Fungsi Distribusi Kontinu

5.1. Fungsi Distribusi Kontinu

Pada bagian ini akan dijelaskan cara perhitungan berkaitan dengan fungsi distribusi peluang, yaitu perhitungan nilai kuantil, pembuatan plot atau grafik densitas, pembuatan plot distribusi kumulatif, dan pembangkitan data dari distribusi kontinu, khususnya Distribusi Normal yang banyak digunakan dalam analisis statistika dasar. Secara umum, fungsi kepadatan probabilitas dari Distribusi Normal adalah sebagai berikut

e 2 ⎝ σ ⎠ , untuk −∞ x < < ∞

dengan parameter μ adalah nilai rata‐rata, dan σ adalah deviasi standar.

5.1.1. Menghitung Kuantil dari Distribusi Normal

Perhitungan nilai kuantil tertentu dari Distribusi Normal dapat dilakukan dengan

R ‐Commander, yaitu gunakan menu Distribusi, pilih Distribusi Kontinu, pilih Distribusi

Normal, dan kemudian klik Kuantil Normal… . Setelah itu akan terlihat jendela pilihan untuk mendapatkan kuantil yang akan dicari seperti pada Gambar 5.3.

Gambar

5.3. Jendela dialog untuk perhitungan Kuantil Normal

Misalkan akan dihitung nilai kuantil α=0,05 (5%) dari Distribusi Normal Standar, yaitu ingin dicari nilai Z α sedemikian hingga

P ( Z ≤ Z α ) = 0 , 05 (luasan lower tail atau ekor bawah), maka pada jendela isian Peluang tulis nilai 0.05. Dalam hal ini rata‐rata adalah 0 dan

deviasi standar 1. Kemudian klik OK, sehingga akan diperoleh nilai pada jendela keluaran R ‐Commander yaitu Z 0 , 05 = − 1 . 644854 . Pilihan ekor atas atau upper tail digunakan jika ingin dicari nilai Z 1 − α sedemikian hingga

P ( Z ≤ Z 1 − α ) = 1 − α (luasan upper tail atau ekor atas). Jika pilihan ekor atas yang digunakan, maka keluaran R‐Commander memberikan nilai

1.644854 pada jendela keluarannya. Selain menggunakan menu di R‐Commander, perhitungan kuantil normal dapat

juga dilakukan dengan command line di R‐Console, yaitu dengan command qnorm diikuti argumen optional yang diinginkan. Berikut adalah contoh perhitungan kuantil normal dengan command line untuk α=0,05.

> qnorm(c(0.05), mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE)

> qnorm(c(0.05), mean=10, sd=2, lower.tail=TRUE)

> qnorm(c(0.05), mean=0, sd=1, lower.tail=FALSE)

> qnorm(c(0.05), mean=10, sd=2, lower.tail=FALSE)

5.1.2. Menghitung Peluang dari Distribusi Normal

Perhitungan peluang dari suatu nilai tertentu dari Distribusi Normal dapat dilakukan dengan R‐Commander, yaitu gunakan menu Distribusi, pilih Distribusi Kontinu, pilih Distribusi Normal, dan kemudian klik Peluang Normal… . Setelah itu akan terlihat jendela pilihan untuk memperoleh peluang yang dicari seperti pada Gambar 5.4 berikut ini.

Gambar

5.4. Jendela dialog untuk perhitungan Peluang Normal

Ada empat isian utama dari jendela dialog untuk perhitungan Peluang Normal, yaitu Nilai peubah, mu, sigma, dan pilihan Ekor bawah atau Ekor atas. Secara matematis, fasilitas ini dapat digunakan untuk menghitung

P ( X ≤ c ) = … ? (luasan lower tail atau ekor bawah), dan

P ( X ≥ c ) = … ? (luasan upper tail atau ekor atas),

dari suatu peubah (variabel) random X yang berdistribusi Normal, atau X ~ N ( μ , σ ) . Misalkan akan dihitung nilai peluang dari Distribusi Normal Standar, yaitu ingin

dicari nilai P ( Z ≤ − 3 ) = … ? (luasan lower tail atau ekor bawah), maka pada jendela isian Nilai peubah tulis nilai ‐3. Dalam hal ini rata‐rata adalah 0 dan

deviasi standar 1. Klik OK, sehingga akan diperoleh nilai 0.001349898 pada jendela keluaran R‐Commander. Pilihan ekor atas atau upper tail digunakan jika ingin dicari nilai

P ( Z ≥ c ) = … ? (luasan upper tail atau ekor atas).

