14
Bab 2 LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
Programasi Linier Linear Pogramming merupakan suatu model optimasi persamaan linier berkenaan dengan kendala-kendala linier yang dihadapinya.
Model ini dikembangkan oleh George B. Dantzig, seorang matematisian Amerika Serikat, pada tahun 1947. Benih-benih model ini sesungguhnya sudah ditemukan
jauh sebelumnya. Seorang matematisian Rusia bernama L.V. Kantotrovich memperkenalkan penerapan programasi linier dalam bidang produksi pada tahun
1939. Lebih dari seabad sebelumnya, pada tahun 1826, Fourier yang matematisian Perancis juga telah merumuskan masalah programasi linier. Akan tetapi, baru
setelah Dantzig mengembangkan dan mempopulerkannya, model ini memperoleh perhatian yang berarti. Dantzig pulalah yang dikenal dunia sebagai “bapak
programasi linier”. Masalah programasi linier berarti adalah masalah pencarian nilai-nilai optimum maksimum atau minimum sebuah fungsi linier pada suatu
sistem atau sehimpun kendala linier. Fungsi linier yang hendak dicari nilai optimumnya, berbentuk sebuah persamaan, disebut fungsi tujuan. Sedangkan
fungsi-fungsi linier yang harus terpenuhi dalam optimasi fungsi tujuan tadi, dapat berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan, disebut dengan fungsi kendala.
Dumairy, 1999:343 Metode analisis yang paling bagus untuk menyelesaikan persoalan alokasi
sumber ialah metode program linier. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier ialah merumuskan masalah dengan jelas dengan
menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ini ke dalam
bentuk model matematika, yang terang mempunyai cara pemecahan masalah yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi.
Jawaban yang ditemukan dari hasil perhitungan lebih mudah dinilai dan dievaluir keampuhannya satu dari yang lain dan terhadap jawaban yang terang lebih ampuh
Universitas Sumatera Utara
15
akan ditetapkan sebagai keputusan akhir dan siap untuk dilaksanakan. P. Siagian, 1987.
Dalam kehidupan sehari-hari, linear programming merupakan bagian yang sangat penting dalam area matematika yang disebut teknik optimasi. Linear
programming umumnya diaplikasikan dalam permasalahan yang dapat dimodelkan ke dalam suatu model matematika, misalnya dalam mencari
keuntungan suatu usaha, pengoptimalan persediaan, juga dalam beberapa masalah industri maupun ekonomi. Adakalanya dalam situasi tertentu solusi yang
diinginkan haruslah dalam bilangan bulat, misalnya pada perusahaan manufaktur, perusahaan tidak bisa memproduksi barang setengah, sepertiga, ataupun
seperempat jadi. Masalah ini disebut dengan integer linear programming ILP.
2.1.1 Bentuk Umum Model Programasi Linier
Sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, masalah programasi linier tak lain adalah masalah optimasi bersyarat, yakni pencarian nilai maksimum
maksimisasi atau pencarian nilai minimum minimisasi suatu fungsi tujuan berkenaan dengan keterbatasan-keterbatasan atau kendala yang harus dipenuhi.
Masalah-masalah tersebut secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut Dumairy, 1999:
a. Masalah Maksimasi Maksimumkan fungsi tujuan
Z = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ ... + c
n
x
n
terhadap kendala-kendala a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
≤ b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
≤ b
2
. .
Universitas Sumatera Utara
16
. a
mi
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... + a
mn
x
n
≤ b
m
di mana: x
j
≥ 0 j = 1, 2, ..., n
Ringkasnya, maksimumkan terhadap
x
j
≥ 0 i = 1, 2, ..., m
b. Masalah Minimasi Minimumkan fungsi tujuan
Z = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ ... + c
n
x
n
terhadap kendala-kendala a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
≥ b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
≥ b
2
. .
. a
mi
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... + a
mn
x
n
≥ b
m
di mana: x
j
≥ 0 j = 1, 2, ..., n
Ringkasnya, minimumkan terhadap
x
j
≥ 0 i = 1, 2, ..., m
x c
j n
j j
z
∑
=
=
1
b x
a
i j
n j
ij
≤
∑
=1
x c
j n
j j
z
∑
=
=
1
b x
a
j j
n j
ij
≥
∑
=1
Universitas Sumatera Utara
17
2.1.2 Karakteristik Linear Programming
Karakteristik-karakteristik dalam linear programming yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik
yaitu:
a. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan-keputusan yang akan dibuat.
b. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.
c. Kendala
Kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian linear programming yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam
persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya dalam
suatu masalah.
Universitas Sumatera Utara
18
2.2 Integer Linear Programming
Kategori