17
2.3 Metode Simpleks
2.3.1 Pengertian Metode Simpleks
Pemrograman linear linear programming adalah salah satu bahasan dalam optimasi yang berkembang cukup pesat. Perumusan masalah pemrograman linear beserta
pemecahannya secara sistematis baru dimulai pada tahun 1947 ketika George B. Dantzig merancang sebuah metode yang dikenal dengan nama metode simpleks untuk keperluan
angkatan udara AS. Apa yang dirintis oleh Dantzig ini merupakan langkah yang penting untuk mengembangkan pemrograman linear kepada penggunaan yang lebih luas
Purnomo, 2001. Persoalan program linear tidak selalu sederhana karena melibatkan banyak
constraint pembatas dan banyak variabel sehingga tidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik. Oleh karena itu serangkaian prosedur matematik aljabar linear
diperlukan untuk mencari solusi dari persoalan yang rumit tersebut. Prosedur yang paling luas digunakan adalah metode simpleks. Penemuan metode ini merupakan lompatan
besar dalam riset operasi dan digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer Purnomo, 2001.
18
Metode simpleks adalah metode iteratif, dimulai dari suatu basis yang memenuhi dan kemudian mencari basis yang lain, yang juga memenuhi serta mempunyai hubungan
dengan meningkatnya harga dari fungsi tujuan yang hendak dimaksimumkan maupun dengan berkurangnya harga dari fungsi tujuan yang hendak diminimumkan Kosala
Dwidja Purnomo, 2001. Metode simpleks ini merupakan prosedur aljabar yang progresif mencapai hasil
yang optimal melalui suatu proses iteratif. Prosedur ini langsung menuju ke sasaran, hanya membutuhkan waktu dan kesabaran dalam mengerjakannya. Cara ini adalah yang
paling cocok untuk suatu computer electronic Kosala Dwidja Purnomo, 2001.
2.3.2 Algoritma Simpleks
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah linear programming dengan metode simpleks adalah Aris Budi Setyawan, 2006:
1. Melakukan identifikasi masalah dengan jalan menyederhanakan kasus
dalam bentuk model tabulasi. 2.
Mengubah model tabulasi menjadi model matematis fungsi tujuan dan fungsi batasan.
3. Mengubah persamaan fungsi tujuan dan fungsi batasan ke dalam
persamaan simpleks. 4.
Memindah semua nilai koefisien dalam persamaan simpleks ke dalam table simpleks.
19
5. Menentukan kolom kunci.
Kolom kunci ini ditentukan dengan cara mencari nilai negatif terbesar yang ada di baris tujuan Z pada tabel simpleks tersebut.
6. Menentukan baris kunci.
Indeks ditentukan dengan cara membagi setiap angka pada kolom Nilai Kanan NK dengan setiap angka pada kolom kunci. Kemudian dari hasil
indeks tersebut dipilih baris dengan hasil indeks positif yang paling kecil sebagai baris kunci.
7. Menentukan angka kunci.
Angka kunci adalah angka yang terdapat pada perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Selanjutnya menggunakan angka kunci tersebut
untuk menentukan baris kunci yang baru, apabila langkah ke-8 masih menemukan nilai yang negatif.
8. Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka nilai negatif
dibaris tujuan kecuali Nilai Kanan pada tabel simpleks tersebut. Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang
negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya.
9. Jika ternyata masih ada angka negatif pada baris tujuan Z, langkah
selanjutnya adalah menentukan nilai baris kunci yang baru. Nilai baris kunci yang baru ditentukan dengan cara membagi semua nilai yang ada
pada baris kunci yang lama dengan angka kuncinya.
20
10. Mengisi melengkapi sel lain dalam tabel simpleks yang masih kosong,
dengan cara angka atau nilai yang lama dikurangi dengan hasil perkalian antara angka baris baru yang sesuai dengan angka kolom kunci yang
bersangkutan juga.
