.444349. Sesuai dengan Biondi. 2011. Perencanaan Portal Baja 4 Lantai dengan Metode Plastisitas dan Dibandingkan dengan metode LRFD yang mengatakan bahwa rasio Mp pada kolom dengan Mp pada balok adalah sebesar 1.217.

V.2 SARAN

Dalam analisa plastis selanjutnya dapat dikembangkan untuk struktur dangan pembebanan yang lebih kompleks serta penggunaan program FEM untuk perbandingan hasil analisa yang diperoleh.

Universitas Sum at era Ut ara

DAFTAR PUSTAKA

Desai, C. S. Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Jakarta : Erlangga.

Halawa, Auguslin Sabtian. Analisa P collapse pada Gable Frame dengan Inersia yang Berbeda dengan Plastisitas Pengembangan dari Finite Element Method. (Tugas Akhir). Medan: Fakultas Teknik USU

Pedoman Perencanaan Pembebanan untuk Rumah dan Gedung. 1987. Jakarta : Departemen Pekerjaan Umum

Schodec, Daniel L. Struktur.1998. Bandung : PT. Refika Aditama

Surbakti, Besman. “Catatan Kuliah Plastisitas Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik USU”. Unpublished.

Susatio, Yerri. Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. 2004. Yogyakarta: Andi Tarigan, Johannes. “Dasar-dasar Metode Elemen Hingga” Unpublished

Wahyudi, Laurentius dan Sjahrir A.Rahim. Metode Plastis Analisa dan Desain. Jakarta : Gramedia Pustaka Utama.

Warsito, Joko Teguh. Analisa Perbandingan Beban Batas dan Beban Layan (Load Factor) dalam Pembentukan Sendi-Sendi Plastis pada Struktur Gelagar Menerus. (Tugas Akhir). Medan: Fakultas Teknik USU

Wulandary, Rhiny, 2005. Perencanaan Beam Column Berdasarkan Metode Plastis (Tugas Akhir). Medan: Fakultas Teknik USU

Biondi. 2011. Perencanaan Portal Baja 4 Lantai dengan Metode Plastisitas dan Dibandingkan dengan metode LRFD. Medan: Fakultas Teknik USU