SOAL HARI PERTAMA ( SELEKSI TINGKAT NASIONAL )

A. SOAL HARI PERTAMA ( SELEKSI TINGKAT NASIONAL )

(oleh Tutur Widodo)

1. Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga fx ()2 + f   = 3 x untuk setiap x ≠

 x

0. Carilah nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x)

Jawab:

1 Untuk sebarang bilangan real y ≠

0, substitusikan nilai x = y dan x = y

sehingga berturut-turut diperoleh

fy () + 2 f  = 3 y …… (1)

 y

f  + 2 fy () =

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

3 fy () =− 3 y ⇔

fy () =− y

Dari sini diperoleh

f (x) = f(–x) ⇔

−=−+ x x

2x x

⇔ 2 x =2 → (x = − 2 atau x = 2)

Jadi, nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x) adalah x = − 2 atau x = 2.

2. Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC. Jika ∠ ABC + 30 °≤∠ ACB , buktikan bahwa ∠ COP + ∠ CAB < 90 ° .

Jawab:

Siap OSN Matematika SMP 297

Perpanjang garis BO sehingga memotong lingkaran di titik E (seperti terlihat pada gambar). Perhatikan bahwa BE adalah diameter lingkaran luar ∆ ABC . Hal ini berakibat ∠ BAE = 90 ° .

Oleh karena itu, untuk membuktikan ∠ COP + ∠ CAB < 90 ° cukup bahwa ∠ COP < ∠ CAE . Akan tetapi ∠ CAE = ∠ CBE = ∠ OCP . Sehingga cukup ditunjukkan ∠ COP < ∠ OCP . Atau setara dengan menunjukkan CP < OP.

Untuk menunjukkan CP < OP tambahkan beberapa titik bantu yaitu titik Q pada sisi BC sehingga OQ ⊥ BC dan titik R pada ruas garis AP sehingga OR ⊥ AP (sperti pada gambar di bawah ini). Diperoleh OQPR berupa

persegipanjang dengan PQ = QR dan PR = OQ.

298 Wahyu

Perhatikan bahwa

Selain itu

∠ CAP = 90 ° – ∠ ACB

Dari kedua hasil di atas diperoleh ∠ PAO = ∠ CAO – ∠ CAP = (90 – ∠ ABC ) – (90 ° – ∠ ABC )= ∠ ACB – ∠ ABC

Dan karena ∠ ABC + 30 °≤∠ ACB berakibat ∠ PAO ≥ 30 ° .

Sehingga diperoleh

OR = OA ⋅ sin ∠ PAO ≥

OA

Ingat kembali bahwa PQ = OR sehingga

Dengan menggabungkan fakta bahwa CQ < OC, CQ = CP + PQ dan PQ ≥ OC

dapat disimpulkan CP < PQ. 2

Sehingga diperoleh

CP < PQ < OP

Seperti apa yang diharapkan. Jadi, terbukti ∠ COP + ∠ CAB < 90 ° .

3. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2.

Jawab:

Tanpa mengurangi keumumam misalkan 1 < a < b < c. karena abc membagi habis ab + bc + ca + 2 itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian sehingga

ab + bc + ca + 2 = k ⋅ abc

dari persamaan (1) diperoleh

Siap OSN Matematika SMP 299 Siap OSN Matematika SMP 299

a b c abc

mengingat 1 < a < b < c diperoleh

sehingga nilai k yang mungkin hanya k = 1. Selain itu jika a ≥ 3 diperoleh

Yang jelas tak mungkin karena k bilangan asli. Jadi, diperoleh a = 2. Dengan mengsubstitusikan nilai k = 1 dan a = 2 pada persamaan (1) diperoleh

2b + bc + 2c + 2 = 2bc

Yang setara dengan

(b – 2)(c – 2) = 6

Oleh karena itu, ada dua kasus yang mungkin yaitu

i. b – 2 = 1 dan c – 2 = 6 sehingga diperoleh b = 3 dan c = 8.

ii. b – 2 = 1 dan c – 2 = 6 sehingga diperoleh b = 3 dan c = 8. Mudah dicek bahwa a = 2, b = 3, c = 8 dan a = 2, b = 4, c = 5 memenuhi

kondisi dari soal. Jadi, solusi yang memenuhi adalah a = 2, b = 3, c = 8 dan a = 2, b = 4, c = 5

serta semua permutasinya (total ada 12 solusi untuk triple (a, b, c) yang mungkin).

4. Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP. Panjang AP = a satuan dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada lintasan xx 12 dan yy 1 2 sehingga A hanya bergerak bebas sepanjang xx 12

lintasan dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan yy 1 2 seperti pada gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan yy 1 2 dan y adalah terhadap lintasan xx 12 . Tunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P

2 x 2 y adalah 2 + 2 = 1 .