2.3.3 Contoh Perhitungan Simpleks
Arif akan membuka sebuah konter handphone di daerah Yogyakarta. Setelah Arif meneliti pasaran yang ada di Yogyakarta dan juga beberapa konter yang menjadi
acuannya, dia memutuskan untuk menjual 3 tipe handphone, yaitu Iphone, Lumia dan Davis. Handphone jenis Iphone dibeli seharga Rp 2.500.000 dan hendak dijual dengan
harga Rp 3.000.000 dengan batas waktu penjualannya 4 minggu. Handphone jenis Lumia dibeli seharga Rp 1.700.000 dan dijual seharga Rp 1.900.000 dengan batas waktu
penjualannya 3 minggu. Sedangkan handphone jenis Davis dibeli seharga Rp 1.500.000 dan dijual seharga Rp 1.600.000 dengan batas waktu penjualannya 2 minggu. Jadi,
berapakah keuntungan, jenis handphone, dan jumlah handphone yang harus dibeli jika Arif memiliki modal Rp 15.000.000 dengan batas waktu penjualan 4 minggu?
Untuk mempermudah dalam penulisan, maka rupiah pada contoh soal di atasakan dihilangkan. Contoh, Rp 2.500.000 menjadi Rp 2.500.
Pertama-tama, buat tabel yang merepresentasikan kasus di atas, lalu buatlah kalimat matematikanya.
21
Menjadi sebagai berikut
fungsi objektif: Z maks = 500i +200l + 100d
kendala 2500i + 1700l
+ 1500d ≤ 15000 4i + 3l + 2d ≤ 4
kendala variabel I ≥ 0, l ≥ 0, d ≥ 0
Lihat kembali persamaan kendala di atas. Ambil salah satu, misalnya 2500i + 1700l + 1500d
≤ 15000. Kita akan mencoba membuat pertidaksamaan itu menjadi persamaan. Artinya, akan muncul suatu variabel baru yang nilainya tidak
diketahui. Kita namakan variabel itu sebagai variabel Slack, karena berfungsi untuk menampung nilai sisa.
Jadi, 2500i + 1700l + 1500d ≤ 15000 dapat dibentuk menjadi 2500i + 1700l +
1500d +S1= 15000 dimana S1 ≥ 0. Cara untuk mengecek kebenaran persamaan di atas :
___ Misalkan
apabila i
= 1,
l =
2 dan
m=3, maka:
______ 2500 1 + 1700 2 + 15003
≤ 15000 10400 ≤ 15000 BENAR ______
2500 1 + 1700 2 + 15003 + S1 = 15000 S1 = 4600
S1 ≥ 0 BENAR ___
Misalkan apabila
i =
5, l
= 6
dan m=5,
maka: ______
2500 5 + 1700 6 + 15005 ≤ 15000 30200 ≤ 15000 SALAH ______
2500 5 + 1700 6 + 15005 + S1 = 15000 S1 = -15200
SALAH
22
Dengan demikian, kita dapat menulis kembali semua kendala dalam bentuk =, sehingga menjadi:
fungsi objektif: Z maks = 500i +200l + 100d
kendala 2500i + 1700l + 1500d +S1 = 15000
4i + 3l + 2d + S2 = 4 kendala variable
I ≥ 0, l ≥ 0, d ≥ 0 S1 ≥ 0, S2 ≥ 0
Langkah terakhir yaitu: mengubah fungsi objektif sedemikian rupa nilai kanannya adalah konstanta. Konstanta tidak harus positif...
Z maks = 500i +200l + 100d Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri, menjadi:
Z maks - 500i - 200l - 100d = 0 Dengan demikian, kita dapat menuliskan kembali persamaan matematikanya menjadi:
fungsi objektif: Z maks - 500i - 200l - 100d = 0
kendala 2500i + 1700l + 1500d +S1 = 15000
4i + 3l + 2d + S2 = 4 kendala variable
I ≥ 0, l ≥ 0, d ≥ 0 S1 ≥ 0, S2 ≥ 0
23
Setelah ini memasukkannya ke TABLE AWAL SIMPLEKS: Var.
Basis Z
i l
d S1
S2 X
Z 1
-500 -200
-100 S1
2500 1700
1500 1
15000 S2
4 3
2 1
4
ITERASI PERTAMA: Tabel awal:
Var. Basis
Z i
l d
S1 S2
X Z
1 -500
-200 -100
S1 2500
1700 1500
1 15000
S2 4
3 2
1 4
1. Di baris Z ada 3 nilai negatif, yaitu -500, -200 dan -100. Karena -500 adalah
yang paling negatif, maka kita pilih kolom m sebagai kolom kunci. Var.
