Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
98
• Minor da ri baris ke-2 kolom ke-2 adalah M
22
= a
a a
a
11 13
31 33
= a
11
a
33
– a
31
a
13
• Minor da ri baris ke-3 kolom ke-2 adalah M
32
= a
a a
a
12 13
22 23
= a
12
a
23
– a
22
a
13
• Minor da ri baris ke-1 kolom ke-3 adalah M
13
= a
a a
a
21 22
31 32
= a
21
a
32
– a
31
a
22
• Minor da ri baris ke-2 kolom ke-3 adalah M
23
= a
a a
a
11 12
31 32
= a
11
a
32
– a
31
a
12
• Minor da ri baris ke-3 kolom ke-3 adalah M
33
= a
a a
a
11 12
21 22
= a
11
a
22
– a
21
a
12
Diperoleh matriks minor dari matriks A adalah sebagai berikut. M
M M
M M
M M
M M
11 12
13 21
22 23
31 32
33
2 Kofaktor Jika M
ij
merupakan minor ke-ij dari matriks A maka kofaktor adalah hasil perkalian elemen minor M
ij
dengan –1
i+j
. Dengan demikian, K
ij
= –1
i+j
M
ij
Sehingga diperoleh matriks kofaktor dari matriks A adalah K =
K K
K K
K K
K K
K
11 12
13 21
22 23
31 32
33
3 Adjoin Matriks Jika kofaktor dari matriks A tersebut di transposkan, maka didapat matriks
baru yang disebut sebagai Adjoin A. Ditulis: Adj A =
K K
K K
K K
K K
K
11 21
31 12
22 32
13 23
33
é ë
ê ê
ê ê
ù û
ú ú
ú ú
Contoh Soal 4.17
Diketahui matriks A
= −
− −
1 1
3 1
2 1
3 1
2 Tentukan:
a. minor matriks A, b. kofaktor matriks A,
c. adjoin A.
Jawab: a. Menentukan minor.
M
11
2 1
1 2
4 1 3
= −
− = − + = −
M
12
1 1
3 2
2 3 1
= −
− = − + =
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matriks
99
M
13
1 2 3 1
1 6 5
= = − = −
M
21
1 3
1 2
2 3 1
= −
− = − = −
M
22
2 3
3 2
4 9 13
= −
= − − = − M
23
2 1
3 1
2 3 5
= −
= + = M
31
1 3
2 1
1 6 7
= −
− = + =
M
32
2 3
1 1
2 3 5
= −
= − − = − M
33
2 1
1 2
4 1 5
= −
= + = Berdasarkan nilai-nilai minor di atas maka matriks minornya adalah
– –
– –
–
3 1
5 1
13 5 5
5 5
b. Menentukan matriks kofaktor.
K
11
= –1
1 + 1
· M
11
= 1 · –3 = –3 K
12
= –1
1 + 2
· M
12
= –1 · 1 = –1 K
13
= –1
1 + 3
· M
13
= 1 · –5 = –5 K
21
= –1
2 + 1
· M
21
= –1–1 = 1 K
22
= –1
2 + 2
· M
22
= 1 · –13 = –13 K
23
= –1
2 + 3
· M
23
= –1 · 5 = –5 K
31
= –1
3 + 1
· M
31
= 1 · –5 = –5 K
32
= –1
3 + 2
· M
32
= –1 · –5 = 5 K
33
= –1
3 + 3
· M
33
= 1 · 5 = 5 Sehingga, matriks kofaktor A adalah
– –
– –
–
3 1
5 1
13 5
5 5
5
é ë
ê ê
ê ê
ù û
ú ú
ú ú
.
c. Menentukan adjoin.
Adjoin merupakan transpos dari matriks kofaktor sehingga diperoleh. Adjoin A
=
–
– –
– –
3 1
5 1
13 5 5
5 5
c. Invers Matriks Berordo 2 × 2
Misalkan A
a b c d
=
merupakan matriks yang memiliki invers yaitu matriks
yang memiliki nilai determinan tidak nol matriks ini disebut matriks non- singular maka invers dari A yaitu A
–1
dinyatakan A
A
−
=
1
1 det
Adjoin A
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
100
Contoh Soal 4.18
Diketahui matriks A
= −
−
4
1 11
3 , tentukan invers dari matriks A.
Jawab:
A A
A A
A =
− −
⇒
= −
− = − + = −
= =
− −
4 1
11 3
4 1
11 3
12 11 1
1 1
1 3
det det
Adjoin −−
= − −
−
=
− −
1 11
4 1
3 1
11 4
3 1
11 4
Jadi, invers dari matriks A adalah A
–1
= 3
1 11
4 –
– é
ë ê
ê ù
û ú
ú .
Contoh Soal 4.19
Diketahui matriks-matriks berikut. P
Q =
=
3
4 5
7 8
4 6
3 dan
Tentukan invers dari matriks-matriks tersebut jika ada.
Jawab:
P Q
=
=
3 4
5 7
da Periksa nilai determinan dan matriks P
det P =
= −
= 3
4 5
7 21 20
1
karena det P ≠ 0 maka matriks P memiliki invers
P P
P
−
= =
− −
=
− −
1
1 1
1 7
4 5
3 det
Adjoin
7 4
5 3 •
Q =
8 4
6 3
Periksa nilai determinan dari matriks Q det Q
= =
− =
8 4
6 3
24 24
Karena det Q = 0 maka matriks Q tidak memiliki invers.
A
–1
terdeinisi jika det A ≠ 0 artinya matriks A memiliki
invers jika matriks A memiliki determinan yang tidak sama
dengan nol.
Catatan
d. Invers Matriks Berordo 3 × 3