Jika pilihan ekor atas yang digunakan dan c = 3 , maka keluaran R‐Commander juga akan memberikan nilai 0.001349898 pada jendela keluarannya.

Perhitungan peluang normal dapat juga dilakukan dengan command line di R‐ Console, yaitu dengan command pnorm diikuti argumen optional yang diinginkan. Berikut adalah contoh perhitungan peluang normal dengan command line untuk berbagai nilai peubah.

> pnorm(c(‐3), mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE)

> pnorm(c(6.710293), mean=10, sd=2, lower.tail=TRUE)

> pnorm(c(3), mean=0, sd=1, lower.tail=FALSE)

> pnorm(c(13.28971), mean=10, sd=2, lower.tail=FALSE)

5.1.3. Membuat Plot dari Distribusi Normal

Plot dari Distribusi Normal teoritis dengan rata‐rata dan deviasi standar tertentu dapat dilakukan dengan R‐Commander, yaitu gunakan menu Distribusi, pilih Distribusi Kontinu, pilih Distribusi Normal, dan kemudian klik Plot Distribusi Normal… . Setelah itu akan terlihat jendela pilihan untuk mendapatkan plot distribusi normal teoritis yang ingin dicari seperti pada Gambar 5.5 di bawah ini.

Gambar

5.5. Jendela dialog untuk pembuatan Plot Distribusi Normal

Misalkan akan dibuat plot fungsi kepadatan peluang dari Distribusi Normal Standar, maka pada jendela isian mu (rerata) tulis nilai 0 dan sigma (simpangan baku) 1. Klik pilihan Plot fungsi kepadatan, dan kemudian klik OK, sehingga akan diperoleh plot fungsi kepadatan dari Distribusi Normal Standar seperti pada Gambar 5.6 berikut ini.

Gambar

5.6. Output plot fungsi kepadatan Distribusi Normal Standar

Jika pilihan Plot fungsi distribusi (kumulatif) yang dipilih, maka akan diperoleh output plot fungsi distribusi kumulatif dari Distribusi Normal Standar seperti terlihat pada Gambar 5.7.

Gambar

5.7. Output plot fungsi distribusi kumulatif dari Distribusi Normal Standar

Pembuatan plot fungsi kepadatan dan fungsi distribusi kumulatif dapat juga dilakukan dengan command line di R‐Console, yaitu dengan command dnorm (untuk plot fungsi kepadatan) dan command pnorm (untuk plot fungsi distribusi kumulatif) diikuti argumen optional yang diinginkan. Berikut adalah contoh pembuatan plot fungsi kepadatan dengan command line untuk suatu nilai peubah.

> .x <‐ seq(‐3.291, 3.291, length=100) > plot(.x, dnorm(.x, mean=0, sd=1), xlab="x", ylab="Density", main=expression(paste("Normal Distribution: ", mu, " = 0, ", sigma, " = 1")), type="l") > abline(h=0, col="gray")

Sedangkan contoh pembuatan plot fungsi distribusi kumulatif dengan command line untuk suatu nilai peubah adalah seperti berikut.

> .x <‐ seq(‐4, 4, length=100) > plot(.x, pnorm(.x, mean=0, sd=1), xlab="x", ylab="Cumulative Probability", main=expression(paste("Normal Distribution: ", mu, " = 0, ", sigma, " = 1")), type="l") > abline(h=0, col="gray") > # perhatikan perbedaan output yang dihasilkan

5.1.4. Membangkitkan Data dari Distribusi Normal

R menyediakan fasilitas untuk membangkitkan data yang mengikuti distribusi statistika tertentu. Misalkan akan dibangkitkan data yang mengikuti distribusi normal, maka dapat digunakan menu Distribusi, pilih Distribusi Kontinu, pilih Distribusi Normal, dan kemudian klik Sampel dari Distribusi Normal… . Setelah itu akan terlihat jendela pilihan untuk pembangkitan data dari distribusi normal seperti pada Gambar 5.8.