Basis Z
i l
d S1
S2 X
Z 1
-500 -200
-100 S1
2500 1700
1500 1
15000 S2
4 3
2 1
4
24
2. Sekarang, kita hitung rasio di tiap baris kendala. Rasio tiap baris dihitung
dengan membagi
X dengan
sel di
kolom kunci.
Rasio yang terkecil dan positif adalah 1. Artinya kendala ke-3 menjadi baris kunci.
Var. Basis
Z i
l D
S1 S2
X rasio
Z 1
-500 -200
-100 S1
2500 1700
1500 1
15000 150002500=6
S2 4
3 2
1 4
44=1
Pivot adalah perpotongan antara baris kunci dan kolom kunci.
3. Supaya pivot menjadi 1, maka bagilah baris ke-4 dengan 4, maka menjadi:
Var. Basis
Z i
L d
S1 S2
X Z
1 -500
-200 -100
S1 2500
1700 1500
1 15000
S2 1
0.75 0.5
0.25 1
Selanjutnya, usahakan agar sel-sel yang berada di kolom kunci semuanya menjadi nol. kecuali pivot. Caranya, seperti eliminasi Gauss-Jordan.
Baris pertama yang baru = baris pertama yang lama + 500 baris ke-3 Baris kedua yang baru = baris kedua yang lama -3000 baris ke-3
baris pertama yang lama
1 -500
-200 -100
baris ke-3500 500
375 250
125 500
baris pertama yang 1 175
150 125
500
25
baru
Baris kedua yang lama
2500 1700
1500 1
15000 baris ke-32500
2500 1875
1250 625
2500 Baris kedua yang
baru -175
250 1
-625 12500
Maka, hasilnya adalah sebagai berikut: Var. Basis
Z i
l d
S1 S2
X Z
1 175
150 125
500 S1
-175 250
1 -625
12500 S2
1 0.75
0.5 0.25
1 4.
Langkah ini sungguh mudah. Cukup mengeluarkan S2 dari variabel basis dan menggantinya dengan i.
Var. Basis Z
i l
d S1
S2 X
Z 1
175 150
125 500
S1 -175
250 1
-625 12500
i 1
0.75 0.5
0.25 1
5. Karena semua sel di baris Z sudah tidak ada nilai negatif, maka iterasi
berahkir dan didapatkan hasil yaitu i = 1 dengan keuntungan 500. Dari hasil ini dapat diambil kesimpulan bahwa setiap 1 Iphone mendapatkan
keuntungan 500. Dengan total modal sebanyak 15000, maka user dapat membeli handphone Iphone sebanyak 6 buah dengan total keuntungan 3000.
26
BAB III METODE PENELITIAN
Bab ini berisi uraian tentang kegiatan dan prosedur yang digunakan untuk penelitian.
3. Rumusan Masalah
Masalah yang akan diselesaikan adalah bagaimana merancang dan membangun aplikasi optimalisasi pengambilan keputusan dalam menentukan
jumlah stok dan jenis handphone untuk memaksimalkan keuntungan menggunakan algoritma simpleks. Masalah tersebut akan diselesaikan dengan cara membuat
perancangannya sesuai komponen SPPK. Komponen yang pertama yaitu manajemen data untuk mengatur basis data yang diperlukan sistem. Maka, dalam
rancangan ini akan dibuat tabel-tabel yang diperlukan, yaitu hubungan antar tabel dan query yang dibutuhkan. Komponen yang kedua adalah manajemen model yang
akan diwujudkan dengan diagram influence diagram ketergantungan. Dalam tahap ini juga akan dilakukan simulasi perhitungan menggunakan algoritma simpleks. Hal
lain yang akan dibuat adalah rancangan user-interface antarmuka pengguna yang mana akan dirancang lebih user friendly agar pengguna lebih mudah dalam
menggunakan sistem dan tentunya lebih nyaman . Rumusan masalah yang kedua adalah pengujian kualitas SPPK penjualan
handphone yang akan diselesaikan menggunakan langkah-langkah berikut ini :
27
3.1 Pengumpulan Data dan Pengolahan Data
Kategori