300 Wahyu

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal ini, harus dicari hubungan antara variable-variable

a , b, x dan y. Karena berbicara mengenai geometri maka salah satu alat yang dapat digunakan tentu saja adalah kesebangunan. Untuk itu perhatikan gambar di bawah ini (gambar seperti pada soal setelah ditambah beberapa titik untuk memudahkan komputasi).

Perhatikan bahwa ∆ AOB sebangun dengan ∆ BDP sehingga diperoleh

xab ( −

Sehingga OA

Selanjutnya diperoleh (dengan bantuan Pythagoras tentunya)

Siap OSN Matematika SMP 301

2 x ( ab − )

2 OD 2 = OB + BD ⇔ y = (

ab − ) −

Sampai di sini kita telah membuktikan apa yang diminta soal. Pekerjaan selesai. Namun cara di atas terasa panjang dan membosankan karena banyak sekali notasi akar. Sekarang perhatikan ∆ ACP dan ∆ BDP . Kedua segitiga tersebut ternyata sebangun. Karenanya diperoleh

Terlihat lebih simpel ternyata.

2 x 2 y Jadi, terbukti lintasan titik P berupa ellips dengan persamaan 2 + 2 = 1 .

5. Terdapat tiga buah kotak A, B, dan C masingmasing berisi 3 bola berwarna putih dan 2 bola berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga bola dengan aturan sebagai berikut:

302 Wahyu

1. Tahap ke- 1 Ambil satu bola dari kotak A

2. Tahap ke- 2 • Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke- 1 berwarna putih,

maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola, jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C, sedangkan jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A.

• Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke- 1 berwarna merah,

maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A, sedangkan jika yang termbil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B.

3. Tahap ke- 3 Ambil masing-masing satu bola dari kotak A, B, dan C. Berapa peluang bahwa semua bola yang terambil pada tahap ke- 3 berwarna

merah?

Jawab:

Berdasarkan tahap-tahap yang diberikan pada soal maka bagi menjadi 4 kasus, sebagai berikut:

a. Tahap ke- 1 terambil bola berwarna putih dari kotak A dan Tahap ke- 2 terambil bola berwarna putih dari kotak B.

3 Peluang terambil bola putih dari kotak A pada Tahap ke- 1 adalah . 5

Selanjutnya kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola merah, sehingga 4

peluang terambil bola berwarna putih pada Tahap ke- 2 adalah . Pada 6

Tahap ke- 3, kotak A berisi 2 bola putih dan 2 bola merah, kotak B berisi 3 bola putih dan 2 bola merah, kotak C berisi 4 bola putih dan 2 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke- 3

2 2 2 adalah ×× . 4 5 6

Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah

Siap OSN Matematika SMP 303

b. Tahap ke- 1 terambil bola berwarna putih dari kotak A dan Tahap ke- 2 terambil bola berwarna merah dari kotak B.

3 Peluang terambil bola putih dari kotak A pada Tahap ke- 1 adalah . 5

Selanjutnya kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola merah, sehingga 2

peluang terambil bola berwarna putih pada Tahap ke- 2 adalah . Pada 6

Tahap ke- 3, kotak A berisi 2 bola putih dan 3 bola merah, kotak B berisi 4 bola putih dan 1 bola merah, kotak C berisi 3 bola putih dan 2 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke- 3

Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah 3 2 31 2 ××××= 6

c. Tahap ke- 1 terambil bola berwarna merah dari kotak A dan Tahap ke-2 terambil bola berwarna putih dari kotak C.

2 Peluang terambil bola putih dari kotak A pada Tahap ke- 1 adalah .

5 Selanjutnya kotak C berisi 3 bola putih dan 3 bola merah, sehingga

3 peluang terambil bola berwarna putih pada Tahap ke- 2 adalah . Pada

6 Tahap ke- 3, kotak A berisi 4 bola putih dan 1 bola merah, kotak B berisi 3 bola putih dan 2 bola merah, kotak C berisi 2 bola putih dan 3 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke- 3

adalah ×× .

Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah 2 31 2 3 ××××= 6

304 Wahyu 304 Wahyu

2 Peluang terambil bola putih dari kotak A pada Tahap ke- 1 adalah .

5 Selanjutnya kotak C berisi 3 bola putih dan 3 bola merah, sehingga

3 peluang terambil bola berwarna putih pada Tahap ke- 2 adalah . Pada

6 Tahap ke- 3, kotak A berisi 3 bola putih dan 1 bola merah, kotak B berisi 3 bola putih dan 3 bola merah, kotak C berisi 3 bola putih dan 2 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke- 3

1 3 2 adalah ×× . 4 6 5

Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah 2 3 1 3 2 ××××= 1

Dari keempat kasus di atas maka total peluang terambil 3 bola berwarna

merah pada Tahap ke- 3 yaitu

Siap OSN Matematika SMP 305