Sebagai contoh, akan dibangkitkan data sebanyak 15 baris dan 10 kolom yang mengikuti Distribusi Normal Standar, maka tulis nama dataset hasil dari data bangkitan pada isian Masukkan nama untuk data set (misalkan dengan nama latihan5). Pada jendela isian mu (rerata) tulis nilai 0, sigma (simpangan baku) 1, Ukuran sampel (baris)

15, dan Banyaknya pengamatan (kolom) 10. Jika rata‐rata sampel juga ingin ditambahkan, maka klik pada pilihan Rerata sampel, dan kemudian klik OK. Pilihan‐ pilihan yang lain, yaitu Jumlah sampel dan Deviasi baku sampel juga dapat ditampilkan jika diinginkan.

Gambar

5.8. Jendela dialog untuk membangkitkan data dari Distribusi Normal

Untuk mengetahui hasil data yang dibangkitkan, klik pilihan Lihat data set pada R ‐Commander, sehingga akan terlihat data‐data hasil bangkitan seperti pada Gambar

5.9. Secara umum akan diperoleh 15 baris sampel dan 11 kolom data, yaitu 10 kolom data hasil bangkitan dan 1 kolom terakhir yang berisi rata‐rata dari setiap sampel yang dibangkitkan.

Gambar

5.9. Output data hasil bangkitan dari Distribusi Normal Standar

Pembangkitan data dari suatu distribusi statistika tertentu ini juga dapat dilakukan dengan command line di R‐Console, yaitu dengan command rnorm (untuk Distribusi Normal) diikuti argumen optional yang diinginkan. Berikut adalah contoh pembangkitan data dengan command line untuk Distribusi Normal dengan rata‐rata dan deviasi standar tertentu.

> rnorm(15, mean=0, sd=1)

> latihan5 <‐ as.data.frame(matrix(rnorm(15*10, mean=0, sd=1), ncol=10)) > rownames(latihan5) <‐ paste("sample", 1:15, sep="") > colnames(latihan5) <‐ paste("obs", 1:10, sep="") > latihan5$mean <‐ rowMeans(latihan5[,1:10]) > showData(latihan5, placement='‐20+200', font=getRcmdr('logFont'), maxwidth=80, maxheight=30)

> # Bangkitkan data dan simpan hasilnya dalam bentuk seperti matriks > as.data.frame(matrix(rnorm(15*5, mean=100, sd=10), ncol=5))

Secara umum R menyediakan fasilitas untuk membangkitkan data dari berbagai distribusi statistika yang kontinu. Daftar lengkap berkaitan dengan command line di R untuk membangkitkan data dari distribusi kontinu beserta argumen dan library yang diperlukan dapat dilihat pada Tabel 5.1.

Tabel

5.1. Daftar fungsi R (command line) untuk membangkitkan data yang mengikuti suatu distribusi kontinu tertentu

Distribusi Kontinu

Fungsi R

Argumen yang diperlukan

library

Beta rbeta n, shape1, shape2

stats

stats Chi ‐squared

Cauchy rcauchy n, location = 0, scale = 1

rchisq n, df stats

Eksponensial rexp n, rate

stats F rf n, df 1 , df 2 stats

stats Log ‐normal

Gamma rgamma n, shape, rate = 1

rlnorm n, mean, sd

stats

Logistic rlogis n, location = 0, scale = 1

stats

stats Student ‐t

Normal rnorm n, mean, sd

rt n, df stats Seragam (Uniform)

runif n, min, max

stats

stats Multivariate Normal

Weibull rweibull n, shape, scale = 1

mvrnorm n = 1, mu, Sigma

MASS